江苏省江都中学、华罗庚中学等13校2019届高三上学期12月联合调研测试 数学

2019届高三12月联合调研测试 2018.12数学 试题注意事项：1本试卷共160分，考试时间120分钟；2答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；3答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B铅笔一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1全集，集合，则 2复数(为虚数单位)的模为 3在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 4已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 5如图程序运行的结果是 6如图是样本容量为200的频率分布直方图根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在6,10)内的频数为 7设等比数列的前项积为，若，则的值是 8已知直线、与平面、，则下列命题中正确的是 （填写正确命题对应的序号）若，则 若，则若，则 若，则9已知，则 10在等腰三角形中,底边, , , 若, 则 11已知，若过轴上的一点可以作一直线与相交于两点，且满足，则的取值范围为 12如图,在三棱锥中, 、两两垂直,且设是底面内一点,定义,其中、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积若,且恒成立,则正实数的最小值为 13已知的三边长成等差数列，且则实数的取值范围是 14已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，又函数若，使成立，则实数的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分14分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，且，其中为坐标原点.（）若，设点为线段上的动点，求的最小值;（）若，向量，求的最小值及对应的值.16（本小题满分14分）如图，在正三棱柱中，点在棱上，点，分别是，的中点（1）求证：为的中点；（2）求证：平面17（本小题满分14分）某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练如图所示，在相距的A，B两个位置分别有300，100名学生，在道路OB上设置集合地点D，要求所有学生沿最短路径到D点集合，记所有学生行进的总路程为S（km） （1）设，写出S关于的函数表达式；（2）当S最小时，集合地点D离点A多远？ 18（本小题满分16分）如图，F1、F2分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若，且. （）求椭圆的方程； （）过F1、F2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围19.（本小题满分16分）已知函数，设.（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；（2）若时函数有两个不同的零点.求的取值范围；求证：.20（本小题满分16分）已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为 （1）若数列通项为，求证：； （2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由数学II（附加题）21【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.B选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，试求直线与曲线的交点的极坐标.C选修45：不等式选讲若正数a，b，c满足a + 2b + 4c =3，求的最小值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22(本小题满分10分) 在某次活动中，有名幸运之星这名幸运之星可获得、两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于的获得奖品，抛掷点数不小于的获得奖品（1）求这名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；（2）设、分别为获得、两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望23（本小题满分10分）在数学上，常用符号来表示算式，如记=，其中，.（1）若，成等差数列，且，求证：；（2）若，记，且不等式恒成立，求实数的取值范围答案注意事项：1本试卷共160分，考试时间120分钟；2答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；3答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B铅笔一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1全集，集合，则 2复数(为虚数单位)的模为 3在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 24已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 5如图程序运行的结果是 146如图是样本容量为200的频率分布直方图根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在6,10)内的频数为 647设等比数列的前项积为，若，则的值是 28已知直线、与平面、，则下列命题中正确的是 （填写正确命题对应的序号） 若，则 若，则若，则 若，则9已知，则 10在等腰三角形中,底边, , , 若, 则 11已知，若过轴上的一点可以作一直线与相交于两点，且满足，则的取值范围为 12如图,在三棱锥中, 、两两垂直,且设是底面内一点,定义,其中、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积若,且恒成立,则正实数的最小值为 113已知的三边长成等差数列，且则实数的取值范围是 14已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，又函数若，使成立，则实数的取值范围是_【详解】根据题意，对于函数f（x），当x0，2）时，可得：当0x1时，f（x）=1-x2，有最大值f（0）=1，最小值f（1）=0，当1x2时，f（x）=f（2-x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有0f（x）1，又由函数y=f（x）是定义在区间0，+）内的2级类周期函数，且T=2； 则在x6，8）上，f（x）=23f（x-6），则有0f（x）4，则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，则函数f（x）在区间6，8上的最大值为8，最小值为0；对于函数，有 ，得在（0，1）上，g（x）0，函数g（x）为减函数，在（1，+）上，g（x）0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+）上，由最小值 若x16，8，x2（0，+），使g（x2）-f（x1）0成立，必有g（x）minf（x）max，即 解可得 ，即m的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分14分）在如图所示平面直角坐标系中，已知点和点，且，其中为坐标原点.