2019届高考数学（理）二轮复习专题透析课件和讲义专题6　解析几何

2019,专题6,解析几何,06,目录,微专题17直线方程与圆的方程,微专题18圆锥曲线的标准方程与几何性质,微专题19直线与椭圆的综合,微专题20直线与抛物线的综合,点击出答案,一、直线和圆1.如何判断两条直线平行与垂直?,2.如何判断直线与圆的位置关系?,3.如何判断圆与圆的位置关系?,4.如何求直线与圆相交得到的弦长?,2.双曲线的标准方程怎么求?几何性质有哪些?,3.抛物线的标准方程是什么?几何性质有哪些?,三、直线与圆锥曲线的位置关系1.怎样判断直线与圆锥曲线的位置关系?,2.如何求圆锥曲线的弦长?,3.直线与圆锥曲线相交时,弦中点坐标与直线的斜率是什么关系?试用点差法进行推导.,返,1.直线与圆的方程问题在近几年的高考中考查强度有所下降,其中两条直线的平行与垂直,点到直线的距离,两点间的距离是命题的热点.圆与直线相结合命题,着重考查待定系数法求圆的方程,直线与圆的位置关系,特别是直线与圆相切、相交.2.圆锥曲线主要考查的问题(1)圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质,这部分是每年必考内容,虽然大纲降低了对双曲线的要求,但在选择题中仍然会考查双曲线.圆锥曲线可单独考查,也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查,突出考查学生的运算能力和转化思想.(2)直线与圆锥曲线的位置关系:此类问题命题背景宽,涉及知识点多,综合性强,通常从圆锥曲线的概念入手,从不同角度考查,或探究平分面积的线、平分线段的点(线),或探究使其解析式成立的参数是否存在.,命题特点,(3)圆锥曲线的参数范围、最值问题:该考向多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数、方程、不等式、向量等知识交汇,形成轨迹、范围、弦长、面积等问题.从近几年高考情形来看,该类专题在高考中占的比例大约为20%,一般是一个解答题和两个小题,难度比例适当.一、选择题和填空题的命题特点(一)考查直线与圆的方程,难度中等,主要考查圆的方程、直线与圆相交形成的弦长、直线与圆相切或相交的有关问题.,命题特点,1.(2018全国卷文T15改编)直线y=kx+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,当|AB|=22时,k=.,1,答案,解析,解析圆的标准方程为x2+(y+1)2=4,其圆心为(0,-1),半径为2,设圆心到直线kx-y+1=0的距离为d,则d=21+2.因为|AB|=222=242=22,所以d=2,所以21+2=2,所以k=1.,2.(2018全国卷文T8改编)已知A(-2,0),B(0,-2),则圆(x-2)2+y2=2上一点P到AB所在直线距离的取值范围是().A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32,C,答案,解析,解析根据题意得AB所在的直线方程为x+y+2=0,则圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离d=|2+0+2|2=22.又因为半径r=2,所以点P到直线x+y+2=0的距离的最大值为22+2=32,最小值为22-2=2,故选C.,(二)考查圆锥曲线的概念与标准方程,难度中等,主要考查圆锥曲线的定义、代入法求轨迹方程以及待定系数法求标准方程.3.(2018北京卷文T12改编)若双曲线22-24=1(a0)的渐近线方程为y=12x,则a=.,4,答案,解析,解析因为a0,根据题意,双曲线的渐近线方程为y=2x=12x,所以a=4.,4.(2018天津卷文T7改编)已知双曲线22-22=1(a0,b0)的渐近线方程为y=3x,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1,d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为().A.23-29=1B.29-23=1C.24-212=1D.212-24=1,A,答案,解析,解析由题意可得图象,如图,CD是双曲线的一条渐近线y=x,即bx-ay=0,右焦点为F(c,0),且ACCD,BDCD,EFCD,所以四边形ABCD是梯形.又因为F是AB的中点,所以EF=1+22=3,得EF=2+2=b,所以b=3.又=3,所以a=3,故双曲线的方程为23-29=1,故选A.,(三)考查圆锥曲线的几何性质,属中等偏难题目,主要包含离心率、范围、对称性、渐近线、准线等性质.5.(2018全国卷文T4改编)已知椭圆C:22+22=1(ab0)的一个焦点为(2,0),离心率为22,则C的标准方程为().A.28+22=1B.212+24=1C.28+24=1D.28+26=1,C,答案,解析,解析因为椭圆焦点在x轴上,且c=2,离心率e=22,解得a=22,所以b=2,故C的标准方程为28+24=1,故选C.,6.(2018全国卷文T10改编)已知点(4,0)到双曲线C:22-22=1(a0,b0)的渐近线的距离为22,则C的离心率为().A.2B.2C.322D.22,A,答案,解析,解析由题意可知双曲线的一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,故点(4,0)到C的渐近线的距离d=|4|2+2=22,整理可得a=b,故双曲线C:22-22=1(a0,b0)的离心率e=1+22=2,故选A.,(四)考查圆锥曲线中的最值和范围问题,属偏难题目,主要考查以直线和圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值与取值范围问题.7.