初二下册数学难题精华

1 初二（下册）数学题精选初二（下册）数学题精选 分式：分式：z z 一：如果一：如果 abc=1,abc=1,求证求证 1 1 aab + + 1 1 bbc + + 1 1 cac =1=1 解：原式= 1 1 aab + aababc a + ababcbca ab 2 = 1 1 aab + aab a 1 + aba ab 1 = 1 1 aab aab =1 二：已知二：已知 a 1 + + b 1 = = )(2 9 ba ，则，则 a b + + b a 等于多少？等于多少？ 解： a 1 + b 1 = )(2 9 ba ab ba = )(2 9 ba 2(ba ) 2 =9ab 2 2 a+4ab+2 2 b=9ab 2（ 22 ba ）=5ab ab ba 22 = 2 5 a b + b a = 2 5 三：三：一一个圆柱形容器的容积为个圆柱形容器的容积为 V V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径 为小水管倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间为小水管倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间 t t 分。求两根水管各自注水的速度。分。求两根水管各自注水的速度。 解：设小水管进水速度为 x，则大水管进水速度为 4x。 由题意得：t x v x v 82 解之得： t v x 8 5 经检验得： t v x 8 5 是原方程解。 小口径水管速度为 t v 8 5 ，大口径水管速度为 t v 2 5 。 四：联系实际编拟一道关于分式方程四：联系实际编拟一道关于分式方程2 2 88 xx 的应用题。要求表述完整，条件充分并写出解答过程。的应用题。要求表述完整，条件充分并写出解答过程。 2 解略 五：五：已知已知 M M 22 2 yx xy 、N N 22 22 yx yx ，用，用“+ +”或或“”连结连结 M M、N,N,有三种不同的形式，有三种不同的形式，M+NM+N、M-NM-N、N-MN-M，请你任取其，请你任取其 中一种进行计算，并简求值，其中中一种进行计算，并简求值，其中 x x：y=5y=5：2 2。 解：选择一： 222 2222 2() ()() xyxyxyxy MN xyxyxy xyxy ， 当xy=52 时， 5 2 xy，原式= 5 7 2 5 3 2 yy yy 选择二： 222 2222 2() ()() xyxyxyyx MN xyxyxy xyxy ， 当xy=52 时， 5 2 xy，原式= 5 3 2 5 7 2 yy yy 选择三： 222 2222 2() ()() xyxyxyxy NM xyxyxy xyxy ， 当xy=52 时， 5 2 xy，原式= 5 3 2 5 7 2 yy yy 反比例函数：反比例函数： 一：一张边长为一：一张边长为 1616cmcm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E E”图案如图图案如图 1 1 所示小矩形所示小矩形 的长的长x x（cmcm）与宽）与宽y y（cmcm）之间的函数关系如图）之间的函数关系如图 2 2 所示：所示： （1 1）求）求y y与与x x之间的函数关系式；之间的函数关系式； （2 2） “E E”图案的面积是多少？图案的面积是多少？ （3 3）如果小矩形的长是）如果小矩形的长是 6 6x x12cm12cm，求小矩形宽的范围，求小矩形宽的范围. . 解： （1） 设函数关系式为 x k y 函数图象经过 （ 10 ， 2 ） 10 2 k k=20， x y 20 3 （2） x y 20 xy=20， 2162022 16 2 xy SSE 正 （3）当x=6 时， 3 10 6 20 y 当x=12 时， 3 5 12 20 y 小矩形的长是 6x12cm，小矩形宽的范围为cmy 3 10 3 5 二：二：是一个反比例函数图象的一部分，点是一个反比例函数图象的一部分，点(110)A ，(101)B，是它的两个端点是它的两个端点 （1 1）求此函数的解析式，并写出自变量）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；的取值范围； （2 2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例 解： （1）设 k y x ，(110)A，在图象上，10 1 k ，即1 1010k ， 10 y x ，其中110 x； （2）答案不唯一例如：小明家离学校10km，每天以km/hv的速度去上学，那么小明从 家去学校所需的时间 10 t v 三三：如图如图，A A和和B B都与都与x x轴和轴和y y轴相切轴相切，圆心圆心A A和圆心和圆心B B都在反比例函数都在反比例函数 1 y x 的图象上的图象上，则则 