CH103三重积分的计算

类似二重积分解决问题的思想,采用,引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的,物质,求分布在内的物质的,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决方法:,质量M.,密度函数为,首先把M分成n个小块V1,V2,.,Vn,Vi的体积,记为,其次在每个小块Vi上任取一点,则Vi的质量,然后对每个小块Vi的质量求和：,最后，取极限,其中,10-3三重积分,定义.设,存在,称为体积元素,若对作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如:,下列“乘,中值定理.,在有界闭域上连续,则存在,使得,V为的,体积,积和式”极限,(1)三重积分的存在性：,(2)三重积分没有几何意义，但有物理意义.,说明：,1.利用直角坐标计算三重积分,方法1.投影法(“先一后二”),方法2.截面法(“先二后一”),方法3.三次积分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后,推广到一般可积函数的积分计算.,的密度函数,方法:,三重积分的计算,如图，,则,在Dxy中任取一微元,其坐标为(x,y),则对应的,平行于z轴的,中的细棒质量,(1),该公式称为三重积分的先一后二计算公式。,所以有(),该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,方法1.投影法(“先一后二”),设D为在xoy平面上投影区域.,(1)化成一个定积分和一个二重积分,y=y1(x,z),z,0,y=y2(x,z),Dxz,y,x,x=x2(y,z),z,0,x=x1(y,z),Dyz,y,x,化三次积分的步骤：,投影，得平面区域,穿越法定限，穿入点下限，穿出点上限,对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法,先画图,1,1,Dxy,Dxy:,x=0,y=0,x+2y=1围成,z=0,1,x+2y+z=1,Dxy,解:,典型分析1,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,6,6,6,4,2,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,6,6,6,4,2,4,2,x+y+z=6,6,6,6,4,2,6,6,6,D,2,4,D,6,2,4,1找出上顶、下底及投影区域2画出投影区域图,Dxy:,y=0,3x+y=6,3x+2y=12围成,z=0,不画立体图做三重积分,Dxy,典型分析2,y2=x,y2=x,。,。,y2=x,。,D,EX.计算,其中是由抛物,柱面,及平面y=0,z=0,解：D:0y,0x,例2.将,化为三次定积分，其中,是由z=x2+y2和z=1所围的闭区域.,解：先对z积分，将向xoy平面投影.,z=x2+y2,x2+y2=1,D:x2+y21,z=1,z=1,x,y,z,0,1,Dxy,z=1,z=x2+y2,解2：先对y积分，将向xoz平面投影：,z=x2+y2,Dxoy:x2z1,z=1,1x1,z=x2+y2,从上面的例子我们可以看到,利用“投影法”来计算三重积分需要作图,对于简单的图形还比较方便,但复杂一些的问题容易出错.下面我们介绍的“截面法”是比较简单的方法,有时可以不作空间图形.,先求二重积分,再求定积分.称为“截面法”,若积分区域在z轴上的投影区域为a,b,对于这区域内任意一点z,过z作平面平行于xoy面,该平面与区域相交为一平面区域记作Dz,于是积分区域可表示为:,这时三重积分可化为先对区域Dz求二重积分,再对z在a,b上求定积分,如果区域Dz可用不等式y1(z)yy2(z),x1(y,z)xx2(y,z)表示,那么三重积分又可以化为如下的三次积分:,为底,dz为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,方法2.截面法(“先二后一”),(1)化为一个二重积分和一个定积分,例1.计算,其中是由z=x2+y2和z=1,所围成的闭区域.,解：D(z):x2+y2z,z0,1,例2.计算,解：D(x):0y1x,0z1xy,x:0x1,其中是由平面x+y+z=1,与三个坐标面所围闭区域.,M(x,y,z),z,r,N,x,y,z,z=z,2.利用柱坐标计算三重积分,就称为点M的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,z,动点M(r,z),柱面S,r=常数：,平面,z=常数：,M,r,S,z,2.利用柱坐标计算三重积分,动点M(r,z),半平面P,柱面S,=常数:,r=常数：,平面,z=常数：,z,M,r,S,P,2.利用柱坐标计算三重积分,dr,r,rd,d,z,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为r及r+dr的圆柱面；平面z及z+dz；,2.利用柱坐标计算三重积分,dr,r,rd,d,z,底面积：rdrd,dz,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；,dr,r,rd,d,z,底面积：rdrd,dz,dV=,.,dV,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为r及r+dr的圆柱面；平面z及z+dz；,1,Dxy:,z=0,Dxy,计算,1,用哪种坐标？,柱面坐标,I=,1,Dxy,Dxy:,z=1,锥面化为:,r=z,1,用哪种坐标？,柱面坐标,计算,1,Dxy,1,例1.计算,其中由,与z=1所围闭区域.,解：,D:x2+y21,z=r,z=r,z=1,D,其中为,例2.计算三重积分,所,解:在柱面坐标系下,及平面,由柱面,围成半圆柱体.,例3.计算三重积分,解:在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中由抛物面,原式=,3.利用球坐标计算三重积分,S,r,M,r=常数:,=常数:,球面S,动点M(r,),球面坐标的坐标面,C,r=常数:,=常数:,S,球面S,半平面P,动点M(r,),M,P,=常数:,锥面C,球面坐标的坐标面,规定：,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,r,dr,d,rsin,圆锥面,rd,球面r,圆锥面+d,球面r+dr,元素区域由六个坐标面围成：,d,rsind,半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,球面坐标下的体积元素,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,元素区域由六个坐标面围成：,rsind,球面坐标下的体积元素,r2,sindrdd,dV,dV=,半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,例1.计算,其中=(x,y,z)|x2+y2+z21,z0.,解：x2+y2+z2=1r=1,而02故,用=截得D(),原积分,x,y,z,0,z,例2.,和x2+y2+z2=a2所围成闭区域.,解：x2+y2+z2=a2r=a,原积分,例3.计算三重积分,解:在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,r,R,对r:从0R积分,得半径,任取球体内一点,M,r,R,对:从0积分，,对r: