江西省抚州市南城县第一中学2019届高三上学期期末考试 数学（理）（PDF版）

南城一中南城一中 20192019 届届高三高三年级上学期期末联年级上学期期末联考考 理理 科科 数数 学学 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 1设集合设集合0, 1, 2, 3,4A ， 2 12Bx x，则，则AB （ ） A A 4 B B 1, 2, 3 C C0, 1, 2, 3 D D3, 2, 1,0,1,2,3 2 2设复数设复数 1 z与与 2 z是互为共轭复数，是互为共轭复数， 1 1iz ，则，则 12 z z （ ） A A- -2 2 B B2 2 C C1 i D D1i 3 3在在ABCABC 中中，三个内角三个内角 A A，B B，C C 满足满足 sinsin 2 2A A sinsin 2 2B B sinsin 2 2C C 3 3sin Asin Bsin Asin B，则角则角 C C 的大的大 小为小为( ( ) ) A. 30A. 30 B. 60B. 60 C. 120C. 120 D. 150D. 150 4 4等差数列等差数列 n a的前的前 1111 项和项和 11 88S，则，则 39 aa（ ） A A8 8 B B1616 C C2424 D D3232 5 5长方体长方体 1111 ABCDABC D ， 1AB ， 2AD ， 1 3AA ，则异面直线，则异面直线 11 A B 与与 1 AC 所成角的余弦值 为（ 所成角的余弦值 为（ ） A A 14 14 B B 8 3 14 C C 13 13 D D 1 3 6.6.某地某所高中某地某所高中 20182018 年的高考考生人数是年的高考考生人数是 20152015 年高考考生人数的年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比 该校考生的升学情况，统计了该校 倍，为了更好地对比 该校考生的升学情况，统计了该校 20152015 年和年和 20182018 年的高考情况，得到如下柱状图：年的高考情况，得到如下柱状图： 2015 年高考数据统计 2018 年高考数据统计 2015 年高考数据统计 2018 年高考数据统计 则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（ ） ） A A与 与 20152015 年相比，年相比，20182018 年一本达线人数减少 年一本达线人数减少 B B与 与 20152015 年相比，年相比，20182018 年二本达线人数增加了 年二本达线人数增加了0.5倍 倍 C C与 与 20152015 年相比，年相比，20182018 年艺体达线人数相同 年艺体达线人数相同 D D与 与 20152015 年相比，年相比，20182018 年不上线的人数有所增加 年不上线的人数有所增加 7 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A A8 B B28 C C 8 3 D D 8 2 3 8 8直线直线 0axby 与圆与圆 22 0 xyaxby 的位置关系是（的位置关系是（ ） A A相交相交 B B相切相切 C C相离相离 D D不能确定不能确定 9.9.已知函数已知函数 1 1ln f x xx ，则，则 yf x的图象大致为（的图象大致为（ ） A A B B C C D D 1010若将函数若将函数 sin 2 3 f xx 的图象向左平移的图象向左平移0个单位，所得图象关于原点对 称，则 个单位，所得图象关于原点对 称，则最小时，最小时，tan（ ） A A 3 3 B B 3 3 C C3 D D3 1 11 1过抛物线过抛物线 2 4yx的焦点的焦点F且倾斜角为且倾斜角为60的直线交抛物线于的直线交抛物线于A、B两点，以两点，以AF、BF为为 直径的圆分别与直径的圆分别与y轴相切于点轴相切于点M，N，则，则 MN（ ） A A 2 3 3 B B3 C C 4 3 3 D D2 3 1212已知函数已知函数 2 ,0 1 ,0 xxa x f x x x 的图像上存在不同的两点的图像上存在不同的两点A，B，使得，使得曲线曲线 yf x 在这两点处的切线重合，则实数在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（的取值范围是（ ） A A 1 , 4 B B 2, C C 1 2, 4 D D 1 , 2, 4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 1313已知已知3a，2b，若，若aba，则，则a与与b的夹角是的夹角是_ 1414设设x，y满足约束条件满足约束条件 10 10 3 xy xy x 则则23zxy的最小值是的最小值是_ 1515设设ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，若，若 22 ab2coscosaBbA，且且ABC的面积为的面积为 2525，则，则ABC周长的最小值周长的最小值 为为_ 1616如图，图形纸片的圆心为如图，图形纸片的圆心为O，半径为，半径为6cm，该纸片上的正方形，该纸片上的正方形ABCD 的中心为的中心为O，E，F，G，H，为圆为圆O上的点，上的点，ABE，BCF， CDG，ADH分别以分别以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚为底边的等腰三角形，沿虚 线剪开后，分别以线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起为折痕折起ABE，BCF，CDG，ADH，使得，使得 E，F，G，H重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 