2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：15.平面向量的运算

（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）13.设向量，若，则实数_【答案】【解析】【分析】结合向量垂直满足数量积为0，计算的值，即可。【详解】因而，则【点睛】本道题考查了向量垂直的坐标表示，难度较小。（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）4.已知等边内接于，为线段的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可【详解】解：如图所示，设BC中点为E，则（）故选：A【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）13.已知向量，若，则_【答案】【解析】，因为，所以，解得：，所以，（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）13.已知单位向量的夹角为，则_【答案】1【解析】因为单位向量的夹角为，所以，故答案为.（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）5.已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出图形，利用向量的线性运算求解即可【详解】如图：点E是ABC的边BC的中点，点M在边BC上，且，则向量 故选：B【点睛】本题考查平面向量的加法、减法与数乘运算法则的应用，考查用基底表示向量，是基础题（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）7.设为所在平面内一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出【详解】=,故选：D【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（广东省肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测数学文试题）6.已知的边上有一点满足，则可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用相加加法和减法的运算，将向量转化到两个方向上，化简后得出正确的结论.【详解】画出图像如下图所示，故 ，故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量减法运算，属于基础题.（广东省清远市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）14.设向量，若单位向量满足，则_【答案】 【解析】【分析】根据，即它们的数量积为零列方程，化简后可求得的值.【详解】由于，故，即，解得.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表示，考查方程的思想，属于基础题.（广东省清远市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）12.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）A. 2 B. 0 C. -2 D. 4【答案】C【解析】【分析】将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】画出图像如下图所示， ,等号在，即为的中点时成立.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）13.已知向量、，若，则 _；【答案】【解析】【分析】由于两个向量垂直，数量积为零，由此列方程，解方程求得的值，进而求得.【详解】由于，故，故.【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查平面向量模的运算，属于基础题.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）14.若向量、不共线，且，则_；【答案】3【解析】【分析】先利用，求出的值，再求的值.【详解】由于，故，即，即，解得，当时，两者共线，不符合题意.故.所以.【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的表示，考查向量模的坐标表示，考查两个向量数量积的坐标表示.如果两个平面向量相互垂直，则它们的数量积为零.数量积运算有两种表示形式，一种是利用模和夹角来表示，即.另一种是用坐标来表示，即.（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）12.在平面四边形中，面积是面积的2倍，数列满足，且，则（ ）A. 31 B. 33 C. 63 D. 65【答案】B【解析】【分析】设和交于点，根据题意，化简得，得到，再由三点共线和平面向量的基本定理，求得，进而得出数列是以为首项，以2为公比的等比数列，即可求解.【详解】设和交于点，和的高分别为，的面积是面积的2倍，即，又，由三点共线，设，由平面向量基本定理得，即，数列是以为首项，以2为公比的等比数列，即，所以.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，以及等比数列的定义域通项公式的求解，其中解答中根据平面向量的线性运算和平面向量的基本定理，化简得到数列是以为首项，以2为公比的等比数列是解答的关键.（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）7.长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在的正北方向，游船正好到达处时，（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】用向量表示速度，根据向量的平行四边形法，即可求解，得到答案.【详解】设船的实际速度为，船速与河道南岸上游的夹角为，如图所示，要使得游船正好得到处，则，即，又由，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量在物理中的应用问题，其中解答中用向量表示速度，根据向量的平行四边形法及物理性质求解是解答本题的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于基础题.（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学文试题）13.已知向量，若，则_.【答案】2【解析】【分析】根据即可得出 进行数量积的坐标运算即可求出m的值【详解】因为所以m=2故答案为2【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题.（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学理试题）13.已知向量，则与的夹角等于_.【答案】【解析】【分析】本道题代入向量的坐标，计算向量，结合向量数量积，计算夹角，即可。【详解】设，则，所以，.利用，得，则【点睛】本道题考查了向量坐标运算和向量数量积公式，难度较易。（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）13.已知向量满足，记向量的夹角为，则_【答案】【解析】【分析】由代入数值计算可得，再由可得答案。【详解】由题意，解得，则.【点睛】本题考查了向量的数量积，向量的模，及两向量夹角的求法，属于基础题。（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）3.已知，若与垂直，则（ ）A. -1 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】由向量坐标表示出，由已知条件向量垂直则点乘得零计算出结果【详解】由已知可得与垂直，则,故选D【点睛】本题考查了向量的垂直，运用向量点坐标即可计算出参量的值，较为简单。（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）12.如图，在中，,为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，由三角形的面积为，可得，由，三点共线可知，以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，可以表示出的坐标，从而得到的表达式，进而求出最小值。【详解】设，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，则，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【点睛】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题）12.设是所在平面上的一点，若，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用向量的加法运算，设的中点为D，可得，利用数量积的运算性质可将原式化简为，为AD中点，从而得解.详解：由，可得.设的中点为D，即.点P是ABC所在平面上的任意一点，为AD中点.当且仅当，即点与点重合时，有最小值.故选：C.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（五）数学（文）试题）13.设向量，且，则向量的模为_【答案】【解析】【分析】由两个向量垂直可得x值，即得到，由向量的模的公式计算即可得到答案.【详解】向量，由得=0即解得x=-3,则|，故答案为：【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式和向量的模公式的应用，属于基础题.（湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四）数学（理）试题）3.