《信号分析与处理》PPT课件

第二章信号分析与处理,(1)傅立叶级数(时域和频域的转换),周期函数f(t)的周期为T，它的倒数称为频率f=1/T，称为基频，称为n阶频率，将周期函数展成三角级数，称为傅立叶级数的三角形式。,=由三角函数的正交性，得到并有,。,由欧拉公式，有将欧拉公式，代入傅立叶级数的三角形式，得到,记,有为的共轭。得到上式的表达式是周期函数的傅立叶级数的指数形式,(2)傅立叶积分,2.1时域连续信号与系统2.1.1时域连续信号的离散化,时域连续信号的离散化，实际上就是从连续信号f(t)中，每隔一定的时间间隔抽取一个样本数值，所得到的一系列样本值构成的序列，也称为连续信号的“抽样信号”。,模拟信号x(t)的傅里叶变换为X(f)。图2-1模拟信号x(t)及其傅立叶变换X(f),为了计算机处理，必须使x(t)变换为有限长的离散时间序列。为此，必须对x(t)进行采样和截断。图2-2等间隔周期脉冲系列s(t)及其傅立叶变换S(f)时距Ts称为采样间隔，1/Ts=fs称为采样频率。实际上s(t)的傅里叶变换S(f)也是周期脉冲序列，其频率间隔fs=1/Ts。,显然，若|X(f)|的频带大于1/2倍的fs，平移后的图形会发生混叠。由于计算机只能进行有限长序列的运算，所以必须从采样后信号的时间序列截取有限长的一段来计算，其余部分视为零而不予考虑，这等于把采样后的信号（时间序列）乘上一个矩形窗函数，窗宽为T。,计算机采用离散傅立叶变换,将N点长的离散时间序列变换成N点的离散频率序列。即不仅算出的频率函数（连续的），而且同时对其频谱实施了频域采样，使其离散化。这相当于在频域中乘上一个采样函数。,在频域内，在0fs频带内（一个周期）输出N个数据点，此时输出的频率系列的频率间隔：，T为矩形窗宽。频域采样函数的数学表达式为：,在工程上，不仅关心有无误差，更重要的是了解误差的具体量值，以及能否以经济、有效的手段提取足够的精确的信息。只要概念清楚，处理得当，就可以利用计算机有效地处理测试信号，完成模拟信号处理技术中难以完成的工作。,2.1.2时域采样及采样定理,（2-1）注：该定理是给予确定性连续函数的离散化采样而提出来的，可推广到连续平稳过程的离散化采样。,（2）频率混叠,图2-5时域信号转化到频域后的频率混叠现象,（3）采样间隔的选择,通常多依据被测变量的变化规律，动态测试过程及其干扰分析，或按动态测试中的滤波要求，或按测试中感兴趣频段，而高于感兴趣频段的频率成分比较弱，来预计采样数据的截止频率。在工程中，多用下式选择：=1/(2.54)fc)进行数据分析。,（4）数据截断,（5）整周期截断的概念,DFT（离散傅立叶变换）的效果相当于将时间窗内信号向外做周期延拓，若按整周期截断，延拓后信号将与原信号完全重合，否则，就会在t=KT交接处出现间断点，波形和频谱都将产生失真。,2.1.3窗函数及其频谱,原信号频谱为脉冲线谱(a)，截断后扩散为波动连续谱(b)。,图2-6(a)原信号频谱（b）经矩形窗截断后的信号的频谱,（1）窗函数的特性指标,图2-7窗函数的特性指标,（2）几种典型数据窗口,（a）矩形窗函数（b）矩形窗函数的频谱图2-8矩形窗函数及其频谱,（b）三角窗,三角窗的时域函数三角窗的频谱,图2-9（a）三角窗函数（b）三角窗函数的频谱,（c）汉宁窗,汉宁窗的时域函数：汉宁窗的频谱：式中：,使用场合：在截断随机信号或非整周期信号时，DFT周期延拓的功能会在信号中出现间断点，造成新的信号，为了平滑或抑制，削弱信号的两端宜用汉宁窗（常用）。图2-10（a）汉宁窗函数（b）汉宁窗函数的频谱,（d）指数窗,在测量系统脉冲响应时，信号随时间而衰减，而许多噪声却是定值，故开始时，信噪比较好，随着响应信号衰减，信噪比变坏，如果加汉宁窗，会把最重要的开始阶段的信号大大削弱，因此对脉冲响应不宜加汉宁窗、三角窗等对称性窗函数。此时，一般采用指数窗，尽可能保留有用信号，降低噪声信号，提高信噪比。,指数窗时域函数定义：指数窗的频谱：特性：无旁瓣，无泄漏缺点：主瓣宽，频率分辨率低,图2-11（a）指数窗函数（b）指数窗函数的频谱,2.2离散时间系统,离散时间系统的输入与输出都是离散的时间序列，常用差分方程来描述，对于单输入-单输出系统，则用一阶或高阶差分方程来描述.（1）（2）,式左边输出序列是自开始递减方式出现的，称为后向形式的差分方程。式左边输出序列是自开始递加方式出现的，称为前向形式的差分方程。