图中阴影部分的面积等于图中阴影部分的面积等于. . A B Ox y 答案：r=1 S=r= 四四：如图如图 1111，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M M（2 2，1-） ，且且P P（1-，2 2）为双曲线上的一点为双曲线上的一点，Q Q为坐为坐 标平面上一动点，标平面上一动点，PAPA垂直于垂直于x x轴，轴，QBQB垂直于垂直于y y轴，垂足分别是轴，垂足分别是A A、B B （1 1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2 2）当点当点Q Q在直线在直线MOMO上运动时上运动时，直线直线MOMO上是否存在这样的点上是否存在这样的点Q Q，使得使得OBQOBQ与与OAPOAP面积相等？如果存在面积相等？如果存在，请求出点的坐请求出点的坐 标，如果不存在，请说明理由；标，如果不存在，请说明理由； （3 3）如图）如图 1212，当点，当点Q Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以在第一象限中的双曲线上运动时，作以OPOP、OQOQ为邻边的平行四边形为邻边的平行四边形OPCQOPCQ，求平行四边形，求平行四边形OPCQOPCQ周长周长 的最小值的最小值 1 110 10 A B Ox y 4 解： （1）设正比例函数解析式为ykx，将点M（2，1）坐标代入得 1 2 k =，所以正比例函数解析式为 1 2 yx= 同样可得，反比例函数解析式为 2 y x = （2）当点Q在直线DO上运动时， 设点Q的坐标为 1 () 2 Q mm， 于是 2 1111 2224 OBQ SOBBQmmm =创=， 而 1 ( 1)( 2)1 2 OAP S=- -=， 所以有， 2 1 1 4 m =，解得2m 所以点Q的坐标为 1(2 1) Q，和 2( 2 1)Q，- （3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OPCQ，OQPC， 而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值 因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为 2 ()Q n n ， 由勾股定理可得 222 2 42 ()4OQnn nn =+=-+， 所以当 2 2 ()0n n -=即 2 0n n -=时， 2 OQ有最小值 4， 又因为OQ为正值，所以OQ与 2 OQ同时取得最小值， 所以OQ有最小值 2 由勾股定理得OP5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是 2()2( 52)2 54OPOQ+=+=+ 五：五：如图，在平面直角坐标系中，直线如图，在平面直角坐标系中，直线 ABAB 与与 Y Y 轴和轴和 X X 轴分别交于点轴分别交于点 A A、点、点 8 8，与反比例函数，与反比例函数 y y 一罟在第一象限的图象交于一罟在第一象限的图象交于 点点 c(1c(1，6)6)、点、点 D(3D(3，x)x)过点过点 C C 作作 CECE 上上 y y 轴于轴于 E E，过点，过点 D D 作作 DFDF 上上 X X 轴于轴于 F F (1)(1)求求 m m，n n 的值；的值； (2)(2)求直线求直线 ABAB 的函数解析式；的函数解析式； 勾股定理：勾股定理： 5 一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日，一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日， 西安发现了他的数学专著，其中有一文积求勾股法西安发现了他的数学专著，其中有一文积求勾股法 ， 它对它对“三边长为三边长为 3 3、4 4、5 5 的整数倍的直角三角形，已知面积求边长的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法这一问题提出了解法： “若所设者为积数（面积若所设者为积数（面积） ，以，以 积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数” 用现在的数学语言表述是用现在的数学语言表述是： “若直角三角形的三边若直角三角形的三边 长分别为长分别为 3 3、4 4、5 5 的整数倍的整数倍， 设其面积为设其面积为 S S，则第一步则第一步： 6 S m m；第二步第二步：m=k=k；第三步第三步：分别用分别用 3 3、4 4、5 5 乘以乘以 k k，得得 三边长三边长” （1 1）当面积）当面积 S S 等于等于 150150 时，请用康熙的时，请用康熙的“积求勾股法积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；求出这个直角三角形的三边长； （2 2）你能证明）你能证明“积求勾股法积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程的正确性吗？