2422__直线和圆的位置关系--切线长定理.ppt

24.2.2直线与圆的位置关系-切线长定理,成新学校姚春莲,o,o,p,1.连结OP,2.以OP为直径作O，与O交于A、B两点。,A,B,即直线PA、PB为O的切线,如图，已知O外一点P，你能用尺规过点P作O的切线吗？,通过作图你能发现什么呢？,观察,实验,1.过圆外一点作圆的切线可以作两条,2.点A和点B关于直线OP对称,说明,经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。,切线长是一条线段,过圆外一点用尺规做出两条切线,（1）切线是一条与圆相切的直线；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。,o,p,A,B,如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的PA与PB，APO与BPO有什么关系？,探究,PA、PB是O的切线，A、B为切点,OAPA，OBPB,又OAOB，OPOP,RtAOPRtBOP,PAPB，APOBPO,结论,切线长定理：,从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,符号语言,PA、PB是O的切线，A、B为切点,PAPB，APOBPO,猜想,如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？,分析,PA、PB是O的切线，A、B为切点,PAPB，APOBPO,OPAB，且OP平分AB,C,D,归纳,从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。,此图为切线长定理的一个基本图形，应掌握,我们学过的切线，常有五个性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，还垂直平分切点所成的弦，平分切点所成的弧。,六个,D,1,2,3,4,如图所示，PA、PB分别切O于A、B两点，PA=PB,AD=BD,1=2，3=4，AOP=BOP,OPAB,=,思考,如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?,I,D,内切圆和内心的定义:,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.内心都在三角形内部,三角形内切圆的作法：先做出三角形的两条角平分线，以两条角平分线的交点为圆心，交点到一边的距离为半径作圆，即可得到三角形的内切圆。,o,外切圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。外切圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离。,三角形外接圆,三角形内切圆,内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的距离。,A,A,B,B,C,C,一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形；一个三角形有且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形；,1、已知：ABC是O外切三角形，切点为D，E，F。若BC14cm，AC9cm，AB13cm。求AF，BD，CE。,A,B,C,D,E,F,x,x,y,y,z,z,解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm,依题意得方程组,2、如图，在RtABC中，C=90，AC=6,BC=8,则ABC内切圆的半径为多少？,解：设O与AC、BC分别相切于E、F点，连接OE、OFC=90，AC=6，BC=8AB=10O是ABC的内切圆，OEAC，OFBC,CF=CE四边形OECF为正方形CE=CF=r，BF=8-r,AE=6-r,AB=BD+AD=BF+AE=8-r+6-r,即8-r+6-r=10r=2,C,A,B,.O,F,E,D,结论：直角三角形内切圆的半径r=(a、b为直角边，c为斜边）。熟记此公式后可直接用于填空题和选择题的计算中,例1,已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线OP交O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.,A,O,C,D,P,B,E,解：,(1)OAPA,OBPB,OPAB,(2)OAPOBP,OCAOCBACPBCP.,(3)设OA=xcm,则PO=PD+x=2+x(cm),在RtOAP中，由勾股定理，得,PA2+OA2=OP2,即42+x2=(x+2)2,解得x=3cm,所以，半径OA的长为3cm.,利用切线长定理进行计算,P,A,B,c,如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B两点，OP交O于C，若PA6，PC2，求O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。,解：连接OA、AC，则OAAP,在RtAOP中，设OAx则OPx2,OA2PA2OP2,即x262（x2）2,解得x2，即OAOC2,OP4,在RtAOP中，OP2OA,APO30,PA、PB是O的切线,APB2APO60,O的半径为2，两切线的夹角为60,注意：已知圆的切线时，经常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题。,利用切线长定理进行证明,A,B,C,D,E,O,2,1,例2,如图，已知：在ABC中，B90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，交AC与点D。求证：DEOC,证明：连接,，为的半径,是的切线,是的切线，是切点,，,是的直径,，即,切线长定理,如图：过O外一点P有两条直线PA、PB与O相切.,A,B,P,O,在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点间的线段的长，叫做切线长.,切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.,平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.,归纳,例1,已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线OP交O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.,A,O,C,D,P,B,E,解：,(1)