2 倍时，该四棱锥倍时，该四棱锥 的外接球的体积为的外接球的体积为_ 三、解答题：本大题三、解答题：本大题共共 6 6 大题大题，共，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤骤 1717（1 12 2 分）分）已知在数列已知在数列 n a中，中， n S为其前为其前n项和，且项和，且 2 n Snn N，数列，数列 n b为等比数为等比数 列，列， 公比公比 11 1,qba，且，且 243 2,3b bb成等差数列成等差数列. . （1 1）求）求 n a与与 n b的通项公式；（的通项公式；（2 2）令）令 n n n a c b ，若，若 n c的前项和为的前项和为 n T，求证：，求证：6. n T 1818（1 12 2 分）分）如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是边长为是边长为 2 2 的菱形，的菱形，60ABC， PAB 为正三角形为正三角形，且侧面且侧面PAB 底面底面ABCD，E为线段为线段AB的中点，的中点，M在线段在线段PD上上 （1 1）当当M是线段是线段PD的中点时的中点时，求证：求证：PB平面平面ACM； （2 2）是否存在点是否存在点M，使二面角，使二面角MECD的大小为的大小为60，若存在，求出，若存在，求出 PM PD 的值；若不存的值；若不存 在，请说明理由在，请说明理由 1919（1 12 2 分）分）中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。在中国海军加快建设的中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。在中国海军加快建设的大背大背 景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要 大量高素质航母舰载机飞行员。为此中国海军在全国大量高素质航母舰载机飞行员。为此中国海军在全国 9 9 省省 9 9 所优质普通高中进行海航班建设所优质普通高中进行海航班建设 试点培育航母舰载机飞行员。试点培育航母舰载机飞行员。20172017 年年 4 4 月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学 员，有员，有 1000010000 名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理 选拔等过程筛选，最终招收选拔等过程筛选，最终招收 5050 名学员。培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身名学员。培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身 体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称“活动活动”），这批海航班学员在），这批海航班学员在 1010 月参加活动的次数统计如月参加活动的次数统计如图所示：图所示： （1 1）从海航班）从海航班 5050 名学员中任选名学员中任选 2 2 名学员，他们名学员，他们 1010 月参加活动次数恰好相等的概率月参加活动次数恰好相等的概率； （2 2）从海航班）从海航班 5050 名学员中任选名学员中任选 2 2 名学员，用名学员，用X表示这两 学员 表示这两 学员 1010 月参加活动次数之差绝对值，求随机变量月参加活动次数之差绝对值，求随机变量X的分布 列及数学期望 的分布 列及数学期望 2020（1212 分）已知椭圆分）已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的一个焦点与抛物线的一个焦点与抛物线 2 4 3yx的焦点重合，且 直线 的焦点重合，且 直线 b yx a 与圆与圆 22 10200 xyx 相切相切 （1 1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程； （2 2）设斜率为）设斜率为k且不过原点的直线且不过原点的直线l与椭圆与椭圆C相交于相交于A、B两点，两点，O为坐标原点，直线为坐标原点，直线OA， OB的斜率分别为的斜率分别为 1 k， 2 k，若，若 1 k，k， 2 k成等比数列，推断成等比数列，推断 22 OAOB是否为定值？若是，求 出此定值；若不是，说明理由 是否为定值？若是，求 出此定值；若不是，说明理由 2121（1 12 2 分）分）已知函数已知函数 1 ln1 2 m f xxmR x 的两个零点为的两个零点为 1 x， 212 xxx （1 1）求实数）求实数m的取值范围；的取值范围； （2 2）求证：）求证： 12 112 exx 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，如果多做，则按所做的第一题记分 2222（1010 分）【分）【选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程】 已知直线已知直线l的参数方程为的参数方程为 1 4 2 3 2 xt yt （t为参数），以坐标原点为极点，为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为的极坐标方程为 2cos （1 1）求曲线）求曲线C的直角坐标方程与直线的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；的极坐标方程； （2 2）若直线）若直线 6 R 与曲线与曲线C交于点交于点A（不同于原点），与直线（不同于原点），与直线l交于点交于点B，求，求 AB 的 值 的 值 2323（1010 