（）若，设点为线段上的动点，求的最小值;（）若，向量，求的最小值及对应的值.解：（） 设（），又所以所以 3分所以当时，最小值为 6分（）由题意得,则 9分因为,所以 10分所以当，即时，取得最大值 所以时，取得最小值 所以的最小值为，此时14分16（本小题满分14分）如图，在正三棱柱中，点在棱上，点， 分别是，的中点（1）求证：为的中点；（2）求证：平面 解：（1） 正三棱柱，平面，又平面，又，平面，3分又正三棱柱，平面平面，为的中点6分G（2） 连接，连接交于点，连接 矩形，为的中点， 又由(1)得为的中点， 中，9分 又点，分别是，的中点， 中，12分又平面，平面平面14分17（本小题满分14分）某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练如图所示，在相距的A，B两个位置分别有300，100名学生，在道路OB上设置集合地点D，要求所有学生沿最短路径到D点集合，记所有学生行进的总路程为S（km） （1）设，写出S关于的函数表达式；（2）当S最小时，集合地点D离点A多远？ 解（1）因为在OAD中，所以由正弦定理可知， 解得 ，且， 4分故，7分（2） 令，则有 ，令得记，列表得0极小值 可知，当且仅当时，有极小值也是最小值为， 当时，此时总路程有最小值 13分答：当集合点D离出发点A的距离为km时，总路程最短，其最短总路程为14分18（本小题满分16分）如图，F1、F2分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若，且. （）求椭圆的方程； （）过F1、F2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围解：(I) 由F1(-1，0)得,A点坐标为；2分 是的中点 椭圆方程为 4分(II)当直线MN与PQ之一与轴垂直时，四边形PMQN面积；5分当直线PQ，MN均与轴不垂直时，不妨设PQ：， 联立代入消去得设 则 8分 ，同理四边形PMQN面积 12分令，则，易知S是以为变量的增函数所以当时，综上可知，四边形PMQN面积的取值范围为 16分19.（本小题满分16分）已知函数，设.（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；（2）若时函数有两个不同的零点.求的取值范围；求证：.解：(1)因为，所以,由可得a=b-3. 又因为在处取得极值，所以， 所以a= -2,b=1 . 2分所以，其定义域为（0，+）令得， 当（0,1）时，当（1,+），所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减. 4分（2）当时，其定义域为（0，+）.,当,则，在上单调递增，不合题意。5分当时，在上单调递增，在上单调递减。因为有2个不同零点，所以，即7分. 此时存在使得，又在和都连续，所以在和各有一个零点 10分由题意得,所以,所以，不妨设x1x2,要证 , 只需要证.12分即证，设,则,所以,所以函数在（1，+）上单调增，而，所以即,所以 . 16分20（本小题满分16分）已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为 （1）若数列通项为，求证：； （2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由解:（1）因为an，所以Sn1()n，所以an1Sn()n11()n()n110，所以an1Sn，即anM 4分（2）设an的公差为d，因为annM，所以an1n1(a11)(a22)(ann) （*）特别的当n1时，a22a11，即d1，由（*）得a1ndn1na1d，整理得n2(a1d)na110，因为上述不等式对一切nN*恒成立，所以必有0，解得d1，又d1，所以d1，于是(a11)na110，即(a11)(n1)0，所以a110，即a11，所以2a5a12(a5a1)a18da18a19，因此2a5a1的取值范围是9，) 9分 （3）由an1Sn得Sn1SnSn，所以Sn12Sn，即2，所以2n，从而有Sn1S12na12n， 又an1Sn，所以an2Sn1a12n，即ana12n2(n3)，又a2S1a1222，a1a1212，所以有ana12n2(nN*)，所以2n，假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n项为dnb(b为常数)，则存在mN，mn，使得dnb2m2n，即da1nba12n2，设f (n)，nN*，n3， 则f (n1)f (n)0，即f (n1)f (n)f (3)1，于是当n3时，2n2n2，从而有：当n3时da1nba1n2，即n2da1nba10，于是当n3时，关于n的不等式n2da1nba10有无穷多个解，显然不成立，因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列 16分数学II（附加题）21【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.解：设点为曲线上的任意一点，在矩阵对应的变换作用下得到的点为，则，所以 5分所以曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为，所围成的图形为菱形，其面积为 .10分B选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，试求直线与曲线的交点的极坐标.解：将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为 -2分将曲线C的参数方程化为普通方程可得： -5分由得，解得或，又，所以，所以直线与曲线C的交点的直角坐标为（1,1）. -10分注：结果多一解的扣2分C选修45：不等式选讲若正数a，b，c满足a + 2b + 4c =3，求的最小值解：因为正数a，b，c满足a + 2b + 4c =3，所以，所以，5分即，当且仅当，时，取最小值 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22(本小题满分10分) 在某次活动中，有名幸运之星这名幸运之星可获得、两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于的获得奖品，抛掷点数不小于的获得奖品（1）求这名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；（2）设、分别为获得、两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望解：这名幸运之星中，每人获得