回顾与思考 (7)

多边形的内角和,学习目标,1.多边形的定义,2.正多边形的定义,3.多边形的对角线,4.多边形的内角和,试一试,三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但我们习惯称为三角形）,你能说出三角形的定义吗？,三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形,既然我们已经知道什么叫三角形，你能根据三角形的定义，说出什么叫四边形吗？,四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD,什么叫五边形？,五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE,一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形,那么多边形的定义呢？,下面所示的左图也是多边形，但不在我们现在研究的范围内。,注意我们现在研究的是如右图所示的多边形，也就是所谓的凸多边形,有什么不同？,凹多边形,凸多边形,1.如图9.2.1所示，A、D、C、ABC是四边形ABCD的四个内角,3.CBE和ABF都是与ABC相邻的外角，两者互为对顶角，四边形有八个外角。,既然三角形有三个内角、三条边，六个外角，那么四边形有几个内角？几条边？几个外角呢？,2.AB，BC，CD，DA是四边形ABCD的四条边,那么五边形有几个内角？几条边？几个外角呢？,那么六边形有几个内角？几条边？几个外角呢？,那么n边形有几个内角？几条边？几个外角呢？,六边形有6个内角，6条边，12个外角,五边形有5个内角，5条边，10个外角,n边形有n个内角，n条边，2n个外角,请大家细心地填一填，多边形的内角，边，外角三者的关系表，你能发现什么规律？,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,n,n,6,8,10,12,14,2n,三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这样的三角形就叫做正三角形。,如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形。如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等。,正三角形,正方形,正五边形,正六边形,正八边形,(或正三边形),(或正四边形),连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.,线段AC是四边形ABCD的一条对角线；多边形的对角线用虚线表示。,试一试,请大家思考：五边形ABCDE共有几条对角线呢？,五边形ABCDE共有5条对角线。,请大家思考：六边形ABCDEF共有几条对角线呢？,试一试,六边形ABCDEF共有9条对角线。,有没有什么规律呢？,请问：四边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？,请问：五边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？,请问：六边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？,请问：N边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？,1,2,3,N-3,从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，(除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n-3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有条对角线。大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；当n=5时，有5条：当n=6时，有9条，因此，我们可以得到多边形的对角线的条数的计算公式：,我们已经知道一个三角形的内角和等于180，那么四边形的内角和等于多少呢？五边形、六边形呢？由此，n边形的内角和等于多少呢？,我们学习数学的基本思想什么？,化未知为已知,那么我们能不能利用三角形的内角和，来求出四边形的内角和，以及五边形、六边形，n边形的内角和？,探索新知,请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形转化为三角形？,3,4,5,n-2,540,720,900,180(n-2),1.从一个顶点出发的对角线有(n-3)条,由此，我们就可以得出:,n边形的内角和为_,(n-2)180,它有什么作用呢?,1.知道多边形的边数,可以求出多边形的度数.,2.知道多边形的度数,可以求出多边形的边数.,例1.求八边形的内角和的度数,解（n2）180=（82）180=1080,分析:n边形的内角和公式为(n-2)180,现在知道这个多边形的边数是，代入这个公式既可求出.,例2.已知多边形的内角和的度数为900，则这个多边形的边数为_,解（n2）180=900（n2）=900/180（n2）=5n=5+2n=7,7,其实，就这么简单!,例3.已知在一个十边形中，九个内角的和的度数是1290，求这个十边形的另一个内角的度数.,解:（102）180=1440则十边形的另一个内角的度数为1440-1290=150,先求出十边形的内角和再减去1290,就可以得出.,那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢?,因为正多边形的每个角相等,所以知道正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数.,（n2）180/n,例4.正五边形的每一个内角等于_.,例5.如果一个正多边形的一个内角等于120,则这个多边形的边数是_,解:（n2）180/n=（52）180/5=540/5=108,解:120n=（n2）180120n=n180-36060n=360n=6,探索新知,请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形转化为三角形？,3,4,5,6,7,n,180,360,540,720,900,180n-360,2.从多边形内一个点出发,今天你学到了什么知识？你能用自己的话说说吗？,本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)180。这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握。在转化过程中，我们还发现多边形的对角线的条数的计算公式n(n-3)/2。以及正多边形的特征。希望同学们在以后学习生活中勤思考，多练习！灵活运用所学知识解题,练习1.如果一个正多边形的一个内角等于150,则这个多边形的边数是_,A.12B.9C.8D.7,A,练习2.如果一个多边形的边数增加1,则这个多边形的内角和_,增加180,练习3.正五边