江苏省五校2019届高三12月联考 数学(文)试卷（PDF版）

1 2019 届 高 三 年 级 五 校 联 考2019 届 高 三 年 级 五 校 联 考 数学数学文文试题（试题（I I）卷）卷 2018.12.21 2018.12.21 一、填空题一、填空题: :本大题共本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分，把答案填写在分，把答案填写在答题卡上相应位置上答题卡上相应位置上 . . 1.已知集合3 ,2 , 1aBA， 若1BA， 则BA . 2.函数)32lg()( 2 xxxf的定义域为 . 3.已知复数z满足iiz1（i是虚数单位） ，则复数z 的模为 . 4.右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 . 5.已知函数 0,log 0,2 )( 2 xx x xf x ，则 )2( ff . 6.若“1|ax”是“2x”的充分不必要条件，则 实数a的取值范围为 . 7.已知函数axy ln的图象与直线1 xy相切，则实数a的值为 . 8.已知函数) 22 )(2sin( xy在 6 x时取得最大值，则的值是 . 9.在平面直角坐标系xOy中，已知角的终边经过点)2 , 1 (A,将角的终边绕原点按逆时 针方向旋转 2 与角的终边重合 ,则)sin(的值为 . 10.已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若156 , 31 31 Sa，则 1 2 a a 的取值范围 是 . 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右顶点分别为A、 B，右焦点为F，上顶点为C，线段BC的中点为M，直线AM与椭圆的另一个交点为 D，且DF垂直于x轴，则椭圆离心率e的值为 . 12.如图，在ABC中，a、b、c 分别是角A BC、 、所对的边，FE,是AB上的两个三等 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160 分，考 试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置. 3作答试题，必须用 0. .5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效. 4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 2 分点，HG,是AC上的两个三等分点， 9 10 )()(CFBHCEBG，则Cbcos的最小 值为 . 13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆1: 22 yxO，直线axyl:，过直线l上点P作圆O的切线 PBPA,，切点分别为BA,，若存在点P使得POPBPA 2 3 ，则实数a的取值范围是 . 14.已知函数 1, 22 1|,| )( 2 xaxx xaxe xf x （e是自然对数的底数）恰有三个不同的零点 ，则实数a的取值 范围是 . 二、解答题二、解答题: :本大题共本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 15. (本小题满分 14 分) 已知向量a) 1 ,cos2(，)sin2 , 1 (b且), 0( （1）若ba/，求的值； （2）若 5 2 ba，求|ba的值. 16. (本小题满分 14 分) 已知函数x e m exf x x 2)(是定义在 1 , 1的奇函数（其中e是自然对数的底数）. （1）求实数m的值； （2）若 2 (1)(2)0f afa，求实数a的取值范围. 17. (本小题满分 14 分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆:C)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右准线方程4:xl，离心率 2 1 e，左右顶点分别为BA,，右焦点为F，点P在椭圆上，且位于x轴上方. 3 （1）设直线PA的斜率为 1 k，直线PB的斜率为 2 k，求 21 kk 的最小值； （2）点Q在右准线l上，且QFPF ，直线QP交x负半轴于点M， 若6MF，求点P坐标. 18. (本小题满分 16 分) 如图，港珠澳大桥连接珠海（A 点） 、澳门（B 点） 、香港（C 点） 线段AB长度为)(10 km，线段BC长 度为)(40 km，且 60ABC .澳门（B 点）与香港（C 点）之间有一段海底隧道，连接人工岛E和人 工岛F，海底隧道是以O为圆心，半径)( 3 310 kmR 的一段圆弧EF，从珠海点A到人工岛E所在 的直线AE与圆O相切，切点为点E，记) 2 , 6 , AEB. （1）用表示AE、EF及弧长EF； （2）记路程AE、弧长EF及、BEFC四段长总和为l，当取何值时，l取得最小值？ 