2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题10等差数列与等比数列教学案理（含解析）

等差数列与等比数列【2019年高考考纲解读】1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力【重点、难点剖析】一、等差数列、等比数列的运算1通项公式等差数列：ana1(n1)d；等比数列：ana1qn1.2求和公式等差数列：Snna1d；等比数列：Sn(q1)3性质若mnpq，在等差数列中amanapaq；在等比数列中amanapaq.二等差数列、等比数列的判定与证明证明数列an是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法：利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；利用等差中项，即证明2anan1an1(n2，nN*)(2)证明数列an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明(nN*)为一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2，nN*)三、等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解【高考题型示例】题型一、等差数列、等比数列的运算例1、(1)(2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5等于()A12 B10C10 D12答案B解析设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故选B.(2) (2018全国)等比数列an中，a11，a54a3.求an的通项公式；记Sn为an的前n项和，若Sm63，求m.【感悟提升】在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量【变式探究】(1)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn，若S23a22，S43a42，则a1等于()A2 B1 C. D.答案B解析S4S2a3a43a43a2，即3a2a32a40，即3a2a2q2a2q20，即2q2q30，解得q1(舍)或q，当q时，代入S23a22，得a1a1q3a1q2，解得a11.(2) 设各项均为正数的等比数列an中，若S480，S28，则公比q_，a5_.答案3162解析由题意可得，S4S2q2S2，代入得q29.等比数列an的各项均为正数，q3，解得a12，故a5162. 题型二等差数列、等比数列的判定与证明例2、已知数列an，bn，其中a13，b11，且满足an(3an1bn1)，bn(an13bn1)，nN*，n2.(1)求证：数列anbn为等比数列；(2)求数列的前n项和Tn.(1)证明anbn(3an1bn1)(an13bn1)2(an1bn1)，又a1b13(1)4，所以anbn是首项为4，公比为2的等比数列(2)解由(1)知，anbn2n1，又anbn(3an1bn1)(an13bn1)an1bn1，又a1b13(1)2，所以anbn为常数数列，anbn2，联立得，an2n1，所以Tn(nN*)【感悟提升】(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法(2)aan1an1(n2)是数列an为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零【变式探究】已知an是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项(1)求证：数列S为等差数列；(2)求数列an的通项公式；(3)设bn，求bn的前n项和Tn.(2)解由(1)可得S1n1n，数列an的各项都为正数，Sn，当n2时，anSnSn1，又a1S11满足上式，an(nN*)(3)解由(2)得bn(1)n()，当n为奇数时，Tn1(1)()()()，当n为偶数时，Tn1(1)()()()，数列bn的前n项和Tn(1)n(nN*)题型三等差数列、等比数列的综合问题例3、已知等差数列an的公差为1，且a2a7a126.(1)求数列an的通项公式an与其前n项和Sn；(2)将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使得对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围解(1)由a2a7a126，得a72，a14，an5n，从而Sn(nN*)(2)由题意知b14，b22，b31，设等比数列bn的公比为q，则q，Tm8，m随m的增加而减少，Tm为递增数列，得4Tm8.又Sn(n29n)， 故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使得对任意nN*，总有SnTm，则102.即实数的取值范围为(2，)【感悟提升】(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解【变式探究】已知数列an的前n项和为Sn，且Sn13(an1)，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足