2019届高考数学（理）二轮复习专题透析课件和讲义专题2　三角函数与解三角形

2019,专题2,三角函数与解三角形,02,目录,微专题05三角函数的图象与性质,微专题06三角恒等变换与解三角形,点击出答案,1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质是什么?,2.求函数y=Asin(x+)的单调区间时应注意什么?(1)注意的符号,不要把单调性或区间左右的值弄反;(2)不要忘记写“+2k”或“+k”等,特别注意不要忘掉写“kZ”;(3)书写单调区间时,不要把弧度和角度混在一起.,3.三角函数的常用结论有哪些?(1)对于y=Asin(x+),当=k(kZ)时,其为奇函数;当=k+2(kZ)时,其为偶函数;对称轴方程可由x+=k+2(kZ)求得.(2)对于y=Acos(x+),当=k+2(kZ)时,其为奇函数;当=k(kZ)时,其为偶函数;对称轴方程可由x+=k(kZ)求得.(3)对于y=Atan(x+),当=k(kZ)时,其为奇函数.,4.三角函数图象的两种常见变换是什么?,1.同角关系公式有哪些?如何记忆诱导公式?(1)同角关系:sin2+cos2=1,sincos=tan.(2)诱导公式,对于“2,kZ的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.,2.你能写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、辅助角公式吗?(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:sin()=sincoscossin;cos()=coscossinsin;tan()=tantan1tantan.(2)二倍角公式:sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2.(3)辅助角公式:asinx+bcosx=2+2sin(x+),其中tan=.,3.在三角恒等变换中,常见的拆角、拼角技巧有哪些?=(+)-,2=(+)+(-),=12(+)+(-),+4=(+)-4,=+4-4.,4.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是什么?在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)正弦定理:在ABC中,sin=sin=sin=2R(R为ABC的外接圆半径).变形:a=2RsinA,sinA=2,abc=sinAsinBsinC.(2)余弦定理:在ABC中,a2=b2+c2-2bccosA.变形:b2+c2-a2=2bccosA,cosA=2+222.(3)三角形面积公式:SABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB.,5.已知三角形两边及其一边的对角,用正弦定理解三角形时要注意什么?若运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具体情况进行取舍.在ABC中,ABsinAsinB.,三角函数与解三角形是高考考查的重点和热点.三角函数的定义、图象、性质以及简单的化简与求值主要以选择题、填空题的形式考查.其中同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式是解决化简、计算问题的工具,“角”的变换是三角恒等变换的核心.解三角形多以解答题的形式考查,常与三角恒等变换结合,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.一、选择题和填空题的命题特点(一)三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点,考查主要从以下两个方面进行:(1)三角函数的图象,主要涉及图象变换以及由图象确定解析式;(2)利用三角函数的性质求解三角函数中有关值、参数、最值、值域、单调区间等问题.,命题特点,1.(2018全国卷文T8改编)已知函数f(x)=2cos22x+5,则().A.f(x)的最小正周期为,最大值为7B.f(x)的最小正周期为2,最小值为5C.f(x)的最小正周期为2,最大值为7D.f(x)的最小正周期为2,最小值为5,D,答案,解析,解析f(x)=cos222x+5=cos4x+6,故f(x)的最小正周期为2,最大值为7,最小值为5.,2.(2016全国卷理T7改编)若将函数f(x)=sin2x的图象向右平移12个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一个对称中心是().A.24,0B.6,0C.6,0D.12,0,D,答案,解析,解析由题意可知函数f(x)=sin2x的图象向右平移12个单位长度,得到函数g(x)=sin212=sin26的图象.令2x-6=k(kZ),得x=12+2(kZ),由此可得y=g(x)图象的一个对称中心是12,0,故选D.,(二)三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决问题的工具,三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换.“角”的变换是三角恒等变换的核心.3.(2018全国卷理T15改编)已知sin+cos=63,sin-cos=1,则sin(-)=().A.-112B.