第二章 信号与系统

21信号概述,在科学研究和生产实际中，经常要对客观存在的物体或物理过程进行观察和测量，以了解和掌握表征这些物体或物理过程本质特性的信息。为了达到观测事物某一本质问题的目的，人们采用各种技术手段来表达所需要的信息以提供人们观测和分析，这种对信息的表达形式称为信号。测量系统根据被测量对象的信息特征，要接收和处理不同种类的信号。机械工程信号如力、速度、加速度、位移和温度等都是非电量信号，这类信号需要通过测量系统的传感器元件转换成电信号，才能被测量系统处理和记录。工程测量技术是从客观现象中获取有关信息的技术过程，而信号就是有关信息的载体。因此测量系统的功用就是通过调试信号的检测来获取工程信息。使用测量系统进行某一参量测量的整个过程都是信号的流程，它包括信号的获取、信号加工和处理、信号显示或记录。所以，深人了解信号的各种特性对于明确测量系统及其各环节的要求以及提高测量质量具有重要意义。,第二章测量系统分析,2.1.1信息与信号,21信号概述,工程上在线记录下来的表征系统物理现象的信号包含反映被测对象状态及特性的有用信息，它是我们认识被测对象内在规律、研究其相互关系以及预测未来发展的依据。但是通常从机械系统上直接测量所记录的信号比较复杂，直观上不易识别，因此必须对原动信号进行分析心对机械系统的动态变化和动态特征具有更加深人的认识。来自工程上的动态信号类型多样，为了使测量信号能正确地反映被测对象特性，必须对不同工况以及不同时间的信号具有深人的了解，以便正确判断信号的类型和采取相应的测量方法和分析方法。信号可以描述范围极为广泛的物理现象，它所蕴含的信息总是寄寓在某种形式的波形之中。例如人类的声道系统所产生的话音信号就是一种声压高低起伏变形的声波。,2测量系统分析,2.1.1信息与信号,21信号概述,在数学上，信号可以表示为一个或多个变量的函数，称信号函数。根据信号的特性，信号可分为连续信号和离散信号两大类。连续信号是指信号函数的变量为连续的信号，离散信号是指信号函数的变量为离散变化的信号。连续性信号又可以分为两类；一类是可以用数学关系式描述其确定变化规律的确定性信号，另一类是其变化规律无法用数学关系式确定描述的随机信号。确定性信号分为周期信号和非周期信号，随机信号分为平稳随机信号和非平稳随机信号。上述信号的分类和种类如图2-1所示。,2测量系统分析,212信号的分类与描述,21信号概述,2测量系统分析,212信号的分类与描述,21信号概述,(1)周期信号周期信号的幅值是呈周期性重复变化的，并且这种变化的规律可以用精确的数学关系式来进行描述。例如，单自由度振动系统作无阻尼自由振动时(图22)，其位移x(t)即是一个确定性的周期信号，可用数学表达式来描述振动质量M在任意时刻t的精确位置为,2测量系统分析,212信号的分类与描述,式中：为初始幅值；M为质量；为初始相位角；t为时间；K为弹簧刚度。分析式(2-1)可知，当：t=t+nT时，下述关系式成立：x(t)=x(t+nT),（式2-1）,21信号概述,2测量系统分析,212信号的分类与描述,n为任意整数。即x(t)是一个周期重复的信号，T为周期，f=1/T为频率。周期信号常用均方值、均方根值、平均功率和相关函数来表示。,(2)非周期信号非用期信号是一种信号取值时间有限的信号，其信号波形可以用确切的数学表达式描述。在机械工程测量和物理测量上，很多现象都可以看做是非周期信号。常见的非周期信号包括单位阶跃信号、单位脉冲信号和矩形脉冲信号等。单位阶跃信号的数学表达式为：,21信号概述,2测量系统分析,212信号的分类与描述,在物理学和控制工程中，单位脉冲信号简称为函数，其信号波形如图2-4所示。在工程调试中，常用单位脉冲响应来表达系统的动态特性。矩形脉冲信号的数学表达式为,21信号概述,2测量系统分析,212信号的分类与描述,其信号波形如图2-3所示。