19. (本小题满分 16 分) 已知函数xaxexgxxaxxf x )22()2()(,ln)( 2 （e是自然对数的底数）. （1）若1a，求函数)(xf的单调增区间； （2）若关于x的不等式0)(xf恒成立，求实数a的取值范围； （3）若函数)()()(xgxfxh在1x处取得极大值，求实数a的取值范围. )( 3 310 kmR )(10 km （第 18 题） 4 20. (本小题满分 16 分) 已知数列 n a、 n b、 n c，对于给定的正整数k，记 knnn aab ， knnn aac （ Nn）.若 对任意的正整数n满足： 1 nn bb，且 n c是等差数列，则称数列 n a为“)(kH” 数列. （1）若数列 n a的前n项和为 2 nSn，证明： n a为)(kH数列； （2）若数列 n a为) 1 (H数列，且5, 1, 1 211 cba，求数列 n a的通项公式； （3）若数列 n a为)2(H数列，证明： n a是等差数列. 5 数学试卷（数学试卷（I I）答案）答案 2018.12.21 2018.12.21 一、填空题一、填空题: : 1、1,2,3 2、), 3() 1,( 3、2 4、 5 5、-2 6、1a 7、2 8、 6 9、 5 3 10、5 , 3 2 11、 5 4 12、1 13、22 ,22 14、 32 (,) 22 二、解答题二、解答题: : 15、解（1）因为ba/ ，所以 1cossin4 ，所以 2 1 2sin 3 分 又因为), 0(，所以)2 , 0(2，所以 6 2 或 6 5 ，所以 12 或 12 5 7 分 （漏（漏 1解扣解扣 2分）分） （2）因为 5 2 ba，所以 5 2 sin2cos2，所以 5 1 sincos 10 分 所以 5 170 ) 1sin2() 1cos2(| 22 ba 14 分 （忘记开根号扣（忘记开根号扣 2分）分） 16、解（1）因为x e m exf x x 2)(是定义在 1 , 1的奇函数，所以0)0(f，所以m=14 分 当m=1时，x e exf x x 2 1 )(，所以)(2 1 )(xfxe e xf x x 6 分 （2）2 1 )( x x e exf 2 1 x x e e，所以0)( x f，当且仅当 x=0 时0)( x f，所以)(xf在 1 , 1单调递增10 分 所以 2 2 21 121 111 aa a a ，所以 2 1 0 a14 分 （忘记定义域扣（忘记定义域扣 2分）分） 17、解（1）1 34 22 yx 2 分 设点 P),( 00 yx，则 21 kk 0 2 0 0 0 0 0 0 3 4 4 22yx y x y x y 6 分 因为3, 0( 0 y，所以，当3 0 y时 21 kk 的最小值为37 分 （用结论（用结论 2 2 21 a b kk不证明扣不证明扣 2 分）分） （2）设点 P),( 00 yx，则 QF：) 1( 1 0 0 x y x y，所以点 Q) ) 1(3 , 4( 0 0 y x 9 分 因为点 P、Q、M 三点共线，所以 QMPM kk，所以)1)(5(3 00 2 0 xxy11 分 又因为1 34 2 0 2 0 yx ，所以4 0 x或 5 4 ，因为)2 , 2( 0 x，所以 P) 5 73 , 5 4 (14 分 6 18.解（1）在ABE中，由正弦定理可知： sin 35 sin 10 60sin AE AE 2 分 在OEF中，sin 3 320 sin2 REF4 分 EF 3 320 2R6 分 （2） 26 ,sin 3 320 40 3 320 sin 35 l8 分 2 23 2 22 sin3 )4cos7cos4cos4(35 sin3 )sincos4sin4cos3(35 l 10 分 即 2 2 sin3 )4coscos2)(1cos2(35 l12 分 由 2 3 , 0(cost ，则 0424coscos2 22 tt14 分 当 36 时， 0 l ；当 23 时， 0 l l在) 3 , 6 ( 上单调递减，在) 2 , 3 ( 上单调递增 答：当 3 时，l取得最小值.16 分 19. 解（1）当1a时， x xx x xxfxxxxf ) 1)(12( 1 1 2)(ln)( 2 因为0x，所有10 x时，0)( xf；1x时，0)( xf 则)(xf在), 1 ( 上单调递增。 