-16C.16D.112,B,答案,解析,解析将sin+cos=63的等式两边平方得sin2cos+2+2sincos=23,将sin-cos=1的等式两边平方得sin2+cos2-2sincos=1.+得sin(-)=-16,故选B.,4.(2018全国卷文T4改编)已知tan=12,则sin2-2cos2=().A.-1B.-45C.45D.-34,B,答案,解析,解析sin2-cos22=sin22cos21=2sincos2cos2sin2+cos2=2tan2tan2+1=-45,故选B.,(三)正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.5.(2018全国卷文T16改编)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3bsinC+3csinB=4asinBsinC,且2bsinB+2csinC=bc+3a,则ABC面积的最大值为().A.332B.32C.334D.34,C,答案,解析,解析根据题意,结合正弦定理可得3sinBsinC+3sinCsinB=4sinAsinBsinC,即sinA=32.2bsinB+2csinC=bc+3a,bsinB+csinC=12bc+32a,bsinB+csinC=33bcsinA+asinA,则b2+c2=33abc+a2.由余弦定理可得2bccosA=33abc,解得a=23cosA=3.由b2+c2=bc+32bc,得bc3,从而SABC=12bcsinA334,故选C.,6.(2018全国卷文T11改编)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tanC=().A.-34B.-43C.34D.43,B,答案,解析,解析2S=(a+b)2-c2,absinC=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=2abcosC+2ab,sinC=2cosC+2,sin2C=(2cosC+2)2=1-cos2C,即5cos2C+8cosC+3=0,cosC=-35(cosC=-1舍去),sinC=45,tanC=sincos=-43,故选B.,二、解答题的命题特点高考全国卷中有关解三角形的解答题,主要涉及利用正、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算,两个定理与三角恒等变换的结合.这类试题一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质.(2018全国卷理T17改编)如图,在四边形ABCD中,cosDAB=-14,=23,BD=4,ABBC.(1)求sinABD的值;(2)若BCD=4,求CD的长.,答案,解析,解析(1)因为=23,所以设AD=2k,AB=3k,其中k0.在ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcosDAB,所以16=9k2+4k2-23k2k14,解得k=1,则AD=2,而sinDAB=1142=154.在ABD中,由正弦定理得sinABD=sinDAB=24154=158.(2)由(1)可知,sinABD=158,而ABBC,则sinCBD=sin2ABD=cosABD=11582=78.在BCD中,BCD=4,由正弦定理得CD=sinsinBD=78224=722.,关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”.,规律方法,1.已知角的终边经过点P(-5,-12),则sin32+的值等于().A.-513B.-1213C.513D.1213,C,答案,解析,微专题05三角函数的图象与性质数,返,解析因为角的终边经过点P(-5,-12),由三角函数的定义可知cos=5(5)2+(12)2=-513,所以sin32+=-cos=513.,2.已知函数f(x)=sin(x+)(0),满足f(x1)=-1,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为4,则=().A.2B.1C.12D.4,A,答案,解析,解析由题意可知|x1-x2|的最小值为4,所以T=44=,所以=2=2,故选A.,3.将函数y=cos3x的图象向左平移4个单位长度,所得图象对应的函数解析式是().A.y=cos3+4B.y=cos34C.y=cos334D.y=cos3+34,D,答案,解析,解析由函数图象的平移规则可知y=cos3x的图象向左平移4个单位长度得到y=cos3+4的图象,即所求函数解析式是y=cos3+34,故选D.,4.给出下列结论:函数y=sin(k-x)(kZ)为奇函数;函数y=tan2+6的图象关于点12,0对称;函数y=cos2+3的图象的一条对称轴为直线x=-23;若tan(-x)=2,则sin2x=15.其中正确结论的序号为.,答案,解析,解析y=sin(k-x)=(-1)k-1sinx是奇函数,故正确;tan212+6=3,故不正确;cos223+3=-1,故正确;tan(-x)=-tanx=2,tanx=-2,sin2x=sin2xsin2x+cos2x=tan2xtan2x+1=45,故不正确.综上,正确结论的序号为.,【例1】已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x+m-1在0,2上的最小值为-2.