在工程上，对某一系统在某时刻的加载或卸载所反映出的信号即是阶跃信号。利用单伦阶跃信号可分析测量系统的动态特性。,单位脉冲信号的数学表达式为：,21信号概述,2测量系统分析,212信号的分类与描述,其信号波形如图2-5所示。在实际应用中，矩形脉冲信号常用来对其他信号进行加权处理。(3)随机信号在现代测量技术领域，存在大量非确定性的随机信号，其特点是信号在各瞬时的取值(幅值、相位、频率)无法预先确定，并且不存在取值的重复性，如图2-6所示。随机信号不可能用严格的数学公式来描述，只能用统计学方法中的统计特征参数来描述。根据统计特征参数是否为时间的函数，随机信号分为特征参数不随时间变化的平稳随机函数和特征参数随时间变化的非平稳随机函数。在平稳随机过程,中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征参数等于该过程的集合平均统计特征参数，这样的平稳随机过程称为各态历经随机过程。各态历经过程中的随机信号称为各态历经随机信号，否则称为非各态历经随机信号。在平稳随机过程中，各态历经随机信号的一个样本能够表现出整个随机过程各种状态都经历的特征，具有充分的代表性。因此，只要测量了一个样本函数就可以代表整个随机过程，在工程实际测量中，通常把随机信号按各态历经过程来处理。,2测量系统分析,21信号概述,212信号的分类与描述,21信号概述,2测量系统分析,212信号的分类与描述,21信号概述,2测量系统分析,212信号的分类与描述,随机过程常用均值、方差、相关函数等来描述其基本统计特征。描述各态历经随机信号的主要统计参数有均方值、概率密度函数、自相关函数和功率谱密度函数。,22测量系统的组成及基本特性,2测量系统分析,2.2.1测量系统的组成特点,测量系统在组成特点上具有广义性。所谓“测量系统”，通常是指出数个环节按一定数量关系组成能够完成人们指定测量任务的整体。有关测量系统的组成在本书绪论中已经涉及。这里应该注意的是，由于测量的目的和要求不同、其含义的伸缩性是很大的，有时测量系统可能是由庞杂的多个环节组成，有时它又可能仅由功能单一的测量装置组成。因此，本章中所称的“测量系统”既包含各复杂装置构成的系统，也包含系统的各组成环节，例如传感器、放大器、中间变换电路、记录器，甚至一个很简单的RC滤波单元等等。,22测量系统的组成及基本特性,2测量系统分析,2.2.1测量系统的组成特点,这样，一个典型的测量系统可由图1-1所示。通常把测量系统的输入信号称为激励，测量系统对这一作用的反应即输出信号或测量结果称为响应。测量系统实际上可认为是一个信息通道，理想的信息通道应不失真地传输测量的信号，以获得准确的测量结果。从研究测量系统的角度来看，可把图1-1简化为只有输入量x(t)、系统的传输特性h(t)和输出量y(t)三者之间数学关系的模型，如图2-7所示。显然，当系统的特性已知时，通过对输出信号的观察与分析，就可以推断出输入信号或被测量；同样已知系统特性和输入，就可以推断和估计系统的输出量；当输入信号已知时，通过对输出信号的观察与分析，也可以推断出测量系统的特性。,22测量系统的组成及基本特性,2测量系统分析,2.2.1测量系统的组成特点,22测量系统的组成及基本特性,2测量系统分析,2.2.2测量系统的数学模型,理想的测量系统应该具有单位的、确定的输入与输出关系。显然，两者之间呈线性关系为最佳。一些实际测量装置无法在较大工作范围内满足这种要求，只能在较小工作范围内和一定误差范围内有条件地满足这项要求。当系统的输入x(t)和输出y(t)之间的关系可用常系数线性微分方程,22测量系统的组成及基本特性,2测量系统分析,2.2.2测量系统的数学模型,来描述时，则称该系统为时不变线性系统，也称定常线性系统，式中t为时间自变星。从数学上来看，这种系统的系数，.,和,，.