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3.4基本不等式,2002年国际数学家大会会标,创设情境、体会感知：,三国时期吴国的数学家赵爽,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究1,一、探究,问2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，它们的面积总和是S=,问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则AB=则正方形的面积为S=。,问3：观察图形S与S有什么样的大小关系？,易得，ss,即,A,D,C,B,H,G,F,E,问4：那么它们有相等的情况吗？何时相等？,若成立，你能给出它的代数证明吗？,证明:,1指出结论适用的范围：,2强调取“=”的条件：,作差比较法,结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立,2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数,（当且仅当a=b时，等号成立）,二、新课讲解,1.思考:如果用去替换中的,能得到什么结论?必须要满足什么条件?,从数列角度看:两个正数的正的等比中项小于等于它们的等差中项,o,a,b,A,B,P,Q,如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则半弦PQ=_,半径AO=_,3、几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长,探究2,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,基本不等式：,当且仅当a=b时，等号成立.,当且仅当a=b时，等号成立.,重要不等式：,注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。,（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。,三、应用,例1、若,求的最小值.,变3:若,求的最小值.,变1:若求的最小值,变2:若,求的最小值.,发现运算结构，应用不等式,结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。,三、应用,例2、已知,求函数的最大值.,变式:已知,求函数的最大值.,发现运算结构，应用不等式,结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。,（1）一正：各项均为正数,（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。,（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”，否则会出现错误,小结：利用求最值时要注意下面三条：,1、本节课主要内容,四、小结,2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。,1.两个不等式（1）（2）当且仅当a=b时，等号成立注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。2.不等式的简单应用：主要在于求最值把握“七字方针”即“一正
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