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曲线的切线贾鸿伟,成都市实验外国语学校五龙山校区成都实外新都五龙山学校（初中）,成都市实验外国语学校五龙山校区成都实外新都五龙山学校（初中）,切线的发展史,切线概念的形成过程，是经历了由静态到动态的一个发展过程古希腊数学家欧几里得最早定义了圆的切线，阿波罗与阿基米德用欧几里得的方法定义了圆锥曲线与螺线曲线，而那时在古代数学中，切线的定义还局限于静态的定义与曲线只有一个公共点且位于曲线一侧(或“不穿过”曲线)的直线直到17世纪，数学家相继发现和研究了一般曲线的不同构造法其中，巴罗利用“特征三角形”的概念实质上把切线看作是割线的极限位置而直到17世纪下叶，切线为割线之极限位置的思想才成为数学家的共识德国数学家莱布尼茨将曲线的切线定义为“连接曲线上无限接近两点的直线”，或“曲线的内接无穷多边形的一条连续边”法国数学家洛必达在其无穷小分析中亦将曲线的切线定义为曲线的内接“无穷多边形”一边的延长线,【导】,成都市实验外国语学校五龙山校区成都实外新都五龙山学校（初中）,【导】,（1）圆的切线的定义是什么？（2）导数的几何意义是什么？,成都市实验外国语学校五龙山校区成都实外新都五龙山学校（初中）,【学展评】,思考：在原点处的切线方程是什么？,成都市实验外国语学校五龙山校区成都实外新都五龙山学校（初中）,【学展评】,【问题一】如果把曲线的切线作为研究对象，你能提出什么研究问题？,成都市实验外国语学校五龙山校区成都实外新都五龙山学校（初中）,【学展评】,（1）求曲线在点处的切线方程（2）求曲线过点的切线方程,请总结出二者之间有什么共同点，有什么差异。,成都市实验外国语学校五龙山校区成都实外新都五龙山学校（初中）,【学展评】,1.切线的条数,例1：（2014北京）已知，若过点存在三条直线与之相切，求的范围,请你总结出本题蕴含着什么数学思想？,成都市实验外国语学校五龙山校区成都实外新都五龙山学校（初中）,【学展评】,【解析】：设过点的直线与相切于点，则且切线的斜率为，所以切线的方程为因为，整理得即，令，则解得,成都市实验外国语学校五龙山校区成都实外新都五龙山学校（初中）,【学展评】,过点存在三条直线与曲线相切等价于直线与曲线的图象有三个交点，故解得综上所述：,成都市实验外国语学校五龙山校区成都实外新都五龙山学校（初中）,【学展评】,2.切线的位置关系,例2：已知，若在点处的切线与在点处的切线平行，证明：,成都市实验外国语学校五龙山校区成都实外新都五龙山学校（初中）,【学展评】,3.曲线的公切线,（16全国卷2）：若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求的值.,成都市实验外国语学校五龙山校区成都实外新都五龙山学校（初中）,【学展评】,【解析】：设直线与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为令，则令则，因此两条切线分别为：为、由公切线的定义知解得,成都市实验外国语学校五龙山校区成都实外新都五龙山学校（初中）,【测】,已知直线经过点，且与曲线都相切，求的值.,成都市
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