，,均为常数，它们既不随时间变化，也不是自变量x、因变量y及它们各阶导数的函数。式(25)就是动态测量系统及其功能组件的数学模型。如果以x(t)-y(t)表示上述系统的输入、输出的对应关系，则时不变线性系统具有以下一些主要性质：,22测量系统的组成及基本特性,2测量系统分析,2.2.2测量系统的数学模型,22测量系统的组成及基本特性,2测量系统分析,2.2.2测量系统的数学模型,22测量系统的组成及基本特性,2测量系统分析,2.2.2测量系统的数学模型,线性系统的这些特性，特别是叠加性和频率保持性在动态测量中是十分重要的。根据叠加性质，当一个测量系统有N个激励同时作用时，它的响应等于这n个激励单独作用的响应之和，即各个输入所引起的输出是互不影响的。这样在分析定常线性系统时，可将一个复杂的激励信号分解成若干个简单的信号，譬如利用傅里叶变换，将复杂信号分解成一系列谐波信号，或者分解成若干个小的脉冲激励，然后求出这些分量激励的响应之和。根据频率保持特性、若已知系统是线性的，其插入信号的频率也已知，那么，在所测得的输出信号中，只有与激励频率相同的颇率才可能是由该激励所引起的响应。这特性在动不平衡的检测和稳态正弦激振的试验中部是很有用的。,22测量系统的组成及基本特性,2测量系统分析,2.2.2测量系统的数学模型,按被测量过程的状态，可分成静态和动态两种，测量系统的基本特性也可相应地分成静态特性和动态特性。一般地，当被测量x不随时问变化(dx/dt0)或随时间变化相当缓慢时，可按静态测量处理，当被测量x随时间变化时，则必须按动态测量处理。应该说明的是，测量系统的静态特性对动态特性是有影响的，为了使问题简单，通常将两者分开单独处理。下面将按静态特性和动态特性来讨论测量系统的基本特性。,223测试系统的静态特性测试系统的静态特性是指被测信号为定值成变化十分缓慢时测试装置输出与输入的关系。当输入信号为静态时，式(2-5)变为,式中、均为常数。,式(2-6)表达了理想状态下作为时不变线性系统的测量装置应有的输入输出关系即线性关系。在实践中这种线性关系是采用“最小二乘法”拟合标难直线(拟合直线)来获得的。因此，用实验方法确定出标难直线和定度曲线标定曲线(标定曲线)，比较这两种直线，即可计算出各项静态特性指标(图2-8)。描述测试系统静态特性的指标主要有灵敏度、非线性度和回程误差三项。(1)灵敏度在稳态情况下，系统的输出信号变化量与输入信号变化量之比称为灵敏度，表达式为,(2-6),(2-7),从式(2-6)可得,(2-8),当输出信号与输入信号量纲相同时，常用“放大倍数”或“增益”来代替灵敏度。由式(2-8)可知，灵敏系数为常数是线性系统的特征。灵敏度的高低取决于被测量的信号。要提高测试系统的灵敏度一般并不困,难，但是灵敏度愈高就愈易引入外界干扰和噪声，使测试系统的稳定性变差测量的范围也会变窄。(2)非线性度非线性度是指系统的输出、输入之间是否能像理想系统那样保持线性关系的一种度量。作为性能指标，它以定度曲线与拟合直线的最大偏差B与标称输出范围(全量程)A的百分比来表示(见图2-8)，即,(2-9),设计测试系统时，为了达到线性要求可以把装置标定曲线中较理想的直线段取为标称输出范围(工作范围)，也可以对称定曲线作线性补偿(采用电路或软件补偿均可)。当测试系统的输入、输出为非线件关系时在输入量变化范围很小的条件下，可认为其满足线性耍求，这也是有些装置对工作范围要求很严格的原因之一。(3)回程误差回程误差也称滞后量，它反映的是当测试系统输入量由小到大或由大到小变化时所得输出量不一致的程度(图2-9)。,(1)描述测试系统动态特性的几个重要函数测试系统的动态特性是指测试系统对随时间变化的输入量的响应特性。测试系统动态特性的好坏不仅与测试系统的结构有关，也与输入信号有关。所以，描述测试系统的动态特性实质上就是建立输入信号、输出信号和测试装置结构参数三者之间的关系。