数字电路与逻辑设计

数字电路与逻辑设计授课特点：1、只讲知识点、难点和重点2、多讲习题3、重视应用，分析设计题为主。4、网上答疑ymgao83教学要求：1、会看书自学2、多做习题、作业成绩20%3、应用PSpice仿真,第一章数制和码制,1.1数字量和模拟量数字量：时间上和数值上都离散变化的物理量，最小数量单位模拟量：时间上和数值上都连续变化的物理量。处理数字信号(DigitalSignal)的电路称为数字电路，处理模拟信号（AnalogSignal)的电路称为模拟电路。数字信号传输可靠、易于存储、抗干扰能力强、稳定性好。数字信号是一种脉冲信号(PulseSignal)，边沿陡峭、持续时间短，凡是非正弦信号都称为脉冲信号。,数字信号有两种传输波形，电平型、脉冲型。电平型数字信号以一个时间节拍内信号是高电平还是低电平来表示“1”或“0”，脉冲型数字信号是以一个时间节拍内有无脉冲来表示“1”或“0”。,1.2几种常用的数制,数制中允许使用的数码个数称为数制的基数。常用的进位计数制有十进制、二进制、八进制和十六进制。D=kjNi，ki是第j位的系数，N是基数，N=10，2，8，16；Ni称为第i位的权，10i，2i，8i，16i。2009=2103+0102+0101+9100,（1）十进制：十进制数一般用下标10或D表示，如2310，87D等。（2）二进制：基数N为2的进位计数制称为二进制（Binary），它只有0和1两个有效数码，进位关系“逢二进一，借一为二”。二进制数下标2或B，如1012，1101B等。(1001.11)2=123+022+021+120+12-1+12-2=(9.75)10,（3)八进制：基数N为8的进位计数制，共8个有效数码，01234567，下标8或O。(456.1)8=482+581+680+18-1=(302.125)10,（4）十六进制：基数N为16，十六进制有09、A、B、C、D、E、F共16个数码，“逢十六进一，借一为十六”。下标16或H表示，如A116，1FH等。,(3AE.7F)16=3162+10161+14160+716-1+1516-2=(942.4960937)10,1.3不同数制间的转换,（1）二十转换：按位权展开，将所有值为1的数位的位权相加。【例1.1】（11001101.11）B=127+126+025+024+123+122+021+120+12-1+12-2=128+64+8+4+1+0.5+0.25=（205.75）D,（2)十二转换要分别对整数和小数进行转换。整数部分转换除2取余法。,【例1.2】(13)D=(1101)B第一次的余数最低有效位(LSB)，最后一次的余数最高有效位(MSB),(98)10=(1100010)2,1,0,1,1,0,0,0,0,1,1,1,小数部分转换乘2取整法第一次积的整数MSB，最后一次积的整数LSB。【例1.3】(0.8125)D=()B积的整数0.81252=1.6251MSB0.6252=1.2510.252=0.500.52=11LSB(0.8125)D=(0.1101)B,(3)十六十转换按位权展开【例1.7】1A7.CH=1162+10161+7160+1216-1=1256+1016+7+120.0625=423.75D,(4)十十六转换与十二转换方法相似，整数部分转换除16取余法，小数部分转换乘以16取整法【例1.8】287D=11FH转换过程：287/16=17余1517/16=1余1【例1.9】0.62890625D=0.A1H转换过程：0.6289062516=10.06250.062516=1,(5)二十六转换【例1.12】10111010111101.101B=0010111010111101.1010B=2EBD.AH(6)十六二转换【例1.13】十六进制数：1C9.2FH二进制数：111001001.00101111B,（7)二八转换【例1.14】010111011.101100B=273.54O（8)八二转换361.72O=11110001.111010B,1.5码制,在数字系统中，常用0和1的组合来表示不同的数字、符号、事物，叫做编码，这些编码组合称为代码（Code)。代码可以分为数字型的和字符型的，有权的和无权的。数字型代码用来表示数字的大小，字符型代码用来表示不同的符号、事物。有权代码的每一数位都定义了相应的位权，无权代码的数位没有定义相应的位权。书第13页表1.5.1给出有权码：8421、2421、5211码无权码：余3码、余3循环码。,三种常用的代码:8421BCD码，格雷(Gray)码，ASCII码。（1）8421BCD码：BCD（BinaryCodedDecimal）码，即二十进制代码，用四位二进制代码表示一位十进制数码。8421BCD码是有权码，四位的权值自左至右依次为：8、4、2、1。余3码=8421BCD码+3,（2）格雷(Gray)码：格雷码是一种无权循环码，它的特点是:相邻的两个码之间只有一位不同。