(2017全国卷文T12改编)已知椭圆C:23+2=1离心率的取值范围为63,1,则m的取值范围为().A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+),A,答案,解析,解析当03时,焦点在y轴上,则=1263,33,即333,得m9.故m的取值范围为(0,19,+),故选A.,8.(2017全国卷文T5改编)已知双曲线C:22-22=1(a0,b0)的虚轴长为2,实轴长大于2,则双曲线C的离心率的取值范围是().A.(2,+)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,2),C,答案,解析,解析由题意知,b=1,a1,则e2=22=2+12=1+12.因为a1,所以11+122,则10).设A(x1,y1),B(x2,y2).由=(1),2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=22+42.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=42+42.由题设知42+42=8,解得k=-1(舍去)或k=1.因此l的方程为y=x-1.,(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则0=0+5,(0+1)2=(00+1)22+16,解得0=3,0=2或0=11,0=6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.,2.(2017全国卷T20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=2.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1,证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,解析,解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=2得x0=x,y0=22y.因为M(x0,y0)在C上,所以22+22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.,(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,(二)已知图形的几何性质,求有关参数的值(或取值范围)3.(2018北京卷文T20)已知椭圆M:22+22=1(ab0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q74,14共线,求k.,解析,解析(1)由题意得2=2+2,=63,2=22,解得=3,=1.所以椭圆M的方程为23+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由=+,23+2=1,得4x2+6mx+3m2-3=0,所以x1+x2=-32,x1x2=3234.所以|AB|=(21)2+(21)2=2(21)2=2(1+2)2412=12322.当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为6.,解析,解析,规律方法,1.圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域等,综合性比较强,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求的几何量或代数表达式表示为某些参数的函数解析式,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.2.圆锥曲线的几何性质主要包括离心率、范围、对称性、渐近线、准线等.这些性质问题往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,主要考查利用几何量的关系求椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线方程.对于圆锥曲线的最值问题,正确把握圆锥曲线的几何性质并灵活应用,是解题的关键.3.圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题,常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题,综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法.,规律方法,4.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的关系式,再利用题设条件化简、变形求得定值.(3)求某条线段长度为定值.利用长度公式求得关系式,再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得定值.5.