请写出证明过程 解： （1）当 S=150 时，k=m= 150 25 66 S =5， 所以三边长分别为：35=15，45=20，55=25； （2）证明：三边为 3、4、5 的整数倍， 设为 k 倍，则三边为 3k，4k，5k， 而三角形为直角三角形且 3k、4k 为直角边 其面积 S= 1 2 （3k） （4k）=6k 2， 所以 k 2= 6 S ，k= 6 S （取正值） ， 即将面积除以 6，然后开方，即可得到倍数 二：二：一张等腰三角形纸片，底边长一张等腰三角形纸片，底边长 l5cml5cm，底边上的高长，底边上的高长 22225cm5cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 3cm3cm 的矩形纸条，的矩形纸条， 如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( () ) A A第第 4 4 张张B B第第 5 5 张张C C第第 6 6 张张D D第第 7 7 张张 答案：C 三：三：如图，甲、乙两楼相距如图，甲、乙两楼相距 2020 米，甲楼高米，甲楼高 2020 米，小明站在距甲楼米，小明站在距甲楼 1010 米的米的A处目测得点处目测得点A与甲、乙楼顶与甲、乙楼顶BC、刚好在刚好在 同一直线上，且同一直线上，且 A A 与与 B B 相距相距 3 50 米，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是米，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是米米 20 乙 C B A 甲 10 ？ 20 答案：40 米 四：恩施州自然风光无限，特别是以四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷著称于世著名的恩施大峡谷( )A和世界级自然保护区星斗和世界级自然保护区星斗 山山( )B位于笔直的沪渝高速公路位于笔直的沪渝高速公路X同侧，同侧，50kmABA，、B到直线到直线X的距离分别为的距离分别为10km和和40km，要在沪渝，要在沪渝 高速公路旁修建一服务区高速公路旁修建一服务区P，向向A、B两景区运送游客两景区运送游客小民设计了两种方案小民设计了两种方案，图图（1 1）是方案一的示意图是方案一的示意图（AP与直线与直线 X垂直，垂足为垂直，垂足为P） ，P到到A、B的距离之和的距离之和 1 SPAPB，图（，图（2 2）是方案二的示意图（点）是方案二的示意图（点A关于直线关于直线X的对称的对称 点是点是 A ，连接，连接 BA 交直线交直线X于点于点P） ，P到到A、B的距离之和的距离之和 2 SPAPB （1 1）求）求 1 S、 2 S，并比较它们的大小；，并比较它们的大小； 6 （2 2）请你说明）请你说明 2 SPAPB的值为最小；的值为最小； （3 3） 拟建的恩施到张家界高速公路拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直与沪渝高速公路垂直， 建立如图建立如图 （3 3） 所示的直角坐标系所示的直角坐标系，B到直线到直线Y的距离为的距离为30km， 请你在请你在X旁和旁和Y旁各修建一服务区旁各修建一服务区P、Q，使，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值组成的四边形的周长最小并求出这个最小值 B A PX 图（1） Y X B A Q P O 图（3） B A P X A 图（2） 解:图 10（1）中过 B 作 BCAP,垂足为 C,则 PC40,又 AP10, AC30 在 RtABC 中，AB50 AC30BC40 BP240 22 BCCP S110240 图 10（2）中，过 B 作 BCAA垂足为 C，则 AC50， 又 BC40 BA41105040 22 由轴对称知：PAPA S2BA4110 1 S 2 S (2)如 图 10（2） ，在公路上任找一点 M,连接 MA,MB,MA，由轴对称知 MAMA MB+MAMB+MAAB S2BA为最小 （3）过 A 作关于 X 轴的对称点 A, 过 B 作关于 Y 轴的对称点 B， 连接 AB,交 X 轴于点 P, 交 Y 轴于点 Q,则 P,Q 即为所求 过 A、 B分别作 X 轴、Y 轴的平行线交于点 G, AB55050100 22 所求四边形的周长为55050 五五： 已知已知： 如图如图， 在直角梯在直角梯形形ABCABCD D中中，ADADBCBC， ABCABC9090，DEDEA AC C于于点点F F， 交交B BC C于于点点G G， 交交A AB B的延长线于的延长线于点点E E， 且且AEAC （1 