《建筑力学》-李前程--第七章-轴向拉伸与压缩.ppt

1,建筑力学,主讲单位：力学教研室,（十一）,2,第十一章梁和结构的位移,第一节概述,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,第四节单位荷载法,第三节叠加法,第五节图乘法,第六节线弹性体的互等定理,第七节结构的刚度校核,3,第一节概述,本章研究微小、弹性变形情况下,静定梁和静定结构的位移计算。,计算位移的目的:,2.为超静定构件和结构的内力分析提供预备知识。,1.建立刚度条件,确保构件和结构的变形符合使用要求;,举例分析：,取梁的左端点为坐标原点，,梁变形前的轴线为x轴，,横截面铅垂对称轴为w轴，,xw平面为纵向对称平面。,4,第一节概述,1.度量梁变形后横截面位移的两个基本量,（1）挠度（w）：横截面形心C在垂直于x轴方向的线位移，称为该截面的挠度。,（2）转角（）：横截面对其原来位置的角位移，称为该截面的转角。,2.挠度和转角符号的规定,挠度：向下为正，向上为负。,转角：自x转至切线方向，,顺时针转为正，逆时针转为负。,5,第一节概述,3.挠曲线:梁变形后的轴线称为挠曲线。,4.挠度和转角的关系,挠曲线方程为,式中：x为梁变形前轴线上任一点的横坐标，w为该点的挠度。,小变形情况下:,即挠曲线上任意点的斜率为该点处横截面的转角。,研究梁的弯曲变形时,只要求出挠曲线方程,任意横截面的挠度和转角便都已确定。,6,第一节概述,思考：如何求结构的位移？,求弯曲变形的方法不适用！,求结构的位移采用单位荷载法！,及图乘法！,7,第一节概述,5.梁的位移分析的工程意义,(1)齿轮传动,轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动；,加速轴承磨损，降低使用寿命；若变形过大，使传动失效。,变形带来的弊端：,8,第一节概述,5.梁的位移分析的工程意义,(2)继电器中的簧片,当变形足够大时，可以有效接通电路；,当变形不够大时，不能有效接通电路；,工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。,9,一、梁的挠曲线近似微分方程,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,纯弯曲时梁挠曲线上一点的曲率表达式：,推广到横力弯曲时（剪力存在时）：,数学中的曲率公式,整理得:,10,一、梁的挠曲线近似微分方程,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为:,去掉绝对值符号则:,11,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,M0,M0,梁的挠曲线近似微分方程为：,12,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,梁的挠曲线近似微分方程为：,思考近似的原因？,1.略去了剪力的影响;,2.略去了项。,求解上述微分方程,即可得出挠曲线方程,从而求得挠度和转角。,13,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,二、挠曲线近似微分方程的积分,若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量。,上式积分一次得转角方程:,再积分一次，得挠度方程:,重积分法求得挠度方程,式中:C、D是积分常数，,由梁挠曲线上的已知变形条件确定。,14,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,1.挠曲线的边界条件,在简支梁中，左右两铰支座处的挠度wA和wB都应等于零。,wA=0,wB=0,在悬臂梁中，固定端处的挠度w和转角A都应等于零。,wA=0,A=0,15,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,2.挠曲线的连续条件,在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。,(错),(错),C,wC左=wC右,C左=C右,16,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,补充例题1:,边界条件:,wA=0,A=0,连续条件:,wB左=wB右,B左=B右,补充例题2:B处的连续条件？,B,wB左=wB右,B左B右,17,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,例题11-2一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为EI,求梁的最大挠度及B截面的转角。,解:,1.确定梁的约束力,2.建立梁的弯矩方程,3.建立梁的挠曲线近似微分方程,4.对微分方程一次积分，得转角方程:,5.再对转角方程一次积分，得挠度方程:,18,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,例题11-2一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为EI,求梁的最大挠度及B截面的转角。,解:,6.利用边界条件确定积分常数,当x=0时，,wA=0,当x=l时，,wB=0,分别代入转角与挠度方程，得积分常数：,7.给出转角方程和挠度方程：,19,q,A,B,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,例题11-2一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为EI,求梁的最大挠度及B截面的转角。,解:,7.给出转角方程和挠度方程：,8.求最大挠度和截面B转角：,在跨中x=l/2时，有最大挠度：,x=l时，截面B转角：,20,F,A,B,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,例题11-3图示简支梁,受集中荷载F作用，梁的弯曲刚度为EI,试求C截面的挠度和A截面的转角。,解:,C,w,1.确定梁的约束力,2.分段建立梁的弯矩方程：,AC段：,CB段：,3.建立梁的挠曲线近似微分方程:,AC段：,CB段：,21,F,A,B,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,例题11-3图示简支梁,受集中荷载F作用，梁的弯曲刚度为EI,试求C截面的挠度和A截面的转角。,解:,C,w,4.分别积分，得转角与挠度方程:,AC段：,CB段：,22,F,A,B,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,例题11-3图示简支梁,受集中荷载F作用，梁的弯曲刚度为EI,试求C截面的挠度和A截面的转角。,解:,C,w,5.利用边界条件和连续条件确定积分常数:,(1)边界条件,在x=0处，,在x=l处，,(2)D点的连续条件,在x1=x2=a处，,(3)代入方程，解得积分常数：,23,F,A,B,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,例题11-3图示简支梁,受集中荷载F作用，梁的弯曲刚度为EI,试求C截面的挠度和A截面的转角。,解:,C,w,6.给出转角方程和挠度方程：,AC段：,CB段：,24,F,A,B,例题11-3图示简支梁,受集中荷载F作用，梁的弯曲刚度为EI,试求C截面的挠度和A截面的转角。,解:,C,w,7.求指定截面转角和挠度值：,C截面挠度：,A截面转角：,x1=a，或x2=a,x1=0,思考：最大挠度发生在哪里?,结论：在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的。,答:C处。,第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分,25,第三节叠加法,叠加原理：梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿y轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和,这就是叠加原理。,需要求出梁指定截面的位移时,采用叠加法是方便的。,26,第三节叠加法,表11-1几种常用梁在简单荷载作用下的位移,27,第三节叠加法,表11-1几种常用梁在简单荷载作用下的位移,28,第三节叠加法,表11-1几种常用梁在简单荷载作用下的位移,29,第三节叠加法,例114图所示简支梁,承受均布荷载q和集中力F作用,梁的弯曲刚度为EI。试用叠加法求跨中挠度及A截面的转角。,解:,+,30,第三节叠加法,例115图示悬臂梁,梁的弯曲刚度为EI，试求C截面的挠度。,解:,=,+,C,F,31,小结,1.描述构件和结构上各横截面的位移是：,2.对弯曲变形的构件,可建立挠曲线近似微分方程,通过积分运算求出：,线位移(挠度)、角位移(转角)两个基本量。,转角(x)和挠度w(x)。,关键步骤：,（1）正确地写出弯矩方程；,（2）正确地运用边界条件和变形连续条件确定积分常数。,3.变形体力学中重要的基本概念之一是:,“变形位能在数值上等于外力在变形过程中所作的功”。,单位荷载法是在这一概念的基础上建立的！,单位荷载法适用于求解各种变形形式(包