极限的概念与性质

,第一章,二、函数的极限,三、函数的极限的性质,一、数列的极限,第二节,极限的概念与性质,自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。,引言,正六边形的面积,正十二边形的面积,正形的面积,说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3.1416,割圆术,割圆术就是极限思想在几何上的应用,微积分是一门以变量为研究对象、,应用极限方法研究各类变化率问题,应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到,以极限方法,作为研究工具的数学学科：,曲线的切线问题，,微小量无穷积累的问题，,和几何学中,就产生了微分学；,就产生了积分学。,一、数列极限的定义,按照一定规律排列的一列数,数列可视为定义在自然数集上的函数：,称为一个数列。,称为数列通项，,数列简记为。,趋向于某个确定的数,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,不趋向于某个确定的数,定义：,设数列,极限存在的数列称为收敛数列。,极限不存在的数列称为发散数列。,如果通项,记作,或,例如,趋势不定,收敛,发散,若数列,及常数a有下列关系:,当nN时,总有,记作,即,或,则称该数列,的极限为a,几何解释:,数学定义：,例1.已知,证明数列,的极限为1.,证明:,欲使,即,只要,因此,取,则当,时,就有,故,例2.已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,故也可取,也可由,1.N与有关,但不唯一.,不一定取最小的N.,说明:,取,2.利用不等式的放缩.,例3.设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此,取,则当nN时,就有,故,的极限为0.,例4.,证明：,记,易知,取,由于,故,正整数,所以,刘徽(约225295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献.,他的“割圆术”求圆周率,“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要,极限思想.,的方法:,柯西(17891857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有27卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书7本,第一章,1、自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,2、左极限、右极限,主要内容:,二、函数的极限,3、自变量趋于无穷大时函数的极限,定义1.,在点,的某去心邻域内有定义,当,时,有,则称常数A为函数,当,时的极限,或,即,当,时,有,若,记作,几何解释:,1、自变量趋于有限值时函数的极限,设函数,例1.证明,证:,故,取,当,时,必有,因此,(注意x=1无定义),例2.证明:当,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证.,必有,2.左极限与右极限(单侧极限),左极限:,当,时,有,右极限:,当,时,有,定理1.,例3.给定函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:利用定理1.,因为,显然,所以,不存在.,例4.,求,解:,因为,所以,设,定义2.设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线y=A为曲线,的水平渐近线.,A为函数,3、自变量趋于无穷大时函数的极限,例5.证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,只要,直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.,两种特殊情况:,当,时,有,当,时,有,几何意义:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,三、函数极限的性质,1.唯一性,类似于数列极限的唯一性（反证法）,2.局部有界性,(性质适用于函数的所有极限过程),若函数极限存在，则函数极限唯一。,3.局部保号性,定理2.若,且A0,证:已知,即,当,时,有,当A0时,取正数,则在对应的邻域,上,(0),则存在,(A0),若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时,有,推论1.,分析:,推论2.若在,的某去心邻域内,且,则,思考:若定理2中的条件改为,是否必有,不能!,如,(反证法,证明略),4.函数极限的两边夹定理,定理3.,且,(仿照数列极限的两边夹定理证明),5.函数极限与数列极限的关系,定理4.,有定义,有,说明:此定理常用于判断函数极限不存在.,法1找一个数列,不存在.,法2找两个趋于,的不同数列,及,使,例6.证明,不存在.,证:取两个趋于0的数列,及,有,由定理4知,不存在.,思考与练习,1.若极限,存在,2.设函数,且,存在,则