高中数学 2.3.2.2双曲线方程及性质的应用课件 新人教A版选修21 .ppt

第2课时双曲线方程及性质的应用,【题型示范】类型一直线与双曲线的位置关系【典例1】(1)双曲线的左、右焦点分别为f1，f2.给定四条直线：5x-3y=0;x-y-4=0;5x-3y-52=0;4x-3y+15=0.如果上述直线上存在点p，使|pf2|=|pf1|+6，则满足这样条件的直线对应的序号是_.,(2)(2014天津高二检测)已知双曲线c:(a0,b0)的离心率为且过点求双曲线c的方程；若直线l1:与双曲线c恒有两个不同的交点a，b，求k的取值范围.,【解题探究】1.题(1)满足条件|pf2|-|pf1|=2a(2a|f1f2|)的点p的轨迹是什么?2.题(2)直线l1与双曲线c有两个公共点应满足什么条件?【探究提示】1.满足条件|pf2|-|pf1|=2a的点p的轨迹为双曲线的左支.2.由直线l1与双曲线c的方程组成的方程组应有两组解.,【自主解答】(1)由所以a2=9,b2=16,所以c2=25,c=5,由双曲线的定义，双曲线上任意一点p满足|pf2|-|pf1|=610.当直线上存在点p满足|pf2|-|pf1|=6时，说明直线与双曲线的左支有公共点.由已知双曲线的渐近线方程为对于两直线的斜率均为故均与双曲线左支无公共点，经验证表示的直线与双曲线有交点.答案：,(2)由可得所以a2=3b2,故双曲线方程可化为将点代入双曲线c的方程，可解得b2=1.所以双曲线c的方程为,联立直线与双曲线方程由题意得解得-10)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(),【解析】选a.因为双曲线的一个焦点在直线l上,易知直线l过双曲线左焦点,所以0=-2c+10,即c=5,又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10,故有=2,结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20,所以双曲线的标准方程为=1.,【补偿训练】若直线y=kx+1与双曲线x2-y2=4有两个相异公共点，求k的取值范围.【解析】将y=kx+1代入双曲线方程x2-y2=4,化简得：(1-k2)x2-2kx-5=0.要使直线与双曲线有两个相异的公共点，则有两个不相等的实根，应满足得且k1.故k的取值范围是,类型二直线与双曲线相交弦问题【典例2】(1)(2014温州高二检测)直线l与双曲线的同一支相交于a，b两点，线段ab的中点在直线y=2x上，则直线ab的斜率为_.(2)已知点和点动点c到a，b两点的距离之差的绝对值为2，点c的轨迹与直线y=x-2交于d，e两点，求线段de的长.,【解题探究】1.题(1)如何表示线段ab的中点坐标?2.题(2)若直线l:y=kx+b(k0)与双曲线交于a(x1,y1),b(x2,y2),你能把弦|ab|的长表示出来吗？【探究提示】1.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则线段ab的中点坐标为2.|ab|=,【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b,由消去y得：(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.因为l与双曲线交于a，b两点，设a(x1,y1),b(x2,y2)，故=8b2+8-16k20,1-2k20,由根与系数的关系知：x1+x2=则y1+y2=k(x1+x2)+2b=,因为线段ab的中点在直线y=2x上，所以有得满足式.当直线l的斜率不存在时，不符合题意.答案：,(2)设点c(x,y),则|ca|-|cb|=2,根据双曲线的定义，可知点c的轨迹是双曲线由2a=2,2c=|ab|=得a2=1,b2=2,故点c的轨迹方程是,由消去y并整理得x2+4x-6=0,因为0,所以直线与双曲线有两个交点，设d(x1,y1),e(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6，故|de|=,【方法技巧】求弦长的两种方法(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长.(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l:y=kx+b(k0)与双曲线c：(a0,b0)交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则|ab|=提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况.,【变式训练】已知双曲线过点p(1，1)能否作一条直线l,与双曲线交于a，b两点，且点p是线段ab的中点？