第三章 概率与概率分布

学习目标,了解随机事件的概念了解概率运算的法则理解随机变量及其概率分布的概念了解二项分布、泊松分布掌握正态分布的主要特征和应用理解大数定律和中心极限定理的重要意义,第三章概率与概率分布,3.1随机事件及其概率,一、随机试验与随机事件二、随机事件的概率三、概率的运算法则,一、随机试验与随机事件,必然现象与随机现象必然现象（确定性现象）变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果这种关系通常可以用公式或定律来表示随机现象（偶然现象、不确定现象）在一定条件下可能发生也可能不发生的现象个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定大量观察的结果会呈现出某种规律性（随机性中寓含着规律性）统计规律性,随机试验,严格意义上的随机试验是指对试验单元进行一次观察或测量的过程。严格意义上的随机试验满足三个条件：试验可以在系统条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。,随机事件（事件）,随机事件（简称事件）随机试验的每一个可能结果常用大写英文字母A、B、来表示基本事件（样本点）不可能再分成为两个或更多事件的事件样本空间（）基本事件的全体（全集）,随机事件（续）,复合事件由某些基本事件组合而成的事件样本空间中的子集随机事件的两种特例必然事件在一定条件下，每次试验都必然发生的事件只有样本空间才是必然事件不可能事件在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件不可能事件是一个空集（）,二、随机事件的概率,概率用来度量随机事件发生的可能性大小的数值必然事件的概率为1，表示为P()=1不可能事件发生的概率是零，P()=0随机事件A发生的概率介于0和1之间，00（i=1、2、.、n）对任一事件B，它总是与完备事件组A1、A2、An之一同时发生，则有求P(B)的全概率公式：,例3：假设有一道四选一的选择题，某学生知道正确答案的可能性为2/3，他不知道正确答案时猜对的概率是1/4。试问该生做出正确答案的概率？解：设A知道正确答案，B选择正确。“选择正确”包括：“知道正确答案而选择正确”（即AB）“不知道正确答案但选择正确”（即）P(B)（2/3）1（1/3）（1/4）3/4,全概率公式贝叶斯公式,全概率公式的直观意义：每一个Ai的发生都可能导致B出现，每一个Ai导致B发生的概率为P(AiB)，因此作为结果的事件B发生的概率是各个“原因”Ai引发的概率的总和相反，在观察到事件B已经发生的条件下，确定导致B发生的各个原因Ai的概率贝叶斯公式（逆概率公式）（后验概率公式）,贝叶斯公式,若A1、A2、An为完备事件组，则对于任意随机事件B，有：,计算事件Ai在给定B条件下的条件概率公式。公式中，P(Ai)称为事件Ai的先验概率P(Ai|B)称为事件Ai的后验概率,3.2随机变量及其概率分布,一、随机变量的概念二、随机变量的概率分布三、随机变量的数字特征四、常见的离散型概率分布五、常见的连续型概率分布,一、随机变量的概念,随机变量表示随机试验结果的变量取值是随机的，事先不能确定取哪一个值一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如X、Y、Z.来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z来表示根据取值特点的不同，可分为：离散型随机变量取值可以一一列举连续型随机变量取值不能一一列举,1.离散型随机变量的概率分布,X的概率分布X的有限个可能取值为xi与其概率pi（i=1，2，3，n）之间的对应关系。概率分布具有如下两个基本性质：（1）pi0，i=1,2,n；（2）,二、随机变量的概率分布,离散型概率分布的表示：,概率函数：P(X=xi)=pi（i=1，2，3，n）分布列：分布图,2.连续型随机变量的概率密度,连续型随机变量的概率分布只能表示为：数学函数概率密度函数f(x)和分布函数F(x)图形概率密度曲线和分布函数曲线概率密度函数f(x)的函数值不是概率。连续型随机变量取某个特定值的概率等于0只能计算随机变量落在一定区间内的概率由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示,概率密度f(x)的性质,（1）f(x)0。概率密度是非负函数。（2）,所有区域上取值的概率总和为1。,随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：,3.分布函数,适用于两类随机变量概率分布的描述分布函数的定义：F(x)P(Xx),连续型随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布函数F(x),分布函数与概率密度,三、随机变量的数字特征1.