2020年常德市高三年级5月份模拟考试理数试卷含答案

科目：数学（理工农医类）（试题卷）注意事项： 1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等填写清楚，并认真核对 2选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效考生在答题卡上按如下要求答题： （1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按照题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡保持字体工整，笔迹清楚、卡面清洁 3本试卷共 4页如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负 4考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回姓 名 准考证号 祝 你 考 试 顺 利 ！2020年常德市高三年级模拟考试数学（理工农医类）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则A B C D2.已知复数满足，且，则A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和为，且，则第4题图A.6 B.7 C.8 D.94.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的三个全等的等腰直角三角形是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. .某位职员2018年与2019年的家庭总收入各种用途所占比例的统计图第5题图C. D.5.如图所示，折线图和条形图分别为某位职员2018年与2019年的家庭总收入各种用途所占比例的统计图，已知2018年的家庭总收入为10万元，2019年的储蓄总量比2018年的储蓄总量减少了10，则下列说法：2019年家庭总收入比2018年增长了8；2019年衣食住的总费用与2018年衣食住的总费相同；2019年的旅行总费用比2018年增加了2800元；2019年的就医总费用比2018年增长了5其中正确的个数为：A.1 B. 2 C. 3 D. 4第6题图6.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是A.函数在区间上单调递增B.函数的最小正周期为C.函数的图象关于点对称D.函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到 7.设函数的定义域为，满足，且当时，则 A. B. C. D.8.双曲线的一条渐近线与圆相交于，若的面积为2，则双曲线的离心率为 A. B. C. D.9.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若，且，则A. B. C. D. 第10题图10. 河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”.把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中。“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木。现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为A. B. C. D. 11.抛物线过点，直线过点且与抛物线交于两点，与轴交于点，则下列命题：抛物线的焦点为；抛物线的准线为；其中正确命题有 A. B. C. D. 12.已知函数是定义域为R的偶函数，当时，且，则不等式的解集为 A. B. C. D.第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，第22题第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13.设向量，且，则_.14.已知，则_.15.已知函数为偶函数，当时，则函数在处的切线方程为_.ABCDBCDP第16题图16.如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，BC=2AB=4AD=4，将直角梯形ABCD沿对角线BD折起，使点A到P点位置，则四面体PBCD的体积的最大值为_,此时，其外接球的表面积为_.三、解答题： 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17 (本小题满分12分)已知数列的前项和为，且.（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，设数列的前项和为， 证明：ABCED第18题图18(本小题满分12分) 如图，已知平面平面，直线平面，且.（）求证：平面；（）若，求二面角的余弦值19(本小题满分12分)已知椭圆:，右顶点为，右焦点为，为坐标原点，椭圆过点（）求椭圆的方程；（）若过点的直线与椭圆交于不同的两点（在之间），求与面积之比的取值范围.20(本小题满分12分)2020年全球爆发新冠肺炎，人感染了新冠肺炎病毒后常见的呼吸道症状有：发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重时会危及生命.随着疫情的发展，自2020年2月5日起，武汉大面积的爆发新冠肺炎，政府为了及时收治轻症感染的群众，逐步建立起了14家方舱医院，其中武汉体育中心方舱医院从2月12日开舱至3月8日闭仓，累计收治轻症患者1056人.据部分统计该方舱医院从2月26日至3月2日轻症患者治愈出仓人数的频数表与散点图如下：日期2.262.272.282.293.13.2序号123456出仓人数38173168168根据散点图和表中数据，某研究人员对出仓人数与日期序号进行了拟合分析.