(1)解决是否存在常数(或定点)的问题时,应首先假设存在,看是否能求出符合条件的参数值,如果推出矛盾就不存在,否则就存在.(2)解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方程,联立方程消元得出一元二次方程,利用判别式得出是否有解.,微专题17直线方程与圆的方程,返,A,答案,解析,D,答案,解析,A,答案,解析,6,答案,解析,4.已知AB为圆C:x2+y2-2y=0的直径,点P为直线y=x-1上任意一点,则|PA|2+|PB|2的最小值为.,能力1,会用直线方程判断两条直线的位置关系,典型例题,解析,答案,A,方法归纳,变式训练,解析,C,答案,能力2,会结合平面几何知识求圆的方程,典型例题,解析,答案,B,方法归纳,变式训练,解析,A,答案,能力3,会用几何法求直线与圆中的弦长问题,典型例题,解析,答案,D,方法归纳,变式训练,解析,答案,能力4,会用数形结合解决直线和圆中的最值问题,典型例题,解析,答案,C,方法归纳,变式训练,解析,答案,微专题18圆锥曲线的标准方程与几何性质,返,A,答案,解析,答案,解析,2.直线l:x-2y-5=0过双曲线22-22=1(a0,b0)的一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线的方程为().A.220-25=1B.25-220=1C.24-y2=1D.x2-24=1,解析对于直线l,令y=0,得x=5,即c=5.又=12,所以a2=20,b2=5,所以双曲线的方程为220-25=1,故选A.,A,答案,解析,3.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=9,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为().A.627B.1827C.427D.227,解析设P(x0,y0),因为抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,|PM|=9,根据抛物线的定义,可得x0=8,所以y0=42.又点P在第一象限,所以P(8,42),所以kPF=427,故选C.,C,答案,解析,4.若点O和点F分别为椭圆24+23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为().A.2B.3C.6D.8,解析设P(x0,y0),则024+023=1,即02=31024.又F(-1,0),所以=x0(x0+1)+02=1402+x0+3=14(x0+2)2+2.因为x0-2,2,所以()max=6,故选C.,C,能力1,巧用定义求解曲线问题,D,典型例题,答案,解析,【例1】已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是().A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线的右支,解析因为N为F1M的中点,O为F1F2的中点,所以F2M=2ON=2.因为点P在线段F1M的中垂线上,所以|PF1|=|PM|,因此|PF1|-|PF2|=F2M=2ON=2,即点P的轨迹是双曲线的右支,故选D.,方法归纳,求轨迹方程的常用方法:一是定义法,动点满足圆或圆锥曲线的定义;二是直接法,化简条件即得;三是转移法,除所求动点外,一般还有已知轨迹的动点,寻求两者之间的关系是关键;四是交轨法或参数法,如何消去参数是解题关键,且需注意消参过程中的等价性.,A,变式训练,答案,解析,椭圆212+23=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若线段PF2的中点在y轴上,则|PF2|是|PF1|的().A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍,解析设线段PF2的中点为D,则|OD|=12|PF1|,ODPF1,ODx轴,PF1x轴,|PF1|=2=323=32.又|PF1|+|PF2|=43,|PF2|=43-32=732,|PF2|是|PF1|的7倍,故选A.,能力2,会用有关概念求圆锥曲线的标准方程,C,典型例题,答案,解析,【例2】已知双曲线C:22-22=1(a0,b0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是().A.212-y2=1B.29-23=1C.x2-23=1D.223-232=1,解析由题意可得2232=1,=3,解得=1,=3,双曲线C的标准方程是x2-23=1,故选C.,方法归纳,渐近线、焦点、顶点、准线等是圆锥曲线的几何性质,这些性质往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,只有正确把握和理解这些性质,才能通过待定系数法求解圆锥曲线的方程.,C,变式训练,答案,解析,已知双曲线22-22=1的离心率为2,且双曲线与抛物线x2=-43y的准线交于A,B两点,SABO=3,则双曲线的实轴长为().A.2B.2C.22D.42,解析因为抛物线的方程为x2=-43y,所以准线方程为y=3.因为SABO=3,所以122|xA|3=3,所以xA=1,所以A(1,3)或A(-1,3).