,（3）ASCII码ASCII码，即美国信息交换标准码(AmericanStandardCodeforInformationInterchange)，是目前国际上广泛采用的一种字符码。ASCII码用七位二进制代码来表示128个不同的字符和符号。,第二章逻辑代数基础,逻辑代数是由英国数学家乔治布尔于1849年首先提出的，称为布尔代数。逻辑代数是研究逻辑变量间的因果关系，是分析和设计逻辑电路的数学工具。逻辑变量是使用字母表示的变量，只有两种取值1、0，代表两种不同的逻辑状态：高低电平、有无脉冲、真或假、1或0。,2.1逻辑代数的基本运算,逻辑代数基本运算有与、或、非三种，逻辑与、逻辑或和逻辑非。1.逻辑与只有决定某事件的全部条件同时具备时，该事件才发生，逻辑与，或称逻辑乘。开关A=B=1开关接通，电灯F=1灯亮，A=B=0开关断开、灯灭，逻辑与“”，写成F=AB或F=AB,与逻辑符号and,逻辑真值表(TruthTable)：自变量的各种可能取值与函数值F的对应关系。,与逻辑真值表,2.逻辑或决定某事件的诸多条件中，只要有一个或一个以上条件具备时，该事件都会发生，或称逻辑加。开关A和B中有一个接通或一个以上接通（A=1或B=1）时，灯F都会亮（F=1），逻辑或“+”。写成F=A+B,或逻辑真值表,或逻辑符号or,3.逻辑非在只有一个条件决定某事件的情况下，如果当条件具备时，该事件不发生；而当条件不具备时，该事件反而发生，称为逻辑非，也称为逻辑反。开关接通（A=1）时，电灯F不亮（F=0），而当开关断开（A=0）时，电灯F亮（F=1）。逻辑反，写成F=A,非逻辑真值表,非逻辑符号inverter,4.其他常见逻辑运算常见的复合逻辑运算有:与非、或非、异或、同或等运算的表达式：与非：Y=(AB)先与后非或非：Y=(A+B)先或后非与或非表达式：Y=(AB+CD)先与再或后取非,与或非逻辑的真值表,nandnor,异或表达式：Y=AB=AB+ABA、B不同，Y为1；A、B相同，Y为0。,可以证明：奇数个1相异或，等于1；偶数个1相异或，等于0。A0=AA=1,10=1;A=0,00=1;A1=AA=1,11=0;A=0,01=1AA=0AA=1,0101111,1,1,0,1,0,1,同或表达式：Y=AB=AB+ABA、B相同，Y为1；A、B不同，Y为0。,AB=(AB)AB=(AB)A0=AA1=AAA=1AA=0AB=AB=AB=ABAB=AB=AB=AB,2.2逻辑代数的公式,1基本公式关于变量和常量的公式00=00+0=011=11+1=101=00+1=10=11=0(1)0A=0(2)0+A=A(3)1A=A(4)1+A=1互补律(5)AA=0(6)A+A=1,重叠律(7)AA=A(8)A+A=A交换律(9)AB=BA(10)A+B=B+A结合律(11)A(BC)=(AB)C(12)A+(B+C)=(A+B)+C,分配律(13)A(B+C)=AB+AC(14)A+BC=(A+B)(A+C)用真值表证明公式A+BC=(A+B)(A+C),反演律（德摩根定律）(15)(A+B)=AB(16)(AB)=A+B还原律(17)A=A,2常用公式（1）A+AB=A证明：A+AB=A1+AB=A(1+B)=A1=A例如：(A+B)+(A+B)CD=A+B（2）A+AB=A+B应用分配律证明：A+AB=(A+A)(A+B)=1(A+B)=A+B例如：A+B+(AB)C=A+B+(A+B)C=A+B+C,在两个乘积项相加时，如果其中一项是另一个项的一个因子，则另一项可以被吸收。,一个乘积项的部分因子是另一乘积项的补，这个乘积项的部分因子是多余的。,（3）AB+AB=A证明：AB+AB=A(B+B)=A1=A（4）A(A+B)=A证明：A(A+B)=AA+AB=A+AB=A(1+B)=A1=A,当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B两个因子而其它因子相同，则两项可以合并，可将B和B两个因子消去。,变量A和包含A的和相乘时，结果等于A。,（5）AB+AC+BC=AB+AC证明：AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC例：ABC+(A+B)D+CD=(AB)C+(AB)D+CD=ABC+(AB)D=ABC+(A+B)D,在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则由这两个与项其余的因子组成的第三个与项是多余项。,推论：AB+AC+BCDE=AB+AC在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则包含这两个与项其余因子作为因子的与项是多余项。例：ABC+(A+B)D+CD(E+FG)=ABC+(A+B)D,（6）A(AB)=ABA(AB)=A证明：A(AB)=A(A+B)=AA+AB=AB证明：A(AB)=A(A+B)=AA+AB=A(1+B)=A,交叉互换律（7）AB+AC=(A+C)(A+B)证明：(A+C)(A+B)=AA+AB+AC+BC=AB+AC+BC=AB+AC,2.3逻辑代数的基本定理,代入定理：在一个逻辑等式两边出现某个变量（逻辑式）的所有位置都代入另一个变量（逻辑式），则等式仍然成立。