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第三节逆矩阵与矩阵的初等变换,则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.,一、概念的引入,在数的运算中，,当数时，,有,其中为的倒数，,（或称的逆）；,在矩阵的运算中，,单位阵相当于数的乘法运算中,的1，,那么，对于矩阵，,如果存在一个矩阵,使得,二、逆矩阵的概念和性质,例设,说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.,若设和是的可逆矩阵，,则有,可得,所以的逆矩阵是唯一的,即,例设,解,设是的逆矩阵,则,利用待定系数法,又因为,所以,定理1矩阵可逆的充要条件是，且,证明,若可逆，,按逆矩阵的定义得,证毕,奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,推论,证明,逆矩阵的运算性质,证明,证明,例1求方阵的逆矩阵.,解,三、逆矩阵的求法,同理可得,故,例3设,解,于是,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,非齐次与齐次线性方程组的概念,一、克拉默法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即,那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为,证明：,AX=b,比较等式两端得：,例：用克拉默法则解方程组,解,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,矩阵的初等变换,定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),逆变换,逆变换,逆变换,对n阶单位矩阵E分别施行上述三种初等变换后，所得之矩阵称为初等矩阵相应的三种初等矩阵分别是,（1）,互换E的i，j两行(两列)所得之矩阵,（2）,（3）,引理：对矩阵施行某一初等行（列）变换，其结果等于对A左（右）乘一个相应的m阶（n阶）初等矩阵。,这里把矩阵的初等变换归纳为用某些初等矩阵左乘或右乘该矩阵，这对于简化矩阵乘法运算及研讨矩阵的某些性质都很有用,下面介绍用矩阵的初等行变换求逆矩阵的方法不难证明，若A是一个n阶可逆矩阵，则必可经一系列初等行变换将A化成单位矩阵。这就相当于用一系列初等
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