概率论与数理统计1.1+1.2

概率论与数理统计B,1、“肮脏的”出身帕斯卡与费马1654年关于德莫尔提出的“赌金分配”问题的通信.,概率论简史,下赌注问题：17世纪，法国的一名赌徒ChevaliesDemere在赌博中感觉到：如果上抛一对骰子25次，则把赌注押到“至少出现一次双六”比把赌注押到“完全不出现双六”更有利，但他本人找不出原因，后来请当时著名的数学家Pascal解决了这一问题从此，奠定了概率研究的开始,2、分析概率拉普拉斯1812年出版解析概率论，开始用微积分工具研究概率.,3、现代概率柯尔莫哥洛夫1933年发表概率论基本概念，将概率论定义在三个公理上，促进了概率论的快速发展.,参考书目,1、概率论与数理统计教程，茆诗松，高等教育出版社2、概率论与数理统计，浙江大学盛骤，高等教育出版社3、概率论与数理统计典型题分析解集，赵选民，西北工业大学出版社,1.1预备知识,1、乘法原理,一、乘法原理排列及组合,例1.从广州经香港去台湾，从广州到香港可以坐汽车、飞机和轮船；从香港到台湾可以坐轮船与飞机，问从广州到台湾共有多少种不同的方法。,例2.多项式乘积共有多少项。,2、排列,则由乘法原理得,特别，当r=n时，称该排列为一个全排列，所有全排列的个数为,例1从0,1,2,3,4,5,这六个数字中任取四个问能组成多少个四位偶数?,解,组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或,种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为,4,可先选末位数,共种,前三位数的选取方法有,3、组合,特别，当r=n时，而且,所以从n个元素中取r个元素组成的组合数为,例从10名战士中选出3名组成一个突击队，问共有多少种组队方法？,解:按组合的定义，组队方法共有,（种）。,二、集合及其运算,集合：具有某类共同性质的事物的全体。关于集合之间的关系，常见的有以下几种：,1、子集：若A、B为两个集合，且B中所有元素都是A中的元素，则称B为A的子集。,记为:,2、并集：由属于A或B的元素全体组成的集合,5、余集（补集）：若U是包含所有元素的集合，称U为全集。（U-A）为集合A在全集U中的余集或补集。,记,无,1.2随机事件及其运算,一、随机试验与事件,2.随机现象，偶然现象,自然界中的有两类现象,1.确定性现象,每天早晨太阳从东方升起;,水在标准大气压下加温到100oC沸腾;,掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？,一天内进入某超市的顾客数;,某种型号电视机的寿命;,随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。,概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科。,对自然现象的观察或进行一次试验，统称为一个试验。用大写英文字母E表示。,上面这些例子，尽管内容各异，但它们有着共同的特点。我们有以下的定义。,随机试验：,如果试验满足：(1)可以在相同条件下重复进行；(2)试验所有发生的结果是不止一个且是已知的；(3)但每次试验的结果事前是不能确定的，这样的试验称为随机试验。,在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现。这就是,随机事件：,在一次试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，简称事件。,一般用A，B，C等表示。,事件分为基本事件和复合事件。,例如，在掷骰子试验中，观察掷出的点数。Ai=掷出i点i=1,2,3,4,5,6，它们都是基本事件。,基本事件：相对于观察目的不可再分解的事件,复合事件：两个或一些基本事件并在一起，,就构成一个复合事件。,例如，B=掷出奇数点,就是复合事件。,两个特殊的事件：,必然事件就是在试验中必定发生的事件，常用S或表示;,例如，“掷出点数小于7”是必然事件;,而“掷出点数8”则是不可能事件。,不可能事件就是在一次试验中不可能发生的事件，常用表示。,.e,二、样本空间,我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e或.全体样本点的集合称为样本空间。样本空间用S或表示。,样本点e,如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：,S=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T),样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现.,样本空间，样本点，事件的关系：,事件是样本点的集合，是样本空间的子集。,三、事件的关系与运算,为了研究事件的需要，下面介绍事件间的几种主要关系与及事件的运算。,1、若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A为事件B的子事件。,为了方便起见，规定对任意事件，,记为：,2、若事件A与事件B至少有一个发生，这一事件称为事件A与事件B的和事件，,记为,3、事件A与事件B同时发生，这一事件称为事件A与事件B的积事件，,记为,或者AB,5、若事件A与事件B不同时发生，则称A与B为互斥事件或互不相容事件。,4、事件A发生而事件B不发生，这事件称为事件A与事件B的差事件。,记为：,注：当事件A、B互斥时，常记为A+B,由于可以用集合来表示事件，故事件的运算规律和集合的运算规律很相似，下面给出事件的运算规律。,2、分配律,3、结合律,4、对偶律,1、交换律,记号概率论集合论样本空间,必然事件空间不可能事件空集样本点元素ABA发生必然导致B发生A是B的子集AB=A与B互不相容A与B无相同元素ABA与B至少有一发生A与B的并集ABA与B同时发生A与B的交集ABA发生且B不发生A与B的差集A不发生、对立事件A的余集,基本事件互不相容，基本事件之并=,注意点(1),注意点(2),若A1，A2，An有1.Ai互不相容；2.A1A2An=则称A1，A2，An为的一组分割.,样本空间的分割,1.若A是B的子事件，则AB=()，AB=(),2.设A与B同时出现时C也出现，则()AB是C的子事件；C是AB的子事件；AB是C的子事件；C是AB的子事件.,课堂练习,B,A,3.设事件A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A的对立事件为（）甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲、乙两种产品均畅销；甲种产品滞销；甲种产品滞销或者乙种产品畅销.,4.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系A=|xa|，B=xaA=x20，B=x22A=x22，B=x19,AB,相容,不相容,5.试用A、B、C表示下列事件：A出现；仅A出现；恰有一个出现；至少有一个出现；至多有一个出现；都不出现；不都出现；至少有两个出现；,