1）求证：）求证：BGFG； （2 2）若）若2ADDC，求，求ABAB的长的长 解： （1）证明：90ABCDEAC ，于点F， ABCAFE ACAEEAFCAB ， ABCAFE ABAF ? P ? X ? B ? A ? Q ? Y ? B ? A D C E B G A F D C B A F 7 连接AG， AGAG,ABAF， RtRtABGAFG BGFG （2）解：ADDC,DFAC， 11 22 AFACAE 30E 30FADE ， 3AF 3ABAF 四边形：四边形： 一：如图，一：如图，ACDACD、ABEABE、BCFBCF均为直线均为直线BCBC同侧的等边三角形同侧的等边三角形. . (1)(1) 当当ABABACAC时，证明四边形时，证明四边形ADFEADFE为平行四边形；为平行四边形； (2)(2) 当当ABAB= =ACAC时，顺次连结时，顺次连结A A、D D、F F、E E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件. . 解：(1)ABE、BCF为等边三角形， AB=BE=AE，BC=CF=FB，ABE= CBF= 60. . FBE= CBA. FBECBA. EF=AC. 又ADC为等边三角形， CD=AD=AC. EF=AD. 同理可得AE=DF. 四边形AEFD是平行四边形. (2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段. 当图形为菱形时，BAC60（或A与F不重合、ABC不为正三角形） 当图形为线段时，BAC= 60（或A与F重合、ABC为正三角形）. 二二：如图如图，已知已知ABCABC 是等边三角形是等边三角形，D D、E E 分别在边分别在边 BCBC、ACAC 上上，且且 CD=CECD=CE，连结连结 DEDE 并延长至点并延长至点 F F，使使 EF=AEEF=AE，连结连结 AFAF、B BE E 和和 CFCF。 （1 1）请在图中找出一对全等三角形，用符号）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”“”表示，并加以证明。表示，并加以证明。 （2 2）判断四边形）判断四边形 ABDFABDF 是怎样的四边形，并说明理由。是怎样的四边形，并说明理由。 （3 3）若）若 AB=6AB=6，BD=2DCBD=2DC，求四边形，求四边形 ABEFABEF 的面积。的面积。 解： （1） （选证一）BDEFEC 0 , ,60 ABC CDCEBDAEEDC DEECCDEDEC 0 是等边三角形， BC=AC, ACB=60 是等边三角形 0 120 , BDEFEC EFAEBDFEBDEFEC （选证二）BCEFDC E F D A B C 8 图 7 证明： 0 ,60ABCBCACACB是等边三角形 0 , 60 , , CDCEEDC BCEFDCDECE EFAEEFDEAECEFDACBC BCEFDC 是等边三角形 （选证三）ABEACF 证明： 0 ,60ABCABACACBBAC 是等边三角形 0 , , ,60 CDCEEDC AEFCED EFAEAEF AEAFEAF ABEACF 0 是等边三角形 =60 是等边三角形 （2）四边形 ABDF 是平行四边形。 由（1）知，ABC、EDC、AEF都是等边三角形。 0 60 , CDEABCEFA ABDF BDAF 四边形ABDF是平行四边形 （3）由（2）知， ）四边形 ABDF 是平行四边形。 0 , 23 sin602 3 32 11 2 36410 3 22 ABEF EFAB EFABABEF EEGABG EGAEBC SEGABEF 四边形 四边形是梯形 过 作于 ，则 三：三：如图，在如图，在ABCABC中，中，A A、B B的平分线交于点的平分线交于点D D，DEDEACAC交交BCBC于点于点E E，DFDFBCBC交交ACAC于点于点F F （1 1）点）点D D是是ABCABC的的_心；心； （2 2）求证：四边形）求证：四边形DECFDECF为菱形为菱形 解：(1) 内. (2) 证法一：连接CD， DEAC，DFBC， 四边形DECF为平行四边形， 又 点D是ABC的内心， CD平分ACB，即FCDECD， 又FDCECD， FCDFDC FCFD， DECF为菱形 证法二： 过D分别作DGAB于G，DHBC于H，DIAC于I AD、BD分别平分CAB、ABC， DI=DG， DG=DH DH=DI DEAC，DFBC， 四边形DECF为平行四边形， 9 SDECF=CEDH=CFDI， CE=CF DECF为菱形 四：四：在矩形在矩形 ABCDABCD 中，点中，点 E E 是是 ADAD 边上一点，连接边上一点，连接 BEBE，且，且ABEABE3030，BEBEDEDE，连接，连接 BDBD点点 P P 从点从点 E E 出发沿射线出发沿射线 EDED 运动运动， 过点过点 P P 作作 