安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测 数学（理）试题（PDF版）

合肥市合肥市 20192019 届高三第一次教学质量检测届高三第一次教学质量检测 数学试题数学试题( (理科理科) ) ( (考试时间：考试时间：120120 分钟分钟 满分：满分：150150 分分) ) 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知i为虚数单位， 4 1 i z ，则复数z的虚部为( ). A.2i B.2i C.2 D.2 2. 集 合 2 20Ax xx，10Bx x ， 则AB= ( ). A. 1x x B. 11xx C.2x x D.21xx 3.执行右图所示的程序框图，则输出n的值为( ). A.63 B.47 C.23 D.7 4.已知正项等差数列 n a的前n项和为 n S(nN)， 2 576 0aaa，则 11 S的值为( ). A.11 B.12 C.20 D.22 5.已知偶函数 f x在0 ，上单调递增，则对实数ab， “ab”是“ f af b”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从 事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ). 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生. A.互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C.互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D.互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 7.平面外有两条直线a，b，它们在平面内的射影分别是直线m，n， 则下列命题正确的是( ). A.若ab，则mn B.若mn，则ab C.若/mn，则/ab D.若m和n相交，则a和b相交或异面 8.若 6 1 ax x 展开式的常数项为 60，则a的值为( ). A.4 B.4 C.2 D.2 9.如图， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗线画出的是某多面体的三视图， 则该几何体的体积为( ). A.2 54 2 10 B. 4 3 C. 8 3 D. 16 3 10.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为 1，2，3，4，5 的五个小 球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连 号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个 小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ). A. 4 5 B. 19 25 C. 23 50 D. 41 100 11.设双曲线 22 22 :1 xy C ab (00ab，)的左、 右焦点分别为 12 FF， 过 1 F的直线分别交双曲线左右两 支于点MN，连结 22 MFNF，若 22 0MFNF， 22 MFNF，则双曲线C的离心率为( ). A.2 B.3 C.5 D.6 12.已知函数 2 2lnf xaxxx有两个不同的极值点 12 xx，若不等式 12 f xf x恒成立，则实 数的取值范围是( ). A.3 ， B.3 ， C.e ， D.e ， 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. .第第 1313 题题第第 2121 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答. .第第 2222 题、题、 第第 2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分. .把答案填在答题卡上的相应位置把答案填在答题卡上的相应位置. . 13.设xy，满足约束条件 0 0 10 30 x y xy xy ，则2zxy的取值范围为 . 14.若非零向量 a b，满足 2aab，则 ab b . 15.在锐角ABC中，2BC ，sinsin2sinBCA，则中线 AD 长的取值范围是 . 16.在平面直角坐标系xOy中，点 n A( 1 2 2 n n nn ，)( * nN)，记 21221nnn AA A 的面积为 n S，则 1 n i i S . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(17.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 已知函数 cos2sin 2 6 f xxx . ()求函数 f x的最小正周期； ()若0 2 ， ， 1 3 f，求cos2. 18.(18.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 在四棱锥PABCD中，2 3BCBDDC， 2ADABPDPB. ()若点E为PC的中点，求证：BE平面PAD； ()当平面PBD平面ABCD时，求二面角CPDB的余弦值. B D P C E A 19.(19.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 每年 3 月 21 日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠 日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了 100 人，通过问询的方式得到他们在一周内 的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图： ()求这 100 人睡眠时间的平均数x(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)； ()由直方图可以认为，人的睡眠时间t近似服从正态 分布 2 N，其中近似地等于样本平均数x， 2 近似 地等于样本方差 2 s， 2 33.6s .假设该辖区内这一年龄层次共 有 10000 人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2， 50.8)的人数. 附 ： 3 3 . 65 . 8 . 若 随 机 变 量Z服 从 正 态 分 布 2 N， ，则 0.6826PZ ， 220.9544PZ. 20.(20.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 设椭圆 22 22 :1 xy C ab (0ab)的离心率为 2 2 ，圆 22 :2O xy与x轴正半轴交于点A，圆O在点A 处的切线被椭圆C截得的弦长为2 2 ()求椭圆C的方程； ()设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点MN， 试判断PMPN是否为定值？若为定值， 求 出该定值；若不是定值，请说明理由. 21.(21.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 已知函数 ln1 x f xex(e为自然对数的底数). ()求函数 f x的单调区间； ()若 g xf xax，aR，试求函数 g x极小值的最大值. 