即在把测试系统这一物理系统抽象成数学模型，而不管其输入输出量的物理特征(无论是机械量、电量等)的基础上，分析输入与响应之间的关系。当测试系统被视为线性时不变系统时，其数学模型表达如式(2-5)。解此微分方程，即可获得系统的动态特,224测试系统的动态特性,(2-10),回程误差产生的原因是多方面的。例如仪器仪表中磁性材料的磁滞结构材料受力变形的滞后以及机件结构间的摩擦及游隙等都能产生回程误差。,作为技术指标，回程误差用同一输入且下所得滞后偏差最大值与测试系统标称输出范围A之比的百分数来表示，即,传递函数。设x(s)和y(s)分别为输入x(t)和输出y(t)的拉普拉斯变换，若系统初始条件为零，即在激励接入之前(t)，其输入量、输出量及各阶导数均为零，对式(2-5)取拉普拉斯变换，得,(2-11),性。但因是在时城内以微分方程的形式表达系统的动态特性，在使用时有许多不便，故常通过拉普拉斯变换建立起相应的传递函数，并通过傅里叶变换建立起相应的频率响应函数，来方便地描述测试系统或装置的动态特性。,将输入量和输出量两者的拉普拉斯变换之比定义为传递函数H(s)，即,(2-12),式中s为复变量,H(s)以代数式的形式表征了系统的传输、转换特性，显见，它是在复频域中表达测试系统的动态特性的。传递函数有以下特点：(a)H(s)与输入x(t)无关，不因输入的不同而异，它只反映系统本身的特性。H(s)所描述的系统对任意输入x(t)，都能确定的给出相应的输出y(t)。(b)H(s)是将实际的物理系统抽象成式(2-5)的数学模型后，经拉苦拉斯变换得到的，它只反映系统的传输、转换和响应特征，而和具体的物理结构无关。也就是说，同一形式的传递函数可以表征只有相同传输特性的不同的物理系统。例如液柱式温度计和简单的Rc滤波器同属一阶系统，具有形式相似的传递函数，而一个是热力学系统，另一个却是电学系统。由于在实际的物理系统中输入x(t)和输出y(t)具有不同的量纲，所以系数和的量纲也应有所不同。(c)H(s)的分母通常取决于系统的结构。分子则与输入点的位置、激励的方式、被测量以及测点分布情况有关。,频率响应函数。频率响应函数是在频率域中描述系统特性的。对式(2-5)根据傅里叶变换的微分定理作傅里叶变换，可得,(2-13),将输出和输入的傅里叶变换之比定义为系统的频率响应函数，记作，或可简写成，其表达式为,(2-14),如果以代入式(2-13)，也可以得到式(2-14)、这说明频率响应函数是传递函数的特例。由于傅里叶变换描述的是信号中的频率分量，就是对输入信号中各频率分量的响应。因此，所反映的是系统在正弦迎信号激励下的稳态输出与输入的关系，所以又称为正弦传递函数。,在对系统进行分析时，传递函数和频率响应函数都可采用，但它们各自的定义不同，用以描述同一系统时，其响应是不同的。当输入正弦型激励时是由定义在到的输出和输入函数的博里叶变换之后得到的，它的可上溯至，后将延续到。因此，在观察时刻，瞬态响应早就衰减为零。它表达了系统对不向频率正强型激励的稳态传输特性。而根据传递丙数的定义，激励是在观察时刻开始(t0)时才加上去的，在激励开始店的一段时间里，系统有一段过渡过程，在经过一段时间后，系统的瞬态挖出趋向于零，剩下的稳态输出则与频率响应函数所销述的系统输出相同。使用传递函数可以反映系统输出的全过程。,与传递函数相比较，频率响应函数具有物理概念明确、容易通过实验来建立、利用它与传递函数的关系容易求出传递函数等优点。在测试领域中，为了,能准确地反映被测信号和获得较好的测试结果，常常努力使测试工作在系统的响应达到稳态阶段后进行，故在调试技术中常用频率响应函数来表达系统的动态待件。而在控制工程领域中，由于要研究各种典型扰动所引起的响应，要观察从创始时刻开始到结束的全过程，即包括瞬态和稳态响应的全过程，故常用传递函数研究系统的特性。