PQPQBDBD 交直线交直线 BEBE 于点于点 Q Q (1)(1) 当点当点 P P 在线段在线段 EDED 上时（如图上时（如图 1 1） ，求证：，求证：BEBEPDPD 3 3 PQPQ； （2 2）若若 BCBC6 6，设设 PQPQ 长为长为 x x，以以 P P、Q Q、D D 三点为顶点所构成的三角形面积为三点为顶点所构成的三角形面积为 y y，求求 y y 与与 x x 的函数关系式的函数关系式（不要求写出自不要求写出自 变量变量 x x 的取值范围的取值范围） ； （3 3）在在的条件下的条件下，当点当点 P P 运动到线段运动到线段 EDED 的中点时的中点时，连接连接 QCQC，过点过点 P P 作作 PFPFQCQC，垂足为垂足为 F F，PFPF 交对角线交对角线 BDBD 于点于点 G G（如如 图图 2 2） ，求线段，求线段 PGPG 的长。的长。 解： （1）证明：A=90ABE=30AEB=60 EB=EDEBD=EDB=30 PQBDEQP=EBDEPQ=EDB EPQ=EQP=30EQ=EP 过点 E 作 EMOP 垂足为 MPQ=2PM EPM=30PM= 2 3 PEPE= 3 3 PQ BE=DE=PD+PEBE=PD+ 3 3 PQ （2）解：由题意知 AE= 2 1 BEDE=BE=2AE AD=BC=6AE=2DE=BE=4 当点 P 在线段 ED 上时（如图 1） 过点 Q 做 QHAD 于点 HQH= 2 1 PQ= 2 1 x 由（1）得 PD=BE- 3 3 PQ=4- 3 3 x y= 2 1 PDQH=xx 2 12 3 当点 P 在线段 ED 的延长线上时（如图 2）过点 Q 作 QHDA 交 DA 延长线于点 H QH= 2 1 x 过点 E 作 EMPQ 于点 M同理可得 EP=EQ= 3 3 PQBE= 3 3 PQ-PD 10 PD= 3 3 x-4y= 2 1 PDQH=xx 2 12 3 （3）解：连接 PC 交 BD 于点 N（如图 3）点 P 是线段 ED 中点 EP=PD=2PQ=32DC=AB=AEtan60=32 PC= 22 DCPD =4cosDPC= PC PD = 2 1 DPC=60 QPC=180-EPQ-DPC=90 PQBD PND=QPC=90 PN= 2 1 PD=1 QC= 22 PCPQ =72PGN=90-FPCPCF=90-FPC PCN=PCF1 分PNG=QPC=90PNGQPC PQ PN QC PG PG=72 32 1 = 3 21 五：五：如图如图, ,这是一张等腰梯形纸片这是一张等腰梯形纸片, ,它的上底长为它的上底长为 2,2,下底长为下底长为 4,4,腰长为腰长为 2,2,这样的纸片共有这样的纸片共有 5 5 张张. .打算用其中的几张来拼成较打算用其中的几张来拼成较 大的等腰梯形大的等腰梯形, ,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形? ?分别画出它们的分别画出它们的示意图示意图 , ,并写出它们的周长并写出它们的周长. . 4 2 2 2 解：如图所示 六：六：已知已知: :如图如图, ,在矩形在矩形 ABCDABCD 中中,E,E、F F 分别是边分别是边 BCBC、ABAB 上的点上的点, ,且且 EF=ED,EFEF=ED,EFED.ED.求证求证:AE:AE 平分平分BAD.BAD. 证明：四边形 ABCD 是矩形 B=C=BAD=90 AB=CD BEF+BFE=90 EFEDBEF+CED=90 BEF=CEDBEF=CDE 又EF=EDEBFCDE BE=CD BE=ABBAE=BEA=45 EAD=45 BAE=EAD （第23题） E C D B A F 11 AE 平分BAD 七：如图七：如图, ,矩形纸片矩形纸片ABCDABCD中中, ,ABAB=8,=8,将纸片折叠将纸片折叠, ,使顶点使顶点B B落在边落在边ADAD的的E E点上点上, ,BGBG=10.=10. (1)(1)当折痕的另一端当折痕的另一端F F在在ABAB边上时边上时, ,如图如图(1).(1).求求EFGEFG的面积的面积. . (2)(2)当折痕的另一端当折痕的另一端F F在在ADAD边上时边上时, ,如图如图(2).(2).证明四边形证明四边形BGEFBGEF为菱形为菱形, ,并求出折痕并求出折痕GFGF的长的长. . H A BC DE F G A BC DE F G 图（1） 图（2） A BC DEF G H (A) (B) 解:(1)过点G作GHAD,则四边形ABGH为矩形,GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知BFGEFG,EG=BG=10,FEG= B=90； EH=6,AE=4,AEF+HEG=90,AEF+AFE=90,HEG=AFE,又EHG=A=90,EAFEHG, EFAE EGGH ,EF=5,SEFG= 1 2 EFEG= 1 2 510=25. (2)由图形的折叠可知四边形ABGF四边形HEGF,BG=EG,AB=EH, BGF=EGF,EFBG，BGF=EFG,EGF=EFG,EF=EG, BG=EF,四边形BGEF为平行四边形,又EF=EG,平行四边形BGEF为菱形； 连结BE，BE、FG互相垂直平分，在 RtEFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6， AE=16，BE= 22 AEAB=85，BO=45，FG=2OG=2 22 BGBO=45。 