因为双曲线22-22=1的离心率为2,所以a=b,所以32-12=1,故a=2,因此双曲线的实轴长为22,故选C.,能力3,会用几何量的关系求离心率,C,典型例题,答案,解析,【例3】已知椭圆E:22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,y轴上的点P在椭圆外,且线段PF1与椭圆E交于点M,若|OM|=|MF1|=33|OP|,则椭圆E的离心率为().A.12B.32C.3-1D.3+12,解析因为|OM|=|MF1|=33|OP|,所以F1PO=30,MF1F2=60,连接MF2,则可得三角形MF1F2为直角三角形.在RtMF1F2中,易知MF1=c,MF2=3c,则c+3c=2a,所以离心率e=21+3=3-1,故选C.,方法归纳,求离心率一般有以下几种方法:直接求出a,c,从而求出e;构造a,c的齐次式,求出e;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解.本题中,根据特殊直角三角形可以建立关于焦半径和焦距的关系,从而找出a,c之间的关系,求出离心率e.,A,变式训练,答案,解析,过双曲线22-22=1(ab0)的左焦点F作某一渐近线的垂线,分别与两条渐近线相交于A,B两点,若|=12,则双曲线的离心率为().A.233B.2C.3D.5,解析因为ab0,所以交点A,B在F的两侧.由|=12及角平分线定理知|=|=12.由ABAO知cosAOB=|=12,所以AOB=60,AOF=30,据此可知渐近线的方程为y=33x,而双曲线22-22=1的渐近线方程为y=x,故=33,则双曲线的离心率e=1+2=233,故选A.,能力4,能紧扣圆锥曲线的性质求最值或取值范围,C,典型例题,答案,解析,【例4】设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为().A.33B.23C.22D.1,解析设P022,0,由题意知F2,0,显然当y00,则=+=+13=+13(-)=13+23=026+3,03,可得kOM=03026+3=20+20222=22,当且仅当02=2p2,即y0=2p时取等号,故选C.,方法归纳,解题时一定要注意分析条件,根据条件|PM|=2|MF|,利用向量的运算可知M026+3,03,从而写出直线的斜率的表达式,注意均值不等式的使用,特别是要分析等号是否成立,否则易出问题.,C,变式训练,答案,解析,如图,圆O与离心率为32的椭圆T:22+22=1(ab0)相切于点M(0,1),过点M引两条互相垂直的直线l1,l2,两条直线与两曲线分别交于点A,C与点B,D(均不重合).若P为椭圆上任意一点,记点P到两条直线的距离分别为d1,d2,则12+22的最大值是().A.4B.5C.163D.253,解析易知椭圆T的方程为24+y2=1,圆O的方程为x2+y2=1.设P(x0,y0),因为l1l2,所以12+22=PM2=02+(y0-1)2.又因为024+02=1,所以12+22=4-402+(y0-1)2=-30+132+163.因为-1y01,所以当y0=-13时,12+22取得最大值163,此时点P的坐标为423,13,故选C.,微专题19直线与椭圆的综合,返,A,答案,解析,1.直线x+4y+m=0交椭圆216+y2=1于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为1,则m=().A.-2B.-1C.1D.2,解析因为x+4y+m=0,所以y=-14x-4.设A(x1,y1),B(x2,y2),则1216+12=1,2216+22=1,两式相减,得1212=-1+216(1+2)=-14.因为AB中点的横坐标为1,所以纵坐标为14,将1,14代入直线y=-14x-4,解得m=-2,故选A,答案,解析,2.已知F是椭圆22+22=1(ab0)的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若|PF|=2|QF|,且PFQ=120,则椭圆的离心率为().A.13B.12C.33D.22,解析在PQF中,设|PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦点为E,由椭圆的对称性,知四边形PFQE是平行四边形,所以在PEF中,由余弦定理得EF2=5t2-2t2=3t2=4c2.因为PF+QF=2a=3t,所以t=23,所以e=33,故选C.,C,答案,解析,3.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆22+22=1(ab0)的右焦点,直线y=2与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.,解析将y=2代入椭圆的标准方程,得22+242=1,所以x=32a,故B32a,2,C32a,2.又因为F(c,0),所以=+32a,2,=32a,2.因为BFC=90,所以=0,所以+32a32a+22=0,即c2-34a2+24=0.将b2=a2-c2代入并化简,得a2=32c2,所以e2=22=23,所以e=63(负值舍去).,63,答案,解析,解析设P1(4cos,3sin)02,即点P1在第一象限.