从散点图观察可得，研究人员分别用两种函数；分析其拟合效果.其相关指数可以判断拟合效果，越大拟合效果越好.已知的相关指数为.（）试根据相关指数判断上述两类函数，哪一类函数的拟合效果更好？（注：相关系数与相关指数满足，参考数据表中）（）根据（）中结论，求拟合效果更好的函数解析式；（结果保留小数点后三位） 3月3日实际总出仓人数为216人，按中的回归模型计算，差距有多少人？(附：对于一组数据，其回归直线为相关系数，参考数据：3.549.1715.173.13894.8319666.8310.5513.563957.83，）21(本小题满分12分) 已知函数.（）求函数的单调区间；（）当时，对任意，证明：.请考生在第22，23题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按做的第一个题目计分22(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为为参数，曲线的极坐标方程为：.且两曲线与交于两点.（）求曲线、的直角坐标方程；（）设，若成等比数列，求的值.23(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知实数满足，；（）求证：；（）当（）中不等式取等号时，且关于的不等式的解集非空，求的取值范围.2020年常德市高考模拟试题 理科数学试卷一总分：150分时量:120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合P=，Q=，则PQ=_（桃源县第四中学）A、 B、C、 D、答案：由已知得Q=-1，6 P=（-5，6）故PQ=-1，6故选C2.设复数满足，则下列说法正确的是 ( ) (桃源一中)A. 的虚部为B.为纯虚数C. D. 在复平面内，对应的点位于第二象限答案：C由得，3.设等差数列的前项的和为，若，则 ( ) (桃源一中)A. 37B.16 C. 13D. -9答案：B 设等差数列的公差为d，由得：，将代入上式解得，故（法二：，又，所以，由得，故4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中)A这16日空气重度污染的频率为0.5B该市出现过连续4天空气重度污染C这16日的空气质量指数的中位数为203D 这16日的空气质量指数的平均值大于200答案：D 这16日空气重度污染的频率为故A正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B正确；中位数为，故C正确；，（也可根据图形判断，8个数据大于200，8个数据小于200，小于200的8个数据整体与200相差较大），故D不正确.5.已知为抛物线：上一点，为的焦点，若，则的面积为 ( ) (桃源一中)A. B.C. D.答案：A 设，抛物线的焦点，准线为，由抛物线的定义可知：代入的方程得，6.函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图像，则下列说法不正确的是( ) (桃源一中)A函数的最大值为3 B函数关于点对称 C函数在上单调递增 D函数的最小正周期为答案：B 由图可知，将点代入，得，故，右平移个单位长度得：，故A，C，D正确，选B7.已知向量a与a+b的夹角为，| a |=1，| b |=，则ab= ( ) (桃源一中)A. B.C. D.或答案：A如图，由余弦定理：，已知，代入上式得，故，即，法二：设与的夹角为，由题设，即，所以，即，所以或，经检验，不符合(1)式，舍去，故8.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为100秒，且一次亮红灯的时间不超过70秒，一次亮绿灯的时间不超过60秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为 ( ) (桃源一中)A. B.C. D.答案：C 设亮绿灯的时间随机设置为t秒，则，亮红灯的时间，所以，亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为，由几何概型的概率公式知：9.的展开式中的常数项为 ( ) (桃源一中)A. B.C. D.答案：B的通项为，所以的展开式中的常数项为和，又，所以的展开式中的常数项为18010.设函数，则不等式的解集为 ( ) (桃源一中)A. B.C.D.答案：D 的定义域为，考虑函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，g(x)的图像向右平移1个单位得到的图像，所以函数关于x=1对称，在上单调递减，在上单调递增.由，可得，解得：且甲的三视图图三乙的三视图三甲的三视图三乙的三视图三11.几何体甲与乙的三视图如右图，几何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形，且等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等，若几何体甲与乙的体积相等，则几何体甲的外接球的表面积与几何体乙的表面积之比为 ( ) (桃源一中)A. B.C. D.答案：B 由三视图可知甲为圆锥，乙为球，设球的半径为，设圆锥底面半径为，则圆锥高，因为甲与乙的体积相等，所以，即，；设圆锥的外接球半径为，则即，故几何体甲的外接球与几何体乙的表面积之比为.12.已知函数，（其中a为常数），则下列说法中正确的个数为 ( ) (桃源一中)函数恰有4个零点； 对任意实数a，函数至多有3个零点；若a0，则函数有且仅有3个零点；若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为(桃源一中)A. 1B. 2 C. 3D. 4 答案：B当时，的图像为抛物线的一部分当时，当时，所以时，单调递增，时，单调递减，画出的图像如图所示，由图可知恰有3个零点，故不正确；PP设的过原点的切线的斜率为，切点为，由，解得在处的切线的斜率为，因为零点个数，即函数与的交点个数，由图可知：时，有1个交点；时，有2个交点；时，有3个交点；时，有4个交点；时，有3个交点.