《D凹凸性与曲率》PPT课件

,第四节,主要内容:,*二、弧微分,三、曲率及其计算公式,函数的凹凸性与平面曲线的曲率,第三章,一、曲线的凹凸性与拐点,定义.设函数,在区间I上连续,(1)若恒有,则称,图形是凹的;,(2)若恒有,则称,图形是凸的.,一、曲线的凹凸与拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.,拐点,定理.(凹凸判定法),(1)在I内,则f(x)在I内图形是凹的;,(2)在I内,则f(x)在I内图形是凸的.,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明(1)成立;,(2),设函数,在区间I上有二阶导数,证毕,例1.判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变.,在其两侧二阶导数不变号,例2.求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,凹,凸,对应,例3.求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:1)求,2)求拐点可疑点坐标,令,得,3)列表判别,故该曲线在,及,上是凹的,是凸的,点(0,1)及,均为拐点.,凹,凹,凸,三、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为,对应切线,定义,弧段上的平均曲率,点M处的曲率,注意:直线上任意点处的曲率为0!,转角为,例4.求半径为R的圆上任意点处的曲率.,解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;,R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,说明:,(1)若曲线由参数方程,给出,则,(2)若曲线方程为,则,例5.我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,处的曲率.,点击图片任意处播放暂停,说明:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,且lR.,其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化,因此铁道的,曲率应连续变化.,例5.我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且lR.,处的曲率.,其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,解:,显然,例6.求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K最大,最小,求驻点:,设,从而K取最大值.,这说明椭圆在点,处曲率,计算驻点处的函数值:,最大.,四、曲率圆与曲率半径,设M为曲线C上任一点,在点,在曲线,把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的,曲率圆,(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做,曲率中心.,在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1)有公切线;,(2)凹向一致;,(3)曲率相同.,M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使,设曲线方程为,且,求曲线上点M处的,曲率半径及曲率中心,设点M处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式.,满足方程组,由此可得曲率中心公式,当点M(x,y)沿曲线,移动时,的轨迹G称为曲线C的渐屈线,相应的曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线C称为曲线G的渐伸线.,屈线的参数方程(参数为x).,点击图中任意点动画开始或暂停,例7.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨,削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?,解:设椭圆方程为,由例3可知,椭圆在,处曲率最大,即曲率半径最小,且为,显然,砂轮半径不超过,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.,例3,内容小结,1.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,曲线,在I上,是凹的,曲线,在I上,是凸的,2.弧长微分,或,3.曲率公式,4.曲率圆,曲率半径,曲率中心,.,1.曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,第五节,思考与练习,2.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,答:有公切线;,凹向一致;,曲率相同.,3.求双曲线,的曲率半径R,并分析何处R最小?,解:,则,利用,有位于一直线