八八： （1 1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个 不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上 （保留作图痕迹）（保留作图痕迹） （2 2）写出你的作法）写出你的作法 解： （1）所作菱形如图、所示 说明：作法相同的图形视为同一种例如类似图、图的图形视为与图是同一种 A BC DEF G H (A) (B) O 12 （2）图的作法： 作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1、F1、G1、H1； 连接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1 四边形E1F1G1H1即为菱形 图的作法： 在B2C2上取一点E2，使E2C2A2E2且E2不与B2重合； 以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2； 以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2； 连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形 九：九：如图，如图，P P是边长为是边长为 1 1 的正方形的正方形ABCDABCD对角线对角线ACAC上一动点（上一动点（P P与与A A、C C不重合不重合） ，点，点E E在射线在射线BCBC上，且上，且PE=PBPE=PB. . （1 1）求证：）求证：PE=PDPE=PD； PEPEPDPD； （2 2）设）设APAP= =x x, , PBEPBE的面积为的面积为y y. . 求出求出y y关于关于x x的函数关系式，并写出的函数关系式，并写出x x的取值范围；的取值范围； 当当x x取何值时，取何值时，y y取得最大值，并求出这个最大值取得最大值，并求出这个最大值. . 解： （1）证法一： 四边形ABCD是正方形，AC为对角线， BC=DC, BCP=DCP=45. PC=PC， PBCPDC（SAS）. PB=PD， PBC=PDC. 又PB=PE， PE=PD. （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， PB=PE， PBE=PEB， PEB=PDC， PEB+PEC=PDC+PEC=180， DPE=360-(BCD+PDC+PEC)=90， PEPD.） （ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD. （iii）当点E在BC的延长线上时，如图. PEC=PDC，1=2， DPE=DCE=90， PEPD. 综合（i） （ii） （iii）,PEPD. （2） 过点P作PFBC，垂足为F，则BF=FE. AP=x，AC=2， PC=2-x，PF=FC= xx 2 2 1)2( 2 2 . BF=FE=1-FC=1-( x 2 2 1 )= x 2 2 . SPBE=BFPF= x 2 2 ( x 2 2 1 ) xx 2 2 2 1 2 . 即 xxy 2 2 2 1 2 (0x2). A BC P D E A BC P D EF A BC D P E 1 2 H 13 4 1 ) 2 2 ( 2 1 2 2 2 1 22 xxxy . 2 1 a 0， 当 2 2 x 时，y最大值 4 1 . （1）证法二： 过点P作GFAB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示. 四边形ABCD是正方形， 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形， AGP和PFC都是等腰直角三角形. GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90. 又PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFPPGD（SAS）. PE=PD. 1=2. 1+3=2+3=90. DPE=90. PEPD. （2）AP=x， BF=PG= x 2 2 ，PF=1- x 2 2 . SPBE=BFPF= x 2 2 ( x 2 2 1 ) xx 2 2 2 1 2 . 