例：已知(AB)=A+B在等式两边出现B的所有位置都代入BC左边(A(BC)=A+(BC)=A+B+C右边A+(BC)=A+B+C等式仍然成立例：已知(A+B)=AB，在等式两边B的位置都代入B+C左边(A+(B+C)=A(B+C)=ABC右边AB=A(B+C)=ABC等式仍然成立,反演定理对一个逻辑函数Y进行如下变换：将所有的“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到函数Y的反函数Y例：Y=AB+(AC)+D)Y=(A+B)(A+C)D)注意两点：保持原函数中逻辑运算的优先顺序；逻辑式上（不是单个变量上）的反号可以保持不变。,对偶定理对一个逻辑函数Y进行如下变换：将所有的“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到函数Y的对偶函数YD。例：Y1=A(B+C)，Y1D=A+BCY2=AB+AC，Y2D=(A+B)(A+C)Y3=(AB+CD)Y3D=(A+B)(C+D)Y4=AB+(C+D)Y4D=(A+B)(CD)对偶规则：如果两个函数相等，则它们的对偶函数亦相等。例：已知A(B+C)=AB+AC则两边求对偶A+BC=(A+B)(A+C),2.4逻辑函数的描述方法,(1)逻辑函数的表示方法逻辑函数常用的描述方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图和逻辑图等。逻辑真值表用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格，称为真值表。例如，在一个判奇电路中，当A、B、C三个变量中有奇数个1时，输出Y为1；否则，输出Y为0。,判奇电路的真值表,从真值表写逻辑函数式：Y=1的组合，1写原变量0写反变量，乘积项相加。ABCABCABCABC001010100111判奇电路的表达式：Y=ABC+ABC+ABC+ABC,表达式常用的逻辑表达式有与或表达式、标准与或表达式、或与表达式、标准或与表达式、与非与非表达式、或非或非表达式、与或非表达式等。与或表达式：Y=AB+ACD标准与或表达式：Y=ABCD+ABCD+ABCD或与表达式：Y=(A+B)(A+C+D)标准或与表达式：Y=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)与非与非表达式：Y=(AB)(AD)或非或非表达式：Y=(A+B)+(C+D)与或非表达式：Y=(AB+CD),逻辑图由逻辑门电路符号构成的，表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。P1=AP2=BP3=CDP4=(P1P2)P5=(P2P3)Y=(P4+P5)Y=(AB)+(B(CD),(2)不同描述方法之间的转换表达式真值表首先按自然二进制码的顺序列出所有逻辑变量的不同取值组合，确定出相应的函数值。逻辑函数Y=AB+BC+CA的真值表10XX100X1从逻辑式列出真值表Y=A+BC+ABC1XXX01010Y=m1+m2+m4+m5+m6+m7,真值表表达式Y=ABC+ABC+ABC+ABC,逻辑式逻辑图Y=(A+B)+(A+B)=AB逻辑图逻辑式,(3)逻辑函数的两种标准形式：标准与或表达式和标准或与表达式。最小项表达式：每个与项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量仅出现一次。标准与项，又称最小项。n变量的最小项有2n个。ABC三变量的最小项有ABCABCABC最小项的性质（了解）(1)每个最小项都有一个取值组合使其值为1，其余任何组合均使该最小项为0。(2)全体的最小项之和为1。(3)任意两个不同最小项的乘积为0。(4)相邻的两个最小项合并成一项，消去一对不同的因子。只有一个因子不同的最小项具有相邻性。,最小项编号：最小项对应变量取值组合的大小，为最小项编号。例：ABC对应的变量取值组合为101，其大小为5，所以ABC的编号为5，记为m5。最小项变量取值组合，原变量取值为1；反变量取值为0。【例1】Y=A+BC+ABC的最小项表达式。Y=A+BC+ABC=A(B+B)(C+C)+(A+A)BC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=m1+m2+m4+m5+m6+m7或Y(A,B,C)=mi(i=1,2,4,5,6,7)或Y(A,B,C)=(1,2,4,5,6,7)一个与项如果缺少一个变量，生成两个最小项；一个与项如果缺少两个变量，生成四个最小项；一个与项如果缺少n个变量，则生成2n个最小项。,【例2】从真值表写出逻辑函数的最小项表达式。