(1)求m的值及f(x)图象的对称轴;(2)求f(x)的单调递增区间.,答案,解析,典型例题,解析(1)由已知得f(x)=3sin2x+cos2x+m=2sin2+6+m.0x2,62x+676,当2x+6=76,即x=2时,f(x)min=212+m=-2,m=-1,此时f(x)=2sin2+6-1.由2x+6=k+2(kZ),解得x=2+6(kZ),f(x)图象的对称轴为直线x=2+6(kZ).(2)由-2+2k2x+62+2k(kZ),可得-3+kx6+k(kZ),f(x)的单调递增区间为3+k,6+k(kZ).,有关函数y=Asin(x+)+B的性质及应用问题的求解思路:第一步,先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(x+)+B的形式;第二步,把“x+”视为一个整体,借助复合函数性质求解y=Asin(x+)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.,方法归纳,已知函数f(x)=sin2+3,则下列结论正确的是().A.f(x)的图象关于直线x=3对称B.f(x)的图象关于点4,0对称C.把f(x)的图象向左平移12个单位长度,得到一个偶函数的图象D.f(x)的最小正周期为,且在0,6上为增函数,C,答案,解析,变式训练,解析把x=3代入函数f(x)的解析式得f3=sin=0,故A不正确;把x=4代入函数f(x)的解析式得f4=sin2+3=cos3=120,故B不正确;函数f(x)=sin2+3的图象向左平移12个单位长度,得到g(x)=sin2+12+3=sin2+6+3=cos2x的图象,g(x)是偶函数,故C正确;由题意知函数f(x)的最小正周期为,令2k-22x+32k+2(kZ),解得k-512xk+12(kZ),所以函数f(x)的单调递增区间为512,k+12(kZ).令k=0,得-512x12,令k=1,得712x1312,所以函数f(x)在0,6上为增函数是错误的,故D不正确.故选C.,【例2】已知函数y=Asin(x+)(A0,0)的部分图象如图所示,则该函数的解析式为().,答案,解析,典型例题,A.y=2sin26B.y=2sin23C.y=2sin2+6D.y=2sin2+3,解析(法一)由图象知2=3-6=2,故T=,因此=2=2.又图象的一个最高点的坐标为3,2,所以A=2,且23+=2k+2(kZ),故=2k-6(kZ),结合选项可知y=2sin26.(法二)当x=3,y=2时,排除B,C,D.故选A.,已知图象求解析式y=Asin(x+)+B(A0,0)的方法:(1)A=maxmin2,B=max+min2.(2)已知函数的周期T,则=2.(3)求的常用方法:代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入解析式(A,B已知)求解.五点法:确定值时,一般以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.具体如下:“第一点”满足x+=0;“第二点”满足x+=2;“第三点”满足x+=;“第四点”满足x+=32;“第五点”满足x+=2.,方法归纳,已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的部分图象如图所示,则函数g(x)=Acos(x+)图象的一个对称中心为().A.6,0B.12,0C.2,0D.56,0,B,答案,解析,变式训练,解析由函数f(x)=Asin(x+)的部分图象知,A=1,T=47123=,=2.由五点法画图知,7122+=32+2k,kZ,解得=3+2k(kZ).|,=3,f(x)=sin2+3,则g(x)=cos2+3.由2x+3=2+k(kZ),解得x=2+12(kZ).当k=0时,对称中心为12,0,故选B.,【例3】将函数f(x)=sin2xcos+cos2xsin|2的图象向左平移3个单位长度后的图象关于原点对称,则函数f(x)在0,2上的最小值为().A.-32B.32C.-12D.12,答案,解析,典型例题,解析由已知f(x)=sin(2x+)|0)或向右(0)倍,得到y=sin(x+)的图象.途径二,先伸缩变换,再平移变换.先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1(0)倍,再沿x轴向左(0)或向右(0)平移|个单位长度,得到y=sin(x+)的图象.只有区分这两个途径,才能灵活进行图象变换.,方法归纳,已知函数f(x)=cos(2x-)-3sin(2x-)|2的图象向右平移12个单位长度后关于y轴对称,则的值为().A.12B.6C.-3D.3,B,答案,解析,变式训练,解析由题意得函数f(x)=cos(2x-)-3sin(2x-)=2cos2+3|0,=18(1)0,解得10,|a,所以A=3,故选A.,3.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a,b,c成等比数列,且a2-ab=c2-ac,则cosC的值为().A.12B.-12C.32D.-32,A,答案,解析,解析由a,b,c成等比数列得b2=ac,代入a2-ab=c2-ac,得a2+b2-c2=ab,则cosC=2+222=2=12,故选A.,4.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45,沿A向北偏东30方向前进100m后到达B处,在B处测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度为.,50m,答案,解析,解析如图所示,DC平面ABC,AB=100m,DBC=30,DAC=45,CAB=60.