设四边形P1AOB的面积为S,则S=1+1=1243sin+1234cos=6(sin+cos)=62sin+4,Smax=62.SOAB=1243=6,1AB的最大值为62-6.62-63,点P不可能在直线AB的右上方,在AB的左下方有2个这样的点P.,能力1,会用点差法解直线与椭圆中的与弦中点有关的问题,B,典型例题,答案,解析,【例1】已知椭圆C:24+22=1(00)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是().A.12B.22C.32D.55,解析设直线与椭圆的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,由点差法可知yM=-22xM,代入点M(-4,1),解得22=14,e=122=32,故选C.,能力2,会用“设而不解”的思想解直线与椭圆中的弦长、面积问题,典型例题,解析,【例2】在平面直角坐标系xOy中,动点M(x,y)总满足关系式2(1)2+2=|x-4|.(1)点M的轨迹是什么曲线?并写出它的标准方程.(2)坐标原点O到直线l:y=kx+m的距离为1,直线l与M的轨迹交于不同的两点A,B,若=-32,求AOB的面积.,解析(1)由2(1)2+2=|x-4|,得24+23=1,所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆,它的标准方程为24+23=1.(2)由点O到直线l:y=kx+m的距离为1,得d=|1+2=1,即1+k2=m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立24+23=1,=+,消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)0,得m2b0),由椭圆的定义可得2a=(3+2)2+1+(32)2+1=8+43+843=(6+2)2+(62)2=26,a=6.c=2,b2=2.椭圆C的标准方程为26+22=1,(2)设直线l的方程为x=ky+2,代入椭圆C的方程并化简得(k2+3)y2+4ky-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-42+3,y1y2=-22+3.OAB的面积S=12|OF|y1-y2|=|y1-y2|=162+8(2+3)2+3=262+12+3.令t=2+1(t1),则S=26t2+226t22t=3,当且仅当t=2,即k=1时取等号,此时直线l的方程为x=y+2.圆心O到直线l的距离d=2,又圆O的半径为6,故|DE|=262=4.,能力3,会用“设而不解”的思想求直线与椭圆中的有关几何量,C,典型例题,答案,解析,【例3】已知点M(-4,0),椭圆24+22=1(00)的离心率为32,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与相交于A,B两点.若=3,则k=().A.1B.2C.3D.2,解析设A(x1,y1),B(x2,y2),=3,y1=-3y2.e=32,设a=2t,c=3t,b=t,x2+4y2-4t2=0.设直线AB的方程为x=sy+3t,代入中消去x,可得(s2+4)y2+23sty-t2=0,y1+y2=23st2+4,y1y2=-22+4.由y1=-3y2可得-2y2=23st2+4,-322=-22+4,解得s2=12,k=2.故选D.,能力4,会用“设而不解”的思想求直线与椭圆中的最值,典型例题,解析,【例4】已知椭圆E:22+22=1(ab0)经过点P3,12,椭圆的一个焦点为(3,0).(1)求椭圆E的方程;(2)若直线l过点(0,2)且与椭圆E交于A,B两点,求|AB|的最大值.,解析(1)设椭圆E的左、右焦点分别为F1(-3,0)、F2(3,0),则|PF1|=12,|PF2|=72.|PF1|+|PF2|=4=2a,a=2.又c=3,b2=1,椭圆E的方程为24+y2=1.,(2)当直线l的斜率存在时,设y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由24+2=1,=+2得(1+4k2)x2+82kx+4=0,由0得4k21.x1+x2=82k1+42,x1x2=41+42,|AB|=1+2(1+2)2412=2611+422+11+42+1.设t=11+42,则0t12,|AB|=262+t+1=261122+2524566.当直线l的斜率不存在时,|AB|=20,得m20,整理得020),0242+3t162+24t+9=1162+24t+942+3t=14+314,所以-12x012.综上可得,-12x012.,微专题20直线与抛物线的综合,返,C,答案,解析,1.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1+x2=43,则弦AB的长为().A.4B.163C.103D.83,解析抛物线的焦点弦公式为|AB|=x1+x2+p,由抛物线方程可得p=2,则弦AB的长为x1+x2+p=43+2=103,故选C.,C,答案,解析,2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足,若直线AF的斜率k=-3,则线段PF的长为().A.4B.5C.6D.7,解析因为抛物线的方程为y2=6x,所以焦点为F32,0,准线方程为x=-32.因为直线AF的斜率k=-3,所以直线AF的方程为y=-332.当x=-32时,y=33,即A32,33.因为PAl,A为垂足,所以点P的纵坐标为33,代入抛物线方程,得点P的坐标为92,33,所以|PF|=|PA|=92-32=6,故选C.,B,答案,解析,3.