解：Y(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC=m1+m2+m4+m7=mi(i=1,2,4,7),最大项表达式每个或项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量出现一次且仅出现一次。标准或项，又称最大项。例：最大项(A+B+C)的变量取值组合为010，其大小为2，因而，(A+B+C)的编号为2，记为M2。,由真值表求函数的标准或与表达式时，找出真值表中函数值为0的对应组合，将这些组合对应的最大项相与。【例】已知逻辑函数的真值表，写出函数的标准或与表达式。解：函数F的最大项表达式为,Y(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M1M2M4M7=Mk(1,2,4,7),最小项表达式和最大项表达式之间的转换Mi=mi同一函数，标准与或式中最小项的编号和标准或与式中最大项的编号是互补的，最小项的编号与最大项的编号在同一逻辑函数的表达式不相同。逻辑函数，则Y=0的最小项之和为Y得到,【例】已知Y=(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC，写出最小项表达式。Y=(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC=(1,2,4,7)=(0,3,5,6)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)【例】已知Y=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)，写出标准与或表达式。Y=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=(1,3,5,7)=(0,2,4,6)=ABC+ABC+ABC+ABC,2.5逻辑函数的化简最简表达式有很多种，最常用的有最简与或表达式和最简或与表达式。最简与或表达式必须满足的条件：(1)乘积项个数最少。(2)乘积项中变量的个数最少。Y=ABC+BC+ACD=AC+BC最简或与表达式必须满足的条件有：(1)或项个数最少。(2)或项中变量的个数最少。常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种。,一、公式法化简公式法化简逻辑函数，是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。常用方法有以下四种。并项法AB+AB=A将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。【例】Y=AB+AB+AB+AB=(AB+AB)+(AB+AB)=A+A=1吸收法A+AB=A吸收多余的与项。【例】F=(A+AB+ABC)(A+B+C)=A(A+B+C)=AA+AB+AC=A+AB+AC=A,消因子法A+AB=A+B消去与项多余的因子。【例】Y=AB+AC+BC+CD+D=AB+AC+BC+C+D=AB+A+B+C+D=B+A+B+C+D=1消项法AB+AC=AB+AC+BC进行配项，以消去更多的与项。【例】Y=AB+BD+DA+DCE=AB+BD+AD+DA+DCE=AB+BD+D+DCE=AB+D,配项法A+A=A，A+A=1配项，能更加简化表达式。方法Y=ABC+ABC+ABC=(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=AB(C+C)+BC(A+A)=AB+BC方法2：Y=AB+AB+BC+BC=AB+AB(C+C)+BC+(A+A)BC=AB+ABC+ABC+BC+ABC+ABC=(AB+ABC)+(ABC+BC)+(ABC+ABC)=AB+BC+AC,公式法常用4种化简方法并项法AB+AB=A吸收法A+AB=A消因子法A+AB=A+B消项法AB+AC=AB+AC+BC配项法A+A=A，A+A=1,【例】Y=AB+BC+BC+AB=AB+BC+(BC+AB)=AB+BC+BC+AB+AC=AB+BC+(BC+AC+AB)=AB+BC+BC+AC=(AB+AC+BC)+BC=AB+AC+BC【例】Y=AB+AC+BC+BD+BD+BC+ADE(F+G)=A(B+C)+BC+BD+BD+BC+ADE(F+G)=A(BC)+BC+BD+BD+BC+ADE(F+G)=A+BC+BD+BD+BC+ADE(F+G)=A+BD+BD+BC+CD=A+BD+BC+CD求与非-与非式两次求反Y=(A+BD+BC+CD)=(A(BD)(BC)(CD),BD+CD=BC,BC+CD=BD,CD,【例】Y=A(A+B)(A+C)(B+D)(A+C+E+F)(B+F)(D+E+F)求Y的对偶式并化简YD=A+AB+AC+BD+ACEF+BF+DEF=A+AC+BD+BF=A+C+BD+BF再求对偶式Y=(YD)D=AC(B+D)(B+F)求或非-或非式两次求反Y=(AC(B+D)(B+F)=(A+C+(B+D)+(B+F),+DF,二、卡诺图法化简1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。