所以 不正确；正确.（说明：显然是的零点，x0时，也可转化为零点的个数问题，也可以画图得出答案）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13.已知函数，则曲线在处的切线方程为_.(桃源一中)14已知实数满足约束条件则的最小值为 -2 （鼎城一中）15.已知数列的各项为正，记为的前项和，若，则_121_.(桃源一中)16.已知双曲线C:，是坐标原点，是的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为且为直角，记和的面积分别为和，若，则双曲线的离心率为（鼎城一中）答案：.或三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题12分）已知向量m，n，且函数mn.()若，且，求的值；()在锐角中，角的对边分别为，若的面积为，且，求的周长. (桃源一中)解：()mn(2分），又，(4分）所以(6分）()因为，所以，即由正弦定理可知，又所以(8分）由已知的面积，可得，又(10分）由余弦定理得，故，从而所以的周长为(12分）18（本小题12分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，是的中点()在线段上找一点，使得平面，并证明；()在(1)的条件下，若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值(桃源一中)解：()是线段PA的中点，(1分）证明：连接BE，OE，OB，O是AD的中点，又平面，平面，平面，(3分）又底面是直角梯形，又平面，平面，平面，(4分）平面，平面，平面平面，又平面，平面(6分）（也可通过线线平行来证明线面平行）()平面平面，平面，且，以为原点，如图建立空间直角坐标系，(8分）得，得，设是平面的一个法向量，则，得，取，得，(10分）又易知是平面的一个法向量，设平面与平面所成的锐二面角为，则，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为(12分）19（本小题12分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名某快递公司收取费的标准是：不超过1kg的包裹收费8元；超过1kg的包裹，在8元的基础上，每超过1kg(不足1kg，按1kg计算)需再收4元该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1)：包裹质量（kg)（0，1（1，2（2，3（3，4（4，5包裹件数43301584表1：公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数，列表如下(表2)：件数范围(0，100(100，200(200，300(300，400(400，500天数5102555每天承揽包裹的件数50150250350450表2：()将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在(100，300内的概率；() 根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人? (桃源一中)解：()将频率视为概率，样本中包裹件数在(100，300内的天数为，频率为，故该公司1天揽件数在(100，300内的概率为(2分）未来3天包裹件数在(100，300内的天数X服从二项分布，即所以未来3天内恰有1天揽件数在100，299内的概率为：(5分）() 由题 可知，样本中包裹质量（kg)、快递费（元）、包裹件数如下表所示：包裹质量（kg)（0，1（1，2（2，3（3，4（4，5快递费（元）812162024包裹件数43301584所以每件包裹收取快递费的平均值为(7分）根据题意及，揽件数每增加1，公司快递收入增加12（元）若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：件数范围(0，100(100,200(200,300(300，400(400，500天数5102555每天承揽包裹的件数Y50150250350450概率P0.10.20.50.10.1每天承揽包裹的件数Y的期望E(Y)=500.1+1500.2+2500.5+3500.1+4500.1=240公司每日利润的期望值为元(9分）若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如下：件数范围(0，100(100，200(200，300(300，400(400，500天数5102555每天承揽包裹的件数Y50150250350400概率P0.10.20.50.10.1每天承揽包裹的件数Y的期望E(Y)=500.1+1500.2+2500.5+3500.1+4000.1=235公司每日利润的期望值为元(11分）因为560620 ，所以公司应将前台工作人员裁员1人(12分）20.有一种曲线画图工具如图1所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的曲线记为C以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系（）求曲线C的轨迹方程；（2)设为曲线C的右焦点，为曲线C上一动点，直线斜率为，且与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点，使得,若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.（芷兰实验学校谌兴明供题）解（1）设则，则及（2）设直线的方程为，将代入，得；设，线段的中点为，即因为所以直线为线段的垂直平分