信号与系统 第02章

信号与系统,信号与系统,第二章连续时间系统的时域分析,苏州大学物理与光电能源学部,时域分析法：不经过任何变换，所涉及函数的变量均为时间t,变换域分析法：将时间变量变换成其它变量,RLC串联电路：,二阶微分方程二阶系统,例：写出下列电路的微分方程,对于n阶线性系统，可用输入-输出方程描述：,常系数线性微分方程的解：,（齐次方程的解）通解,（非齐次方程的解）特解,自然响应（自由响应）,受迫响应,+,+,系统响应,二阶系统：,通解：,特解：视方程右边具体情况而定比较困难,齐次方程：,零输入响应,零状态响应,+,系统全响应,叠加积分法求解非齐次方程,激励分解为简单函数，求取简单激励的系统响应，叠加得到总的零状态响应,卷积积分,杜阿梅尔积分,激励响应由一系列脉冲函数响应之和t无限小时,卷积积分,系统由一系列阶梯函数的响应总和,杜阿梅尔积分,系统方程的算子表示法,为方便起见，用p代表微分算子，即：,系统方程的算子表示法,n阶线性微分方程的算子表示：,算子的运算规则：,算子多项式可以进行因式分解,算子的乘除顺序不能随意颠倒,算子的运算规则：,算子方程左右两端的算子符号不能随意消去,微分方程的算子表示可以简写成：,系统方程的算子表示法,求系统零输入响应：,求系统零状态响应：,系统方程的算子表示法,系统方程的算子表示法,例：已知一线性时不变系统在激励e(t)下的转移算子为H(p)，现在激励改为-e(t)，则该系统的转移算子应是-H(p)B.H(p)C.-H(-p)D.H(-p),系统方程的算子表示法,当系统没有外加激励信号时的响应,求解齐次方程：,系统的零输入响应,一阶系统,系统的零输入响应,二阶系统,求解c1、c2,求解得：,系统的零输入响应,t=0时,n阶系统,可以写成：,均为单根时，求解得：,系统的零输入响应,n阶系统,有重根的情况：,系统的零输入响应,例：已知某二阶线性时不变系统的微分方程为,系统的零输入响应,解得：,系统的零输入响应,函数或其各阶导数有一个或多个间断点(不连续)，在间断点上的导数用一般方法不好确定,阶跃函数：,奇异函数,单位阶跃函数：,奇异函数,函数与阶跃函数相乘：,单位冲激函数（狄拉克函数）：,奇异函数,定义一个函数：,奇异函数,冲激函数的一些性质：,抽样性质：,奇异函数,积分性质：,冲激函数的一些性质：,奇异函数,例：利用冲激函数的性质，求解下列积分,奇异函数,单位斜变函数：,奇异函数,冲激偶：对单位冲激函数求导,奇异函数,单位斜变函数、单位阶跃函数、单位冲激函数和单位冲激偶四者之间的关系：,奇异函数,信号在时域分析中的分解,就是把信号的时间函数用若干个奇异函数之和来表示。,一、周期性脉冲信号表示为奇异函数之和,矩形脉冲分解：阶跃函数之和,信号的脉冲分解,有始周期矩形脉冲：,信号的脉冲分解,有始周期锯齿形脉冲信号：,信号的脉冲分解,二、任意函数表示为阶跃函数的积分,信号的脉冲分解,三、任意函数表示为冲激函数的积分,信号的脉冲分解,阶跃响应和冲激响应,零状态系统,阶跃函数,冲激函数,求解响应函数,一、激励函数与响应函数之间的关系,1.线性时不变系统,阶跃响应和冲激响应,若：,则：,即：,2.阶跃响应和冲激响应关系,阶跃响应和冲激响应,二、系统的冲激响应,系统的微分方程：,阶跃响应和冲激响应,阶跃响应和冲激响应,求解：,即：,阶跃响应和冲激响应,解得：,冲激响应：,阶跃响应和冲激响应,三、零输入响应法求解系统的冲激响应,阶跃响应和冲激响应,特殊情况：,有：,阶跃响应和冲激响应,阶跃响应和冲激响应,(1),(2),例：RC串联电路初始状态为零，受激于单位冲激电压源，求响应电流及电容上的响应电压。,阶跃响应和冲激响应,例：RC串联电路初始状态为零，受激于单位冲激电压源，求响应电流及电容上的响应电压。,响应电流,响应电压,阶跃响应和冲激响应,叠加积分,任意激励函数可以用若干个冲激之和来近似地代表,利用各冲激分量响应叠加求零状态响应,激励函数：,响应函数：,叠加积分,或,利用线性系统叠加性质,只适用于线性时不变系统,叠加积分,卷积及其性质,卷积的定义：,卷积图解法,t=-1,t=1,绘出图（a）图（b）所示波形的函数经卷积积分后所得结果函数的波形,图解法,解析法,卷积图解法,卷积积分表,卷积积分表,1、互换率,2、分配率,3、结合律,卷积及其性质,4、卷积后微分,5、卷积后积分,卷积及其性质,6、延时后卷积,卷积及其性质,如果,则,7、相关与卷积,互相关函数：,自相关函数：,卷积及其性质,且有：,偶函数,卷积及其性质,例：利用卷积的性质，绘出图（a）图（b）所示波形的函数经卷积积分后所得结果函数的波形,卷积及其性质,线性系统响应的时域求解,系统响应=零输入响应+零状态响应,线性系统响应的时域求解,零输入响应：,系统的冲激响应：,零状态响应：,全响应：,指数函数信号激励下的系统响应,指数函数特点:,通过网络后仍能保持原指数函数形式,系统响应,含有外加激励的频率,随时间增长而趋于零的部分,随着时间增长而趋于稳定的部分,线性系统响应的时域求解,线性系统响应的时域求解,线性系统响应的时域求解,指数函数信号激励下的系统响应结论,稳定系统的零输入响应必然是自然响应的一部分，零状态响应中又可分为自然响应和受迫响应两部分。,零输入响应和零状态响应中的自然响应两部分合起来构成总的自然响应，对真实系统而言它必是瞬态响应。,受迫响应中随时间增长而衰减的消失部分也是瞬态响应，随时间