,01AB,101ABC,011ABC010ABC,100ABC,110ABC,方格中的数字为该方格对应最小项的十进制数，称该方格的编号。一个四变量函数的卡诺图，方格中的0和1表示在对应变量取值组合下该函数的取值。,真值表卡诺图找出真值表中函数值为1的变量组合，在卡诺图中具有相应编号的方格中标上1。,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,表达式卡诺图【例】画出逻辑函数Y=AC+(B+A+D)+ABCD的卡诺图。Y=AC+(B+A+D)+ABCD=AC+ABD+ABCD一个与项如果缺少一个变量，对应卡诺图中两个方格；一个与项如果缺少两个变量，对应卡诺图中四个方格；一个与项如果缺少n个变量，则对应卡诺图中2n个方格。,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,卡诺图标准表达式Y=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=(0,2,7,8,10,13),0000,0010,0111,1000,1010,1101,卡诺图标准或与式【例】Y=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)=(1,5,9,15),0,0,0,0,0001,0101,1001,1111,2.卡诺图化简法求最简与或式卡诺图的相邻性最小项的相邻性定义：两个最小项，只有一个变量的形式不同，其余变量的都不变，这两个最小项是逻辑相邻的。ABCABCABCABC卡诺图的相邻性判别：在卡诺图的两个方格中，如果只有一个变量的取值不同，其余变量的取值都不变，则这两个方格对应的最小项是逻辑相邻的。,111,110,100,000,卡诺图化简法的一般规律（1）两个相邻的1方格圈在一起，消去一个变量。ABC+ABC=AB00000100XABC+ABC=AC0010110X1ABC+ABC=BC101001X01,ABC+ABC=AC1001101X0ABCD+ABCD=BCD01011101X101ABCD+ABCD=BCD00111011X011,（2）四个相邻的1格圈在一起，消去两个变量。,0000+00101000+1010,1,1,1,1,00X0,10X0,+,=X0X0BD,（3）八个相邻的1方格圈在一起，消去三个变量。,(4）2n个相邻的1方格圈在一起，消去n个变量。2n个相邻的1方格对应的2n个最小项中，有n个变量的形式变化过，将它们相或时可以消去这n个变量，只剩下不变的因子。（5）如果卡诺图中所有的方格都为1，将它们圈在一起，结果为1。,卡诺图化简法的步骤和原则卡诺图化简最简与或式的一般步骤：（1）画出函数的卡诺图；（2）先圈孤立1格；（3）再圈只有一个方向的最小项（1格）组合；（4）合并其余最小项，每个圈内必须有一个1格未被圈过。（5）写出最简与或表达式。,Y(A,B,C,D)=m(0,2,5,6,7,9,10,14,15)写出最简与或式。Y=ABCD+ABD+CD+BC+ABD,1,1,1,1,1,1,1,1,1,ABCD,ABD,CD,BC,ABD,卡诺图化简最简与或式的原则：（1）每个1格至少被圈一次。当某个方格被圈多于一次时，相当于对这个最小项使用同一律A+A=A，并不改变函数的值。（2）每个圈中至少有一个1方格是其余所有圈中不包含的。如果一个圈中的任何一个1方格都出现在别的圈中，则这个圈就是多余的。（3）任一圈中不能包含0格。（4）圈的个数越少越好。圈的个数越少，得到的与项就越少。（5）圈越大越好。圈越大，消去的变量越多，所得与项包含的因子就越少。每个圈中包含的1方格的个数必须是2的整数次方。,【例】化简函数Y=D(A+B)+B(C+AD)写出最简与或式。解：Y=D(A+B)+B(C+AD)=AD+BD+BC+ABD填卡诺图=D+BC,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,D,BC,【例】Y=m（0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15），写出最简与或式。（a）Y=BD+ABC+ACD+ABC+ACD两次求反实现与非-与非表达式(Y)=(BD)(ABC)(ACD)(ABC)(ACD)（b）Y=BD+ABC+ACD+ABC+ACD(Y)=(BD)(ABC)(ACD)(ABC)(ACD),1,1,1,1,BD,ABC,ACD,ACD,ABC,3.卡诺图化简求最简或与式对相邻的0格进行合并。【例】Y=ACD+AB+ABCD+ABCD，最简或与式。解：方法直接圈0格，写或与表达式Y=(A+B)(B+D)(A+B+C)方法圈0格，求反函数的最简与或式，再取反。Y=AB+BD+ABCY=(A+B