换元法求不定积分

寄语,也不属于有钱人,而是属于有心人.,这个世界,不属于有权人,2,第一节、不定积分概念与基本积分公式,第三节、有理函数和可化为有理函数的不定积分,本章内容：,第二节、换元积分法与分部积分法,第八章,不定积分,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,换元积分法与分部积分法,第8章,三、分部积分法,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即,凑微分法),例1.求,解:令,则,故,原式=,注:当,时,例2.求,解:,令,则,想到公式,例3.求,想到,解:,(直接配元),例4.求,解:,类似,例5.求,解:,原式=,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,例6.求,解:原式=,例7.求,解:原式=,例8.求,解:原式=,例9.求,解法1,解法2,两法结果一样,例10.求,解法1,解法2,同样可证,或,例11.求,解:原式=,例12.求,解:,例13.求,解:,原式=,例14.求,解:原式=,分析:,例15.求,解:原式,小结,常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,思考与练习,1.下列各题求积方法有何不同?,2.求,提示:,法1,法2,法3,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,定理2.设,是可导函数,且,具有原函数,证:,令,则,则有换元公式,例16.求,解:令,则,原式,例17.求,解:令,则,原式,例18.求,解:,令,则,原式,令,于是,原式,例19.求,解:令,则,原式,当x0时,类似可得同样结果.,小结:,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,令,2.常用基本积分公式的补充,(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,令,解:原式,例20.求,例21.求,解:,例22.求,解:原式=,例23.求,解:原式,例24.求,解:令,得,原式,例25.求,解:原式,令,例16,思考与练习,1.下列积分应如何换元才使积分简便?,令,令,令,2.已知,求,解:两边求导,得,则,(代回原变量),3.求下列积分:,4.,求不定积分,解：,利用凑微分法,原式=,令,得,分子分母同除以,5.,求不定积分,解:,令,原式,44,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1)v容易求得;,容易计算.,三、分部积分法,45,例1.求,解:令,则,原式,思考:如何求,提示:令,则,原式,46,例2.求,解:令,则,原式=,47,例3.求,解:令,则,原式,48,例4.求,解:令,则,原式,再令,则,故原式=,说明:也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,49,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为后者为,例5.求,解:令,则,原式=,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,50,例6.求,解:令,则,原式=,51,例7.求,解:令,则,原式=,52,例8.求,解:令,则,得递推公式,53,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,54,例9.证明递推公式,证:,注:,或,55,说明:,分部积分题目的类型:,1)直接分部化简积分;,2)分部产生循环式,由此解出积分式;,(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C),例4,3)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.,56,例10.已知,的一个原函数是,求,解:,说明:此题若先求出,再求积分反而复杂.,57,例11.求,解:令,则,原式,令,58,例12.求,解法1先换元后分部,令,即,则,故,59,解法2用分部积分法,60,小结,分部积分公式,1.使用原则:,2.使用经验:,“反对幂指三”,前u后,3.题目类型:,分部化简;,循环解出;,递推公式,4.计算格式:,61,例13.求,解:,令,则,可用表格法求多次分部积分,62,例14.求,解:令,则,原式,原式=,63,思考与练习,1.下述运算错在哪里?应如何改正?,得0=1,答:不定积分是原函数族,相减不应为0.,求此