设CD=hm,则AC=hm,同理可得BC=3hm.在ABC中,BC2=AC2+AB2-2ACABcos60,则(3h)2=h2+1002-2h10012,化为h2+50h-5000=0,解得h=50,因此水柱的高度是50m.,【例1】(1)设0,2,0,2,且tan=1+sincos,则().A.3-=2B.3+=2C.2-=2D.2+=2(2)已知cos+4=210,0,2,cos=13,(0,),则cos(-2)的值为.,答案,解析,典型例题,解析(1)由tan=1+sincos,得sincos=1+sincos,即sincos=cos+sincos,所以sin(-)=cos.又cos=sin2,所以sin(-)=sin2.因为0,2,0,2,所以-2-2,02-2.所以-=2-,所以2-=2.,解析(2)因为0,2,所以+44,34.因为cos+4=210,所以sin+4=7210,所以sin=sin+44=sin+4cos4-cos+4sin4=721022-21022=35,所以cos=45.因为cos=13,(0,),所以sin=223,所以sin2=429,cos2=-79,所以cos(-2)=coscos2+sinsin2=4579+35429=1222845.,三角恒等变换中的“四大策略”:(1)常值代换:特别是“1”的代换,如1=sin2+cos2=tan45.(2)项的分拆与角的配凑:sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=(-)+等.(3)降幂与升幂:正用和逆用二倍角公式.(4)弦、切互化:切化弦,弦化切,减少函数种类.,方法归纳,已知2,且sin=13.(1)求sin2的值;(2)若sin(+)=-35,0,2,求sin的值.,答案,解析,变式训练,解析(1)2,且sin=13,cos=-223,故sin2=2sincos=-429.(2)2,0,2,+2,32.由sin(+)=-35得cos(+)=-45,故sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin=35223-4513=4+6215.,【例2】已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3ccos=tanA+tanB.(1)求角A的大小;(2)设D为AC边上的一点,且BD=5,DC=3,a=7,求c的值.,答案,解析,典型例题,解析(1)在ABC中,3ccos=tanA+tanB,3sinsincos=sincos+sincos,即3sinsincos=sincos+sincoscoscos,3sin=1cos,则tanA=3,A=3.(2)BD=5,DC=3,a=7,由余弦定理可得cosBDC=25+949235=-12,BDC=23,又A=3,ABD为等边三角形,c=5.,在解三角形中,利用已知条件进行化简变形,常用的方法是借助正弦定理和余弦定理进行边角互化,减少变量的数量,在边化角的运算中注意切化弦思想及三角恒等变换的应用.,方法归纳,已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=1-sinsin+sin.(1)求角C的大小;(2)若SABC=23,a+b=6,求边c.,答案,解析,变式训练,解析(1)+=1-sinsin+sin=sin+sinsinsin+sin.由正弦定理得+=+,化简得a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cosC=2+222=12.C(0,),C=3.(2)由(1)知C=3,又SABC=12absinC=12ab32=23,ab=8.由余弦定理得c2=a2+b2-2ab12=(a+b)2-3ab=12,c=23.,【例3】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,且4S=3(a2+b2-c2).(1)求角C的大小;(2)若f(x)=4sinxcos+6+1,且当x=A时,f(x)取得最大值b,试求S的值.,答案,解析,典型例题,解析(1)由已知得412absinC=3(a2+b2-c2)=23abcosC,即tanC=3.因为C(0,),所以C=3.(2)f(x)=4sinx32cos12sin+1=23sinxcosx-2sin2x+1=3sin2x+cos2x=2sin2+6.当2x+6=2k+2(kZ),即x=k+6(kZ)时,f(x)max=2.因为A(0,),所以A=6,b=2,故B=-A-C=2,a=bsinA=1,c=bsinC=3,所以S=12acsinB=32.,求解有关解三角形与三角函数的综合问题,要注意三角形内角的范围,一般是先定角,再定范围,最后利用三角函数的单调性和倍角公式进行转化.,方法归纳,设函数f(x)=sin2+6+sin2x-cos2x.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若角A满足f(A)=1,a=3,ABC的面积为32,求b+c的值.,答案,解析,变式训练,解析(1)f(x)=32sin2x+12cos2x-cos2x=32sin2x-12cos2x=sin26.令-2+2k2x-62+2k,kZ,得-6+kx3+k,kZ.f(x)的单调递增区间为6+k,3+k,kZ.(2)由题意知f(A)=sin26=1,0A,-62A-6116,2A-6=2,解得A=3.S=12bcsinA=32,bc=