【全程复习方略】湖南省2013版高中数学 5.2等差数列及其前n项和配套课件 理 新人教A版

第二节等差数列及其前n项和,三年12考高考指数:1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.,1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点；2.运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合则以解答题为主.,1.等差数列的定义（1）条件：一个数列从_，每一项与它的前一项的差等于同一个常数.(2)公差：是指常数，一般用字母d表示.(3)定义表达式：_(nN*）.,第2项起,an+1-an=d,【即时应用】判断下列数列是否为等差数列.（请在括号中填写“是”或“否”）（1）数列()（2）数列a，2a，3a，4a，()（3）数列an满足an=an-1+1(n2,nN*)()（4）数列an满足an+1=an+1(n2,nN*)(),【解析】根据等差数列的定义知，（2）（3）是等差数列，（1）不是等差数列，（4）中数列an从第2项起满足等差数列的定义第1项不一定满足，故不是等差数列.答案：(1)否（2）是（3）是（4）否,2.等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=_.,a1+(n-1)d,【即时应用】(1)在等差数列an中，a5=10,a12=31,则数列的通项公式为_.(2)等差数列10，7，4，的第20项为_.,【解析】（1）a5=a1+4d,a12=a1+11d,an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5.(2)由a1=10,d=7-10=-3,n=20,得a20=10+(20-1)(-3)=-47.答案：(1)an=3n-5(2)-47,3.等差中项若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A=_.,【即时应用】(1)是a，A，b成等差数列的_条件.(2)若等差数列an的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五项为_.【解析】(1)若可知2A=a+b,可推出A-a=b-A,所以a,A,b成等差数列；反之，若a,A,b成等差数列，则故是a，A，b成等差数列的充要条件.,(2)由题意知2a+1是a与4a+2的等差中项，即解得a=0,故数列an的前三项依次为0，1，2，则a5=0+41=4.答案：（1）充要（2）4,4.等差数列的前n项和公式（1）已知等差数列an的首项a1和第n项an,则其前n项和公式Sn=_.(2)已知等差数列an的首项a1与公差d，则其前n项和公式Sn=_.,【即时应用】(1)在等差数列an中，a1=5,an=95,n=10,则Sn=_.(2)在等差数列an中，a1=100,d=-2,n=50,则Sn=_.(3)在等差数列an中，d=2,n=15,an=-10,则Sn=_.【解析】(1)(2)=50(100-49)=2550.,(3)由an=a1+(n-1)d得,-10=a1+(15-1)2,解得a1=-38,答案：(1)500(2)2550(3)-360,等差数列的基本运算【方法点睛】1.等差数列运算问题的通法等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程（组）求解.,2.等差数列前n项和公式的应用方法等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项a1和第n项an，则利用该公式经常和等差数列的性质结合应用.如果已知项数n、首项a1和公差d，则利用在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使用.,【例1】(1)（2011广东高考）等差数列an前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=_.(2)（2011湖北高考）九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升.(3)(2011福建高考）已知等差数列an中，a1=1,a3=-3.求数列an的通项公式；若数列an的前k项和Sk=-35，求k的值.,【解题指南】(1)根据S9=S4求公差d，利用ak+a4=0求k.(2)转化为关于a1,d的方程组，先求a1,d,再求a5，或直接转化为关于a5,d的方程组求解.(3)求出公差d后直接写出an，求出Sn，根据Sk=-35求k的值.,【规范解答】(1)S4=S9,由ak+a4=0，得k=10.答案：10,(2)方法一：设自上第一节竹子容量为a1,依次类推，数列an为等差数列.又a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a7+a8+a9=3a1+21d=4.解得,方法二：设自上第一节竹子容量为a1，则第九节容量为a9,且数列an为等差数列.a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=33a5+9d=4联立解得答案：,(3)设等差数列an的公差为d，由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3，解得d=-2.从而an=1+(n-1)(-2)=3-2n.由知an=3-2n,由Sk=-35得2k-k2=-35.即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5.又kN*,故k=7.,【互动探究】本例第(3)题中，若将“a1=1,a3=-3”改为“a1=31,S10=S22”，试求Sn;这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值.,【解析】S10=a1+a2+a10,S22=a1+a2+a22，又S10=S22，a11+a12+a22=0，即a11+a22=2a1+31d=0,又a1=31,d=-2,方法一：由知Sn=32n-n2,当n=16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.方法二：an=a1+(n-1)d=31+(n-1)(-2)=-2n+33，由an0得，当n=16时Sn有最大值，S16=3216-162=256.,【反思感悟】1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程解决问题的思想.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.,【变式备选】在等差数列an中，(1)已知a15=33,a45=153,求a66;(2)已知S8=48,S12=168,求a1和d；(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.【解析】（1）方法一：设首项为a1,公差为d，依题意得解方程组得a66=-23+(66-1)4=237.,方法二：由由an=am+(n-m)d,得a66=a45+（66-45）4=237.