,是一复数，若用虚部和实部来表示，可记作,(2-15),若以复指数形式表示，可写成,(2-16),其中，为的模，并且,(2-17),为的相角，且,(2-18),它们分别表示定常线性系统在简谐信号的激励下，其稳态输出信号与输入信号的幅值比即该系统的幅频特性；稳态输出与输入的相位差即该系统的相频特性。两者统称为系统的频率特性。,将和分别作图，即得系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。实际作图时，常对自变量取对数标尺，幅值坐标取分贝数(dB)，由此所作的和曲线分别称为对数幅额特性相对数相额特性，总称为伯德(Bode)图。如果将的虚部和实部分别作为纵横坐标，画出曲线并分别在曲线上注明相应的频率，则所得的图像称为奈奎期特(NYQUIST)图。,脉冲响应函数。已知测试系统的传递函数为：,当系统的输入为单位脉冲时，因单位脉冲的拉普拉斯变换等于1所以，系统的输出为的拉普拉斯变换必将等于H(s)，即，记为h(t)。h(t)常被称为系统或装置的脉冲响应函数或权函数。脉冲响应函数是系统特性的时域描述函数。,综上所述，系统特性的时域、领域和复领域可分别用脉冲响应函数h(t)、频率响应函数和传递函数来描述。三者存在着一一对应的关系。h(t)和是一对拉普拉斯变换对；h(t)和是对傅里叶变换对。,(2)一阶、二阶系统的动态响应特性阶系统的频率响应特性。在工程中，典型的一阶系统如图2-10所示,图2-10(a)是一个忽略了质量的单自由度系统的数学模型。若以x(t)表示作用于系统上的外力，以y(t)表示系统的位移即输出，该系统的运动方程为,(2-19),式中：c为系统的阻尼系数，K为系统的弹簧刚度。图2-10(b)的输出电压与电路的输入电压、电阻R、电容量c的关系式为,(2-20),图2-10(c)的热平衡方程式为,(2-21),式中：x(t)为随时间变化的被测环境温度即输入；y(t)为温度计示值温度即输出；c为温度计温包的热容；R为传导介质的热阻。,上述3个系统分别属于力学、电学和传热学范畴的装置，其结构和工作原理,不同，但它们均有相似的一阶系统微分方程形式。可用下面的标准形式表示,(2-22),式中为时间常数s。对上式作拉普拉斯变换，可得一阶系统的传递函数为：,(2-23),其频率响应函数为,(2-24),其幅频特性和相频特性表达式分别为,(2-25),(2-26),一阶系统的幅频特性和相频特性曲线如图2-11所示,综合3个一阶系统的特性图，可得出一阶系统的特点：(a)从图可看出，当时输出幅值几乎与成反比相位滞后90。只有当时，幅频特性才接近于1。故一阶系统只用于缓态低频信号的测量。(b)一阶系统的伯德图可以用一条折线来近似描述。这条折线的单自由度在段为的水平线，在段为-20dB/10倍频程的条斜线，点称为转折频率在该点折线偏离实际曲线的误差最大，位为-3dB。其中，所谓-20dB/10倍频程是指频率每增加l0倍，下降20dB，如在图2-12(a)中在之间。斜线通过纵坐标相差20dB的两点。一阶系统的奈奎期特图如图2-13所示。,二阶系统的频率响应特性。如图2-l4所示的弹簧-质虽-阻尼和RCL电路是两个典型的二阶系统。对图2-14(a)所示的具商质量m、弹簧刚度K和阻尼系数C的单自由度振动系统来说，若x(t)为作用于系统的外力，y(t)为系统产生的位移响应(即输出)，该系统的运动方程为,(2-27),对于图2-14(b)所示的系统，其电路参数为电阻R、电感L和电容C，若u(t)为输入电压v(t)为输出电压，则建立的微分方程为,(2-28),上述两例输出输入微分方程均为二阶，所以其物理系统为二阶系统。可以归一写成如下形式：,式中：为系统的固有频率；为系统的阻尼比，S为灵敏度系数，取决于输出输入的量纲。