已知抛物线C:y2=x,过点P(a,0)的直线与C相交于A,B两点,O为坐标原点,若0,则实数a的取值范围是().A.(-,0)B.(0,1)C.(1,+)D.1,解析设直线方程为x=my+a,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my+a代入抛物线方程得y2-my-a=0,所以y1y2=-a,x1x2=(y1y2)2=a2.由=x1x2+y1y2=a2-a0)上一点,由定义易得|PF|=x0+2;若过焦点的弦AB的端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.,解析由题意可设过抛物线y2=8x的焦点F的直线方程为y=k(x-2).联立2=8x,=(2),得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=42+82.|AB|=16,x1+2+x2+2=16,即42+82=12.k2=1,则x2-12x+4=0,x=642.|AF|0,把t=-4m+4代入式检验,得m2(不合题意).直线DE的方程为x=my+4m+8=m(y+4)+8.直线DE过定点(8,-4).,方法归纳,根据直线与圆锥曲线的位置关系中弦的中点、平面向量、线段的平行与垂直、距离等概念,可建立关于变量的方程来求解.,B,变式训练,答案,解析,过点(2,1)的直线交抛物线y2=52x于A,B两点(异于坐标原点O),若|+|=|-|,则该直线的方程为().A.x+y-3=0B.2x+y-5=0C.2x-y+5=0D.x-2y=0,解析设直线AB的方程为x-2=m(y-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立2=52x,2=(1),得2y2-5my+5m-10=0.则=5(5m2-8m+16)0.(*)又y1+y2=52,y1y2=5102,x1x2=(my1-m+2)(my2-m+2)=m2y1y2+m(2-m)(y1+y2)+(2-m)2=m25102+m(2-m)52+(2-m)2=(2-m)2.,|+|=|-|,=x1x2+y1y2=0,(2-m)2+5102=0,m=2或m=-12,满足(*),但是当m=2,直线方程为x-2y=0时,与抛物线的一个交点为原点,不满足OAOB,应该舍去.该直线的方程为x-2=-12(y-1),即2x+y-5=0.故选B.,能力3,会用方程恒成立的思想解曲线过定点问题,典型例题,解析,【例3】已知椭圆C:22+y2=1(a1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:(x-3)2+(y-1)2=3相切.(1)求椭圆C的方程;(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P,Q两点,且=0,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.,解析(1)由题意知,圆M的圆心为(3,1),半径r=3,A(0,1),F(c,0),直线AF的方程为+y=1,即x+cy-c=0.由直线AF与圆M相切,得|3+|2+1=3,解得c2=2,a2=c2+1=3,故椭圆C的方程为23+y2=1.,(2)由=0知APAQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,故可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-1x+1.联立方程组=+1,23+2=1,整理得(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=61+32,故点P的坐标为61+32,1321+32,同理可得,点Q的坐标为62+3,232+3.所以直线l的斜率为232+31321+3262+361+32=214,所以直线l的方程为y=21462+3+232+3,即y=214x-12.所以直线l过定点0,12.,方法归纳,证明直线过定点,一般有两种方法:(1)特殊探求,一般证明,即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况,找出定点的位置,然后证明该定点在该直线或该曲线上(将定点的坐标代入直线或曲线的方程后等式恒成立).(2)分离参数法,一般可以根据需要选定参数R,结合已知条件求出直线或曲线的方程,分离参数得到等式f1(x,y)2+f2(x,y)+f3(x,y)=0(一般地,fi(x,y)(i=1,2,3)为关于x,y的二元一次关系式),由上述原理可得方程组1(x,y)=0,2(x,y)=0,3(x,y)=0,从而求得该定点.,变式训练,解析,已知抛物线C:x2=2py(p0)过点(2,1),直线l过点P(0,-1)与抛物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A,连接AB.(1)求抛物线C的标准方程.(2)直线AB是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.,解析(1)将点(2,1)代入抛物线的方程x2=2py中,得p=2.所以抛物线C的标准方程为x2=4y.(2)设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),则A(-x1,y1).由=1,2=4y,得x2-4kx+4=0.则=16k2-160,x1