【解析】设所求直线方程为y=k(x-1)+1,由得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0.,因为l与双曲线相交于a，b两点，所以=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)0得设a(x1,y1),b(x2,y2)，由根与系数的关系，有x1+x2=若点p是线段ab的中点，则有x1+x2=2,即解得k=2(舍)，所以这样的直线不存在.,【补偿训练】斜率为2的直线l与双曲线c:交于a，b两点，且|ab|=4，求直线l的方程.【解析】设直线l的方程为y=2x+m,将y=2x+m代入双曲线c的方程2x2-3y2-6=0得10 x2+12mx+3m2+6=0(*)设a(x1,y1),b(x2,y2),由根与系数的关系得,又|ab|=所以5(x1+x2)2-4x1x2=16将式代入，解得所以直线l的方程为,类型三双曲线性质的综合应用【典例3】(1)已知双曲线(a0,b0)的左、右焦点分别为f1(-c，0)，f2(c，0).若双曲线上存在一点p，使则该双曲线的离心率的取值范围是_.,(2)(2014大庆高二检测)在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线c1：2x2-y2=1.过c1的左顶点引c1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；设斜率为1的直线l交c1于p，q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：opoq.,【解题探究】1.题(1)条件如何转化？2.题(2)几何条件opoq如何转化为代数条件？【探究提示】1.利用正弦定理，可将转化为边之间的比值.2.条件opoq，一般转化为即若设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则得x1x2+y1y2=0.,【自主解答】(1)在pf1f2中由正弦定理得：即所以,由双曲线定义知：|pf1|-|pf2|=2a，则|pf2|-|pf2|=2a，即|pf2|=由双曲线的几何性质，知|pf2|c-a，则c-a,即c2-2ac-a20,所以e2-2e-10),离心率顶点到渐近线的距离为(1)求双曲线c的方程.(2)如图p是双曲线c上一点，a，b两点在双曲线c的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限，若求aob的面积.,【解析】(1)由题意知，双曲线c的顶点(0，a),到渐近线ax-by=0的距离为所以所以由得所以曲线c的方程是,(2)由(1)知双曲线c的两条渐近线方程为y=2x,设a(m，2m)，b(-n，2n)，(m0,n0),由得p点坐标为将p点坐标代入化简得mn=设aob=2，则又所以,【规范解答】与双曲线有关的综合问题【典例】(12分)(2013大纲版全国卷改编)已知双曲线c:(a0,b0)的左、右焦点分别为f1，f2，离心率为3，直线y=2与c的两个交点间的距离为(1)求a,b.(2)设过f2的直线l与c的左、右两支分别相交于a,b两点，且|af1|=|bf1|.求直线l的方程.,【审题】抓信息,找思路,【解题】明步骤,得高分,【点题】警误区,促提升失分点1:解题时若在处建立不出关于a的等式,求不出a,则会导致下面无法求解,本例最多得2分.失分点2:若在处代入消元,得出错误的一元二次方程,致使下面的求解错误,本例最多得5分.失分点3:若在处无法表示出x1+x2的具体值,而含有参数k,导致后面求线段长时也含有字母k,而无法判断其关系,本例最多得10分.,【悟题】提措施,导方向1.注重基础知识的掌握直线与双曲线的位置关系是一种重要关系,而涉及相交弦的问题是常见类型,其解决方法一般利用代数法.如本例第(2)问消元后,由根与系数的关系,借助于|af1|=|bf1|求k的值是本题解题的关键.,2.重视知识间的联系双曲线的综合问题,常常是双曲线与向量、不等式、数列等知识的结合,平时训练时要注意对这些知识结合点的考查,如本例便是双曲线与方程知识的结合.,【类题试解】p(x0,y0)(x0a)是双曲线e:(a0,b0)上一点,m,n分别是双曲线e的左、右顶点,直线pm,pn的斜率之积为(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线e的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于a,b两点,o为坐标原点,c为双曲线上一点,满足求的值.,【解析】(1)点p(x0,y0)(x0a)在双曲线上,有由题意又有可得a2=5b2，c2=a2+b2=6b2，则(2)联立得4x2-10cx+35b2=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则(*),设即又c为双曲线上一点，即x32-5y32=5b2，有(x1+x2)2-5(y1+y2)2=