若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. -1 D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件求得，再由向量在方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】利用向量垂直的充要条件有：，则向量在方向上的投影为,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.（吉林省长春实验高中2019届 高三第五次月考 数学（文）试题）3.若向量，则|=（ ）A. B. 5 C. 20 D. 25【答案】B【解析】 ,故选B.（山东省济南外国语学校2019届高三1月份阶段模拟测试数学（文）试题）14.已知O为坐标原点，向量_【答案】【解析】【分析】设出P的坐标，得到关于x，y的方程，解出即可【详解】设P（x，y），则（x+1，y2），而（3，1）若，则2（x+1）3，2（y2）1，解得：x，y，故|，故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查转化思想，是一道基础题（河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）6.已知向量,，若与共线,则实数的值是（ ）A. -2 B. 2 C. -4 D. 4【答案】B【解析】【分析】先求出，然后根据与共线即可求出x【详解】，且与共线；（2+x）02（2x）0；x2故选：B【点睛】考查向量坐标的加法和减法运算，共线向量基本定理，向量共线时坐标的关系属于基础题.（江苏省南通市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文）2.已知向量，若，则实数a的值为A. B. 2或C. 或1D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得，解可得a的值，即可得答案【详解】根据题意，向量，若，则有，解可得或1；故选：C【点睛】本题考查向量平行的坐标表示方法，熟记平行的坐标表示公式得到关于a的方程是关键，是基础题（湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试 数学（文科）试题）7.如图在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果【详解】画出图形，如下图选取为基底，则，故选C【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算（湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）13.在平行四边形中，点是的中点，点是的中点，记，用，表示，则_【答案】【解析】【分析】利用向量的加减法及数乘运算转化求解。【详解】=.又，.解得：【点睛】本题主要考查了向量的加减运算、数乘运算，考查转化能力，属于基础题。（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题）6.在平行四边形中，已知，则的值是A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】由已知，利用向量加法的三角形法则可得，展开后结合，可求的值【详解】平行四边形中，已知，所以，又，即，,故选C【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题向量的几何运算有两种方法：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.（广东省东莞市2019届高三上学期期末调研测试数学理试题）4.已知向量，若，则实数的值为（ ）A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】由题得，解方程即得解.【详解】因为，由，得，解得x=2，故选D.【点睛】(1)本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果=,=，则|的充要条件是.（广东省江门市2019届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题）4.直角坐标系中，已知两点，点满足，其中，且则点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知向量等式可知C在AB所在的直线上，由直线方程的两点式得答案【详解】由，且+1，得，即，则C、A、B三点共线设C（x，y），则C在AB所在的直线上，A（2，1）、B（4，5），AB所在直线方程为 ，整理得：故P的轨迹方程为：故选：A.【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用，考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题（广东省韶关市2019届高三1月调研考试数学理试题）7.在中，为边的中点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的线性运算，即可用基底表示，从而得到结果.【详解】因为，所以，故选：C.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查用基底表示向量，考查推理能力，属于基础题.（广东省深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）7.在中，为的中点，则A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算得 ，再利用和数量积的运算，即可求解。【详解】由题意，在中，为的中点， 所以 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的线性表示和数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。（河北省沧州市2019年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）6.在中，为的重心.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定的值，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：,，.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）4.已知向量，且，则实数（ ）A. 1B. -1C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用两个向量平行的充要条件计算即可.【详解】易知，因为，所以，解得：，故选：B【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用 解答；（2）两向量垂直，利用 解答.（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）16.在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，若，其中，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用与共线，求出与的表达式再利用基本不等式求出的最小值即可.【详解】中，为边的中点，为的中点，且，同理，又与共线，存在实数，使，即，解得，当且仅当时， “=”成立，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及基本不等式的应用，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）6.设是所在平面内一点，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，故选D考点：平面向量的线性运算（山东省泰安市2019届3月高三第一轮复习质量检测数学文科试题）13.已知ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m_.【答案】3【解析】试题分析：由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以，故选B.考点：平面向量.【此处有视频，请去附件查看】（河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考试题）4.已知向量，若，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意先确定m，n的值，进而由夹角公式得到结果.【详解】因为，且，所以，所以，则，即与的夹角为.故选：C【点睛】本题考查平面向量的线性运算以及夹角问题，考查运算求解能力.（安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学（文）试题）13.已知向量，且，则_【答案】-2或3【解析】【分析】用坐标表示向量，然后根据垂直关系得到坐标运算关系，求出结果.【详解】由题意得： 或， ，本题正确结果：或【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）9.已知ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m_.【答案】3【解析】试题分析：由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以，故选B.考点：平面向量.【此处有视频，请去附件查看】（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）8.已知是的重心，若， ，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】由三角形的重心分中线为得的值.【详解】因为点是的重心，所以点分中线为，所以，因为，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关向量的分解问题，涉及到的知识点有三角形重心的性质，平面向量基本定理，属于简