(2)解方程组得,(3)a6=10,S5=5,解方程组得a8=a1+7d=-5+73=16;S8=8a1+28d=8(-5)+283=44.,等差数列的判定【方法点睛】等差数列的判定方法（1）定义法：对于n2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数；（2）等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n3,nN*)成立；（3）通项公式法：验证an=pn+q；（4）前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.,【提醒】在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式和前n项和的公式的方法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.,【例2】已知数列an中，(n2,nN*),数列bn满足（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.【解题指南】利用定义法证明数列bn是等差数列；先求bn，再求an,最后利用函数的单调性求最大项和最小项.,【规范解答】(1)数列bn是以为首项，以1为公差的等差数列.,（2）由（1）知设则f(x)在区间上为减函数.当n=3时，an取得最小值-1，当n=4时，an取得最大值3.,【反思感悟】本例中在用定义法证明bn是等差数列时，不论用bn+1-bn还是用bn-bn-1需要考虑运算中是否包含了b2-b1这一运算.这是容易被忽视的问题.,【变式训练】1.已知数列an中，a1=-1,an+1an=an+1-an,则数列an的通项公式为_.【解析】an+1an=an+1-an数列是公差为-1的等差数列，且答案：,2.已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn-1=0(n2),求证：是等差数列.【证明】an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0(n2)，Sn-Sn-1+2SnSn-1=0（n2)，又Sn0，数列是以2为首项，2为公差的等差数列.,等差数列的性质及应用【方法点睛】等差数列的常见性质(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则am+an=ap+aq=2ak.(2)若an,bn都是等差数列，k,mR,数列kan+mbn仍为等差数列.(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍为等差数列(mN*).(4)am=an+(m-n)d(mn,m,nN*),(5)项数为偶数2n的等差数列an:S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).S偶-S奇=nd,(6)项数为奇数（2n+1）的等差数列an:S2n+1=(2n+1)an+1.,【例3】（1）（2011辽宁高考）Sn为等差数列an的前n项和，S2=S6，a4=1,则a5=_.（2）已知等差数列an中，a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20,则前9项之和等于_.（3）设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn=324（n6),求数列an的项数及a9+a10.,【解题指南】（1）根据S2=S6，先求a4+a5的值，再求a5.（2）根据S3,S6-S3,S9-S6成等差数列求解.（3）根据前6项与最后6项的和求出a1+an,再求n及a9+a10.【规范解答】（1）S2=S6，S6-S2=a3+a4+a5+a6=0，2(a4+a5)=0,即a4+a5=0，a5=-a4=-1.答案：-1,（2）设等差数列an的前n项和为Sn,则S3,S6-S3,S9-S6成等差数列，且S3=40，S6-S3=20.S9-S6=20+(-20)=0，S9=S6=60.答案：60,（3）由题意知a1+a2+a6=36an+an-1+an-2+an-5=180+得（a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=6(a1+an)=216，a1+an=36,又18n=324,n=18.a1+a18=36,a9+a10=a1+a18=36.,【互动探究】若本例中第（1）题条件不变，改为求此等差数列的前多少项的和最大，并求出最大值.【解析】在本例中第（1）题已求解出a5=-1,又a4=1,得公差d=-2,S4最大.且S4=1+3+5+7=16.,【反思感悟】1.在等差数列an中，若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak是常用的性质，本例第（1）、（3）题都用到了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯a2+a5=a7的错误.2.本例第（2）题也可先求a1,d,再求a7+a8+a9,但不如用性质简单.,【变式备选】等差数列an的前n项和为Sn，已知S2m-1=38,求m的值.【解析】am-1+am+1=2am,解得am=0或am=2.又a1+a2m-1=2am,am0,am=2,2m-1=19,解得m=10.,【满分指导】等差数列主观题的规范解答【典例】（12分）（2012广州模拟）已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn.（1）求an及Sn；（2）令求数列bn的前n项和Tn.,【解题指南】（1）分析题意，列方程组求解；（2）将an代入bn后，表示出bn是解题关键.【规范解答】（1）设等差数列an的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有解得a1=3,d=2，3分所以an=3+2(n-1)=2n+1,6分,（2）由（1）知an=2n+1，所以9分所以11分即数列bn的前n项和12分,【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.（2011大纲版全国卷）设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=()（A）8（B）7（C）6（D）5【解析】选D.Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2+(2k+1)2=24，k=5.,2.(2012郑州模拟)如果数列an满足a1=2,a2=1,且则这个数列的第10项等于()【解析】选D.数列是首项为公差为的等差数列.,3.（2011天津高考）已知an为等差数列，Sn为其前n项和，nN*,若a3=16,S20=20,则S10的值为_.【解析】由题意知解得答案：110,4.(2011重庆高考）在等差数列an中，a3+a7=37,则a2+a4