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用目计分，作答时，请用 2B2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. . 22.(22.(本小题满分本小题满分 1010 分分) )选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的方程为 cos sin x y (为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 =2cos. ()求 1 C、 2 C交点的直角坐标； ()设点A的极坐标为 3 4， ，点B是曲线 2 C上的点，求AOB 面积的最大值. 23.(23.(本小题满分本小题满分 1010 分分) )选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 设函数 1f xx. ()若 22f xx，求实数x的取值范围； ()设 g xf xf ax(1a )，若 g x的最小值为 1 2 ，求a的值. 合肥市合肥市 20192019 届高三第一次教学质量检测数学试届高三第一次教学质量检测数学试题题( (理科理科) ) 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分. . 二、填 空 题：本大题共 二、填 空 题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分. . 13.1 6 ， 14.1 15. 13 3 2 ， 16. 22 24 33 n n 三、解答题：三、解答题： 17.(17.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) () 3131 cos2sin2cos2sin2cos2sin 2 22226 f xxxxxxx ， 函数 f x的最小正周期为T. 5 分 ()由 1 3 f可得， 1 sin 2 63 . 0, 2 ， 7 2 666 ，. 又 11 0sin 2 632 x ，2 62 ， 2 2 cos 2 63 ， 12 6 cos2cos2cos 2cossin 2sin 6666666 . 12 分 18.(18.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) ()取CD的中点为M，连结EM，BM. 由已知得，BCD为等边三角形，BMCD. 2ADAB，2 3BD ， 30ADBABD ， 90ADC，/BMAD. 又BM 平面PAD，AD平面PAD， BM平面PAD. E为PC的中点，M为CD的中点，EMPD. 又EM 平面PAD，PD平面PAD， EM平面PAD. EMBMM，平面BEM平面PAD. BE 平面BEM，BE平面PAD. 5 分 ()连结AC，交BD于点O，连结PO，由对称性知，O为BD的中点，且ACBD，POBD. 平面PBD平面ABCD，POBD， PO 平面ABCD，1POAO，3CO . 以O为坐标原点，OC的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系 Dxyz. 则D(0，3，0)，C(3，0，0)，P(0，0，1). 易知平面PBD的一个法向量为 1 1 0 0n ，. 设平面PCD的法向量为 2 nxyz， ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D A D D D C C B A B D P C E M A 则 2 nDC， 2 nDP， 2 2 0 0 nDC nDP ， 3 3 0DC ， ， 0 3 1DP ， ， 330 30 xy yz . 令3y ，得13xz ， 2 1 33n ， ， 12 12 12 113 cos 1313 n n n n nn ，. 设二面角CPDB的大小为，则 13 cos 13 . 12 分 19.(19.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) ()0.06 340.18 380.20 420.28 460.16 500.10 540.02 5844.7245x ； 5 分 ()由题意得，39.2 50.8，39.250.80.6826Pt ， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间39.2 50.8，的人数约为10000 0.68266826(人)； 12 分 20.(20.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) ()设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为 2 2 知， 2bc ab， 椭圆C的方程可设为 22 22 1 2 xy bb . 易求得 2 0A，点 2 2，在椭圆上， 22 22 1 2bb ， 解得 2 2 6 3 a b ，椭圆C的方程为 22 1 63 xy . 5 分 ()当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x ，由()知， 2 22 2MN， ， 2 2 2 2 0OMONOM ON， ，OMON. 当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kxm ， 1122 M xyN xy， ， 2 2 1 m k ，即 22 21mk. 联立直线和椭圆的方程得 2 2 26xkxm， 222 1 24260kxkmxm，得 2 22 12 2 2 12 2 44 12260 4 21 26 21 kmkm km xx k m x x k . 1122 OMxyONxy， 12121212 OM ONx xy yx xkxmkxm， 2 2222 1212 22 264 11 2121 mkm kx xkm xxmkkmm kk 22222222 22 222 1264213 2266 366 0 212121 kmk mmkkk mk kkk ， OM ON . 综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点MN，都有OMON. 在Rt OMN中，由OMP与NOP相似得， 2 2OPPMPN为定值. 12 分 21.(21.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) ()易知1x ，且 1 1 x fxe x . 令 1 1 x h xe x ，则 2 1 0 1 x hxe x ， 函数 1 1 x h xe x 在1x ，上单调递增，且 000h f . 可知，当1 0 x ，时， 0h xfx， ln1 x f xex单调递减； 当0 x，时， 0h xfx， ln1 x f xex单调递增. 函数 f x的单调递减区间是1 0 ，单调递增区间是0 ，.5 分 () ln1 x g xf xaxexax ， gxfxa . 由()知， gx 在 1x ， 上单调递增， 当1x 时， g x；当x时， g x，则 0gx有唯一解 0 x. 可知，当 0 1xx ，时， 0gx， ln1 x g xexax单调递减； 当 0 xx，时， 0gx， ln1 x g xexax单调递增， 函数 g x在 0 xx处取得极小值 0 000 ln1 x g xexax，且 0 x满足 0 0 1 1 x ea x . 0