即 xxy 2 2 2 1 2 (0x2). 4 1 ) 2 2 ( 2 1 2 2 2 1 22 xxxy . 2 1 a 0， 当 2 2 x 时，y最大值 4 1 . 十：十：如图如图 1 1，四边形，四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，G G是是CDCD边上的一个动点边上的一个动点( (点点G G与与C C、D D不重合不重合) )，以，以CGCG为一边在正方形为一边在正方形ABCDABCD外作正方外作正方 形形CEFGCEFG，连结，连结BGBG，DEDE我们探究下列图中线段我们探究下列图中线段BGBG、线段、线段DEDE的长度关系及所在直线的位置关系：的长度关系及所在直线的位置关系： （1 1）猜想如图猜想如图 1 1 中线段中线段BGBG、线段、线段DEDE的长度关系及所在直线的位置关系；的长度关系及所在直线的位置关系； 将图将图 1 1 中的正方形中的正方形CEFGCEFG绕着点绕着点C C按顺时针按顺时针( (或逆时针或逆时针) )方向旋转任意角度方向旋转任意角度，得到如图得到如图 2 2、如图如图 3 3 情形情形请你通过观请你通过观 察、测量等方法判断察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立中得到的结论是否仍然成立, ,并选取图并选取图 2 2 证明你的判断证明你的判断 A BC P D EF G 1 2 3 14 （2 2）将原题中正方形改为矩形（如图）将原题中正方形改为矩形（如图 4 46 6） ，且，且AB=aAB=a，BC=bBC=b，CE=kaCE=ka， CG=kbCG=kb( (a ab b，k k0)0)，第，第(1)(1)题题中得到的结中得到的结 论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 5 为例简要说明理由为例简要说明理由 （3 3）在第）在第(2)(2)题图题图 5 5 中，连结中，连结DG、BE，且，且a a=3=3，b b=2=2，k k= = 1 2 ，求，求 22 BEDG的值的值 解: (1),BGDE BGDE ,BGDE BGDE仍然成立 在图（2）中证明如下 四边形ABCD、四边形ABCD都是正方形 BCCD，CGCE， 0 90BCDECG BCGDCE BCGDCE （SAS） BGDECBGCDE 又BHCDHO 0 90CBGBHC 0 90CDEDHO 0 90DOH BGDE （2）BGDE成立，BGDE不成立 简要说明如下 四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形， 且ABa，BCb，CGkb，CEka(ab，0k ) BCCGb DCCEa ， 0 90BCDECG BCGDCE 15 BCGDCE CBGCDE 又BHCDHO 0 90CBGBHC 0 90CDEDHO 0 90DOH BGDE （3）BGDE 22222222 BEDGOBOEOGODBDGE 又3a ，2b ，k 1 2 222222 365 231( ) 24 BDGE 22 65 4 BEDG 数据的分析：数据的分析： 一：4 4为了帮助贫困失学儿童为了帮助贫困失学儿童，某团市委发起某团市委发起“爱心储蓄爱心储蓄”活动活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行，定期定期 一年，到期后可取回本金，而把一年，到期后可取回本金，而把利息利息 捐给贫困失学儿童捐给贫困失学儿童. .某中学共有学生某中学共有学生 12001200 人，图人，图 1 1 是该校各年级学生是该校各年级学生人数比例人数比例 分布的分布的 扇形统计图，图扇形统计图，图 2 2 是该校学生是该校学生人均存款人均存款 情况的条形统计图情况的条形统计图. . （1 1）九年级学生人均存款元；）九年级学生人均存款元； （2 2）该校学生人均存款多少元？）该校学生人均存款多少元？ （3 3）已知银行一年期定期存款的年利率是）已知银行一年期定期存款的年利率是 2.25%2.25% （ “爱心储蓄爱心储蓄”免收利息税免收利息税） ，且每且每 351351 元能提供元能提供 给一位失学儿童一学年的给一位失学儿童一学年的 基本费用，那么该校一学年能帮助多少为贫困失学儿童。基本费用，那么该校一学年能帮助多少为贫困失学儿童。 解： （1）240 （2） 解法一： 七年级存款总额：400120040 = 192000（元） 八年级存款总额：300120035 = 126000 （元） 九年级存款总额： 240120025 = 72000 （元） （192000+126000+72000） 1200 = 325 （元） 所以该校的学生人均存款额为 325 元 解法二：40040 + 30035 + 24025 = 325 元 所以该校的学生人均存款额为 325 元 （3）解法一： （19