对于因2-14(b)所示的振动系统，,对于图2-14(b)所示的RLC系统，,对式(2-29)作拉普拉斯变换，整理后得到二阶系统的传递函数为,(2-29),(2-30),其频率响应函数为,(2-31),二阶系统的幅频特性和相频特性表达式分别为,(2-32),(2-33),令Sl后，相应的幅频特性、相频特性曲线见图2-15。图2-l6和图2-l7分别为相应的伯德图和奈奎斯特图。,二阶系统具有如下主要特点：(a)从二阶系统的频率响应函数看出当时，；当时，所以其所表达的是一低通环节。(b)影响二阶系统动态特性的参数是固有频率和阻尼比。在通常使用的频率范围内，又以固有频率的影响最为重要。所以，二阶系统的选择应考虑所测信号的频率范围。当时，系统将发生共振，若系统较小，则系统的输出幅值会急剧增大，作为实用装置，测试中应避开此种情况。但因此时无论多大，输出相角总是滞后90。(c)二阶系统的伯德图同样可用折线来近似。在频段，可用,0dB水平线近似；在频段可用斜率为-40dB/10倍频程的直线来近似；在频段，因共振现象，近似直线偏离实际曲线较大。,(d)从相频特性曲线看，在频段，相角的滞后量很小，并且与频率呈近似线性增加。在频段，相角滞后约为180.。即输出信号几乎与输人信号反相。在时，相角滞后量变化急剧，且越小，相角变化越急，当很小时，相角滞后接近180。(e)二阶系统是一个振荡环节，当该系统用做控制系统使用时，系统受到扰动后，要求其振荡的超调量尽可能小、且在较短的时间内趋向稳定。适应这一要求的最佳阻尼比应在0.7左右。当系统用做测试系统使用时，总是希望系统能在很宽的频率范围内其幅频特性和相频特性所引起的误差最小，为此，首光要选样好系统的固有频率，如图2-15所示的特性曲线。取较为合适，其次是阻尼比对于测试系统一般取左右为好。,(3)系统对典型输入的响应特性系统对任意输人的响应。工程控制理论指出，系统对任意输入x(t)的响应y(t)是输入信号x(t)与该系统的单位脉冲响应信号h(t)的卷积，即,二阶系统对单位阶跃输入的响应特性。由于单位阶跃函数可以看戊是单位脉冲函数的积分，所以单位阶跃输入作用下的输出就是系统脉冲响应的积分。对系统的突加载荷和突卸载荷均可视为施加阶跃输入因施加这种输入简单品行并且能揭示测试系统的动态特性，故常采用之。阶和二阶系统在单位阶跃输入(图2-18),在时域内作两朗数的卷积计算处理是很冗繁的，但可利用傅里叶变换和拉普拉斯变换的卷积定理将时域内的卷积计算转化成频城里的乘法运算、再进行相应逆变换得到，从而使计算工作得以简化。,(2-35),(2-36),的作用下其响应如图2-19和图2-20所示。,对于一阶系统：,(2-37),(2-38),对于二阶系统：,其中：,从理论上讲，一阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差为零，系统的初始上升斜率为。在时y(t)0.632；在时y(t)0.982；在时，y(t)0.993。理论上系统的响应当t趋向于无穷大时达到稳态。一阶装置的时间常数越小越好。,二阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差也为零。但系统的响应在很大程度上取决于阻尼比和固有频率。系统的固有频率是由系统购主要结构参数决定的。越高，系统的响应越快。阻尼比直接影响超调量和振荡次数。当时，超调最大，为100%，且持续振荡达不到稳定。当时系统转化等同于两个一阶环节的串联，此时系统的响应不发生振荡但也需定时间才能达到稳态。如果阻尼比选在0.60.8之间、则系统会以约的较短时间进入与稳态值相差的范围内。这也是很多测量装置的阻尼比取在这一区间内的原因之一。,225测试系统的不失真条件对于一测试系统，若其输出y(t)与输入x(t)之间满足下列关系,(2-39),式中：、均为常数，则认为测试系统具有不失真测量的特性。式(2-39)表明，此系统输出信号幅值是输入信号幅值的