3 分 （2）（法法 1：不分参，分类讨论：不分参，分类讨论） )0( 12 1 1 2)( 2 x x xax x axxf 若0a时，0)( xf，则)(xf在), 0( 上单调递减， 由01) 1 ( af与0)(xf恒成立矛盾，所以0a不合题意；5 分 （不举反例扣（不举反例扣 1分）分） 若0a时，令0)( xf，则 a a x 4 811 0 所以 当 0 0 xx 时，0)( xf；当 0 xx 时，0)( xf 则)(xf在), 0( 0 x单调递减，在),( 0 x单调递增 7 分 所以)(xf的最小值为 00 2 00 ln)(xxaxxf（*） ， 7 又) 1( 2 1 012 0 2 00 2 0 xaxxax带入（*）得： 000 2 1 ln 2 1 )(xxxf， 由0)(xf恒成立，所以0 2 1 ln 2 1 )( 000 xxxf，记 000 2 1 ln 2 1 )(xxxm 又0 2 11 )( 0 0 x xm，则 000 2 1 ln 2 1 )(xxxm在), 0( 单调递减， 又0) 1 (m，所以10 0 x ) 11 ( 2 1 0 2 0 xx a ), 1 1 0 x 10 分 所以实数a的取值范围是), 1 附： （法附： （法 2：分参）：分参） 0ln 2 xxax对0x恒成立， 2 ln x xx a 令)0( ln )( 2 x x xx xm 3 ln21 )( x xx xm 5 分 设xxxFln21)(，01 2 )( x xF，xxxFln21)(在), 0( 单调递减， 又0) 1 (F 7 分 当10 x时，0)(xF，即0)( xm；当1x时，0)(xF，即0)( xm )(xm在) 1 , 0(上递增，在), 1 ( 上递减 1) 1 ()( m a x mxm 综上，实数a的取值范围是), 1 10 分 （3）) 1 2)(1()( x e x axxh，0) 1 (h 设0, 1 2)(xe x axG x 0 1 )( 2 x e x xG， 则)(xG在), 0( 上单调递减， 当0) 1 (G时，即 2 1 e a 10x，0)(xG，则0)( xh )(xh在) 1 , 0(单调递减与“)(xh在1x处取得极大值”矛盾 2 1 e a不合题意；12 分 当0) 1 (G时，即 2 1 e a 8 则0)2(2) 2 1 ( 2 1 2 1 aeae eeeaea ae G 由0) 1 (G ， 0) 2 1 ( ae G ) 1 , 2 1 ( 0 ae x ，使得0)( 0 xG14 分 当1 0 xx时，0)(xG，则0) 1 2)(1()( x e x axxh 当1x时，0)(xG，则0) 1 2)(1()( x e x axxh )(xh在) 1 ,( 0 x单调递增，在), 1 ( 单调递减，则)(xh在1x处取得极大值 综上 2 1 e a符合题意。 16 分 20. 解（1）当2n时，12) 1( 22 1 nnnSSa nnn 2 分 当1n时，1 11 Sa符合上式， 则) 1( 12nnan 224,2knckb nn 则4, 11 nnnn ccbb 对任意的正整数n满足 1 nn bb，且 n c是公差为 4 的等差数列， n a为)(kH数列.4 分 （3） 21, 1 211 aba 由数列 n a为) 1 (H数列，则 n c是等差数列，且5, 3 21 cc 12 ncn 即12 1 naa nn 6 分 nana nn ) 1( 1 则nan是常数列 naa n 01 1 9 分 验证：1 1 nnn aab， 1 nn bb对任意正整数n都成立 nan10 分 附：附：12 1 naa nn 32 21 naa nn -得： 2 2 nn aa kkaakkaa kk 2) 1(2, 12) 1(2 22112 nan （3）由数列 n a为)2(H数列可知： n c是等差数列，记公差为d dbbaaaacc nnnnnnnn 2)()( 22422 dbb nn 2 31 则022)()( 321 ddbbbb nnnn 9 又 1 nn bb 1 nn bb 13 分 数列 n b为常数列，则 12 baab nnn 12 2baaac nnnn 由 2 )(2 111 d aadaacc nnnnnn 16 分 n a是等差数列. 注意：请在答卷卡指定区域内注意：请在答卷卡指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21(本小题满分 10 分) 解： 10 01 7 2 37 2 a ba 1314 0217 114 a b ab 3 分 3, 5ba，则 37 25 A5 分 设曲线F上任一点),(yxP变换为), (yxP则 yxy yxx 37 25 ，7 分 代入曲线xy2得曲线F的方程xy310 分 （不设任意点（不设任意点),(yxP变换为变换为), (yxP扣扣 1 分分） 22(本小题满分 10 分) 解：解：直线axyl:，圆4) 1() 1( : 22 yxC，4 分 由弦长AB22 22 22 ddrAB6 分 所以圆心 C（1，-1）到直线l的距离 2 11 2 a d ，40或a10 分 （漏解扣（漏解扣 2 2 分）分） 23. (本小题满分 10 分) 解（1）由题可知直线 1 l、 2 l的斜率都存在，设kxyl: 1 ，x k yl 1 : 2 kxy xy2 ) 1 , 1 ( 2 kk A2 分 10 同理可得 ),( 2 kkB 则直线AB所在的直线方程为1),1( 1 2 kx k k y 当