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1.3.2秦九韶算法,1、什么是辗转相除法和更相减损术？,2、辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.,复习,秦九韶算法的基本思想,思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，求f(5)的值.,4+3+2+1=10次乘法运算，5次加法运算.,分析：把5代入多项式，若先计算各项的值，然后再相加，那么一共要做：,思考2:另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2x，(x2x)x，(x2x)x)x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时一共做了：,4次乘法运算，5次加法运算.,思考3:有没有更有效的算法呢？利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？,f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,=(anxn-1+an-1xn-2+a2x+a1)x+a0,=(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0,=,=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.,这就是我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作数书九章中提出的算法.,思考4:对于f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？,第一步，计算v1=anx+an-1.,第二步，计算v2=v1x+an-2.,第三步，计算v3=v2x+an-3.,第n步，计算vn=vn-1x+a0.,上述方法称为秦九韶算法.,思考5:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？,vk=vk-1x+an-k(k=1，2，n),解：f(x)=(4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.,v1=45+2=22；,v2=225+3.5=113.5；,v3=113.55-2.6=564.9；,v4=564.95+1.7=2826.2；,v5=2826.25-0.8=14130.2.,所以f(5)=14130.2.,例1已知一个5次多项式为用秦九韶算法求f(5)的值.,练习：阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？,INPUT“x=”；an=0y=0WHLEn=0,INPUT“ai=”；a,v=v*x+a,i=i-1,WEND,PRINTv,END,PRINT“i=”；i,小结,2.计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但评价算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶
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