分）【分）【选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲】 】 已知函数已知函数 2f xxax （1）当 （1）当 1a 时，求不等式时，求不等式 3f x 的解集； （2） 的解集； （2）0 xR， ， 0 3f x ，求，求a的取值范围 的取值范围 高三上学期期末理数参考答案高三上学期期末理数参考答案 1 C2 B 3.A 4 B 5.A 6D7 C 8B 9A 10 C 11 A 12 C 13 150 14 6 1510 210 16 3 500 3 cm 27 连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为0 x x ， 则 2 x OI ，6 2 x IE ， 该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍， 2 462 22 xx x ，解得4x ， 设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R， 则2 2OC ， 1642 3OP ， 22 2 2 32 2RR，解得 5 3 R ， 外接球的体积 3 3 45500 3 cm 3273 V 故答案为 3 500 3 cm 27 18（1）证明：连接BD交AC于H点，连接MH， 四边形ABCD是菱形，点H为BD的中点 又M为PD的中点， MHBP又平面BPACM，MH 平面ACM PB平面ACM 6 分 （2）ABCD是菱形，60ABC，E是AB的中点， CEAB 又PE 平面ABCD， 以E为原点，分别以EB，EC，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Exyz， 则0,0,0E，1,0,0B， 0,0, 3P， 03,0C,， 2, 3,0D 假设棱PD上存在点M，设点M坐标为, ,x y z，01PMPD， 则 , ,32, 3,3x y z， 2 , 3 , 3 1M， 2 , 3 , 3 1EM ， 0, 3,0EC ， 设平面CEM的法向量为, ,x y zn， 则 233 10 30 EMxyz ECy n n ，解得 0 23 1 y xz 令2z，则3 1x，得 3 1,0,2n PE 平面ABCD，平面ABCD的法向量0,0,1m， 22 2 22 cos, 763 43 1 n m m n nm 二面角MECD的大小为60， 2 21 2 763 ，即 2 3210 ，解得 1 3 ，或1 （舍去）； 在棱PD上存在点M，当 1 3 PM PD 时，二面角MECD的大小为60 12 分 19（1）由频率分布表可看出：50 名海航班学员中参加活动一次有 10 人，参加活动 2 次有 25 人，参加活动 3 次有 15 人，记事件 A：“这两人参加活动次数恰好相等” 222 102515 2 50 ( ) CCC p A C ,据此计算可得 18 49 P A 4 分 （2）依题意，随机变量X的取值有 0、1、2，求解相应的概率值可得 从海航班中任选 2 名学员， 记事件B：“这两人中一人参加 1 次活动，一人参加 2 次活动， 事件C：“这两人中一人参加 2 次活动，一人参加 3 次活动”， 事件D：“这两人中一人参加 1 次活动，一人参加 3 次活动”， 36 0 98 P XP A； 1111 10252515 2 50 C CC C50 1+ C98 P XP BP C ， 11 1015 2 50 C C12 2 C98 P XP D， 8 分 随机变量X的分布列为： 10 分 随机变量X的期望 5012237 989849 EX 12 分 20（1）因为抛物线 2 4 3yx的焦点为 3,0，则3c ，所以 22 3ab(2 分) 因为直线0bxay与圆 2 2 55xy相切，则 22 5 5 b ba ，即 22 4ab(4 分) 解得 2 4a ， 2 1b ，所以椭圆C的方程是 2 2 1 4 x y(5 分) （2）设直线l的方程为0ykxm m，点 11 ,A x y， 22 ,B xy， 将直线l的方程代入椭圆方程，得2 2 44xkxm，即 222 418440kxkmxm， 则 12 2 8 41 km xx k ， 2 1 2 2 44 41 m x x k (7 分) 由已知， 122 12 1 2 1 21 2 kxmkxmy y kk k x xx x ，则 2 1 212 k x xkxmkxm， 即 2 12 0km xxm，所以 22 2 2 8 0 41 k m m k ，即 22 140km 因为0m，则 2 1 4 k ，即 1 2 k ，从而 12 2xxm ， 2 1 2 22x xm(10 分) 所以 2222 222222 11221122 OAOBxyxyxkxmxkxm 2 222222 1212121 212 1221222kxxkm xxmkxxx xkm xxm 2222 5 42 22225 4 mmmm 为定值(12 分) 21（1） 22 12 22 mxm fx xxx ， 当0m时， 0fx， f x在0,上单调递增，不可能有两个零点； 当0m时，由 0fx可解得2xm，由 0fx可解得02xm， f x在0,2m上单调递减，在2 ,m 上单调递增， min 1 2ln21 22 m f xfmm m ， 要使得 f x在0,上有两个零点，则 11 ln210 22 m ，解得 e 0 2 m， 则m的取值范围为 e 0, 2 5 分 （2）令 1 t x ，则 1111 ln1ln1 22 f xmmtt xx ， 由题意知方程 1 ln10 2 mtt 有两个根，即方程 ln2 2 t m t 有两个根， 不妨设 1 1 1 t x ， 2 2 1 t x ，令 ln2 2 t h t t ， 则当 1 0, e t 时， h t单调