D61微分方程及其求解

常系数非齐次线性微分方程,一、,二、,二阶常系数非齐次线性微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,给出特解,(p,q为常数),解的叠加原理,一、,为实数,设特解为,其中为待定多项式,代入原方程,得,为m次多项式.,(2)若是特征方程的单根,(3)若是特征方程的重根,即,即,(1)若不是特征方程的根,可设,可设,可设,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数).,综上讨论,不是根,是单根,是重根,特解形式设为,例1.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,例2.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,代入方程得,例2.,的通解.,解:,比较系数,得,因此特解为,所求通解为,代入方程得,令,的特解y*(一般为复根),求,可以证明,与,分别是下列方程的解,设,综上讨论,(i)不是根,特解形式设为,(i)是根,解,例3,的一个特解.,有共轭复根,特征方程,本题,不是特征根,的特解,令特解,解,例3,的一个特解.,将特解,代入原方程得,例3,的一个特解.,于是求得一个特解,原方程得一个特解,解,例4,的通解.,对应齐次方程,特征方程为,特征根:,对应齐次方程的通解：,解,例4,的通解.,齐次通解：,特征方程,是特征方程的根,本题,故设特解为,考虑方程,解,例4,的通解.,代入方程整理得,于是求得一个特解,原方程通解为,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,*全微分方程,小结,1.可降阶的二阶微分方程,二、高阶微分方程求解,逐次积分,解法:,高阶,yf(x)型的微分方程,yf(xy)型的微分方程,解法:,令,化为x,p的一阶微分方程.,则,yf(yy)型的微分方程,解法:,令,化为y,p的一阶微分方程.,则,二阶线性微分方程的通解的结构,齐次方程的通解的结构,如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解其中C1、C2是任意常数,2.二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数,代入得,称为微分方程的特征方程,(r为待定常数),所以令的解为,其根称为特征根.,因为r为常数时,函数,(p,q为常数),实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程,方法步骤,写出特征方程,求出特征根,按特征根的三种不同情况依下表写出通解,3.二阶线性微分方程的通解的结构,设y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解那么yY(x)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解,非齐次方程的通解的结构,微分方程ypyqyPm(x)ex的待定特解,不是根,是单根,是重根,特解形式设为,(i)不是根,特解形式设为,(i)是根,微分方程ypyqyexPm(x)cosx或ypyqyexPm(x)sinx的待定特解,整合为,则,是,特解形式设为,整合为,的解,是,的解,思考题,1.微分方程,(0)的特解形式为,2.微分方程,满足条件y(0)=0的解,2011年考研题,设的特解为,设的特解为,则所求特解为,思考题,3.写出微分方程,的待定特解的形式.,解,则所求特解为,练习题,3.写出微分方程,的待定特解的形式.,解,特征根,（重根）,4.,设F(x)f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(,+)内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(0