随机变量的数学期望,又称均值描述一个随机变量所有可能取值的平均水平。离散型随机变量X的数学期望：相当于所有可能取值以概率为权数的平均值连续型随机变量X的数学期望：,数学期望的主要数学性质,若k是一常数，则E(k)kE(kX)kE(X)对于任意两个随机变量X、Y，有E(X+Y)E(X)E(Y)若两个随机变量X、Y相互独立，则E(XY)E(X)E(Y),2.随机变量的方差和标准差,方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(x)或2离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：,方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。方差的主要数学性质：若k是一常数，则D(k)0；D(kX)k2D(X)若两个随机变量X、Y相互独立，则D(X+Y)D(X)D(Y),例4：试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。解：,0.6,3.两个随机变量的协方差和相关系数,协方差的定义,如果X,Y独立（不相关），则Cov(X,Y)0即E(XY)E(X)E(Y)协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性协方差受两个变量本身量纲的影响。,相关系数,相关系数具有如下的性质：相关系数是一个无量纲的值0|1当=0，两个变量不相关（不存在线性相关）当|=1，两个变量完全线性相关,四、常见离散型随机变量的概率分布1.二项分布,n重贝努里试验：一次试验只有两种可能结果用“成功”代表所关心的结果，相反的结果为“失败”每次试验中“成功”的概率都是pn次试验相互独立。,在n重贝努里试验中，“成功”的次数X服从参数为n、p的二项分布，记为XB(n,p)二项分布的概率分布为：,二项分布的数学期望和方差：,n1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）随着n的无限增大，二项分布趋近于正态分布。,1837年法国数学家泊松首次提出。通常用来描述一指定时间范围内，或者一定的长度、体积、面积内，某一事件出现次数的分布。是作为小概率事件发生次数X的概率分布模型。泊松分布的例子：一段时间内某繁忙十字路口发生交通事故的次数一定时间段内某电话交换台接到的电话呼叫次数一匹布上发现瑕点的个数显微镜下在某区域内发现的微生物数,2.泊松分布,服从泊松分布的现象主要具有以下几个共同特点：1.在任意两个很小的时间或空间内时间发生的次数是相互独立的。2.各区间内时间发生次数只与区间长度成比例，与区间七点无关。3.在一段充分小的区间内，事件发生两次或两次以上的概率可以忽略不计，也就是说，在一段充分小的区间内事件至多出现一次。,X服从泊松分布，记为XP(）:,为给定时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数x表示给定时间间隔、长度、面积、体积内成功的次数E(X)=D(X)=当很小时，泊松分布呈偏态，并随着增大而趋于对称当n很大而p很小时，二项分布近似服从参数np的泊松分布,3.超几何分布,二项分布适合于独立重复试验，如果对总体采用不重复抽样，那么样本中“成功”的次数则服从超几何分布。记为XH(n,N,M)（N为总体单位数、M为具有某种特征的单位数）,数学期望和方差:,五、常见的连续型概率分布,1.均匀分布X只在一有限区间a，b上取值且概率密度是一个常数其概率密度为：,X落在子区间c，d内的概率与该子区间的长度成正比，与具体位置无关,P(cXd),2.正态分布,XN(、2)，其概率密度为：,正态分布随机变量的均值和标准差均值E(X)=方差D(X)=2,-0，有：,它表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率m/n依概率收敛于事件A发生的概率阐明了频率具有稳定性，提供了用频率估计概率的理论依据。,二、中心极限定理：阐述大量随机变量之和分布趋近于正态分布的一系列定理的总称。1.独立同分布的中心极限定理,（也称列维一林德伯格定理）设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列,且存在有限的和方差2（i=1,2,），当n时，,或,上述定理表明独立同分布的随机变量序列不管服从什么分布，其n项总和的分布趋近于正态分布。可得出如下结论：不论总体服从何种分布，只要其数学期望和方差存在，对这一总体进行重复抽样时，当样本量n充分大，就趋于正态分布。该定理为均值的抽样推断奠定了理论基础。,2.棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,设随机变量X服从二项分布B(n,p)的，那么当n时，X服从均值为