通常对于因果系统（响应是系统的激励所产生的结果，激励是响应产生的原因）采用后向差分方程较方便。,可利用这三种单元的组合描述系统特性。,2.2.1离散系统的时域分析,（1）差分方程的建立从微分方程推导出差分方程以一个RC串联电路为例，进行分析。图2-12RC串联电路图,取为单位时间，则上式变成此即RC串联电路的差分方程。,（2）离散时间系统的差分方程分析,（3）差分方程的迭代解法,即用迭代法解时，虽然能写出每一步，但表达式不一定能写出。,（4）差分方程的经典解,例设有齐次方程试求齐次解。解：这是一个3阶差分方程，其特征方程为解得，齐次解为：,例：为二阶方程，其特征根为解得其通解为,求特解,求全解,（5）零输入响应与零状态响应,求零状态响应初始条件：解得：全解：结果和前面经典解法完全一样。,（6）离散系统的单位样值响应（单位脉冲响应）,例2经典解法（高阶系统）,（7）利用卷积积分求系统零状态响应（杜哈美积分）,线性时不变系统对任意激励的零状态响应等于激励与脉冲响应的卷积。,2.2.2离散系统的z域分析,z变换是变换域中研究离散时间信号与系统的重要工具，z变换的定义：z为复数，简写成：序列x(n)的z变换实际上是以序列x(n)为加权系数的幂级数之和。若n的取值为，则得序列x(n)的单边变换：,（1）几个常用离散信号的变换,（a）单位样值信号（b）单位阶跃系列,当时，上述级数收敛时，称为的极点时，称为的零点。,（c）单边指数序列,，当时，级数收敛且，若：，当时：由此可引出单边正弦（余弦）序列的z变换,（2）用z变换解常系数线性差分方程,描述线性时不变离散系统的数学模型是常系数线性差分方程，除可用时域解法外，还可用z变换求解，利用z变换的时移特性，把差分方程变成代数方程，然后求出变换表达式，再经z逆变换得到时域解。用z变换求解差分方程比时域法简单，它与拉氏变换解微分方程类似。,(a)z变换的时移特性,双边z变换：单边z变换：,例如：可得一般式：,例：,其中，求响应。,解：对差分方程取单边z变换:解得：上式右边：第一项为零输入响应的z变换第二项为激励引起的零状态响应,将初始条件代入：,将激励的z变换代入：,（3）离散系统系统函数,由时域分析可知，系统由激励引起零状态响应，为激励与系统单位样值响应的卷积，即：，进行z变换：为的Z变换，或类似于连续系统的传递函数，已知系统的差分方程，便可方便地求出。,例：求差分方程,的系统函数和单位样值响应解：设系统初始状态为零，将差分方程做z变换,2.3离散傅立叶变换频域,（1）频域抽样在处理频域问题时，同样存在频域抽样问题，下面讨论频域抽样函数傅立叶变换及其与原时间函数的关系。设：已知连续函数对应的原时间函数为，即，若在频域被的冲击序列抽样，则得到频域抽样函数，即其中：,根据傅立叶变换的特性连续信号的频谱在频域抽样后，对应时间函数是以为间隔的周期函数，重复周期与的关系为。,（2）频域抽样定理,根据时域与频域之间的对称性，不难推导出频域抽样定理：若是时间受限信号，只作用于时间域内，如果在频域中以不大于的频率间隔（即），对的频谱进行抽样，则抽样后的频谱可以唯一地表示原信号。,（3）周期序列的离散傅立叶级数,对于连续周期函数的傅立叶级数，即（1）其中，傅立叶级数的复系数是（2）其中：是周期，角频率，k为各次谐波的序号。,若是周期信号的抽样序列，即：为抽样间隔，它与信号周期的关系是，则有（3）将（3）式两端同乘指数函数，再取和,（4）对于复指数函数而言，有一个基本性质（可以用级数展开的形式证明）(5),代入（4）式有：（6）即也是一个周期序列，称为离散傅立叶级数，它与傅立叶复系数相差一个因子N。（6）式两边同乘指数函数，再取和，再除N（7）（6）式和（7）式构成离散傅立叶级数DFS变换对,DFS表明离散周期序列所对应的离散傅立叶级数也是离散周期序列，它的周期是N。基波成分为，k次谐波成份为，为DFS的k次谐波分量的复系数，当已知0N-1次谐波成分后，根据DFS的周期性就可以求出的全部数值。,（4）离散傅立叶变换,实际测试分析时，经常要对有限长序列进行谱分析，为此，可借助离散傅立叶级数的形式。在DFS的变换时表达式中和都是以N为周期，在求出0N-1点数值后，只要以其主值区间序列作周期延拓，即可求出其余的数值。因此，在实际计算DFS时，只要算出0N-1点数值即可。,如果把有限长序列看作是周期序列的主值区间序列，那么利用DFS计算周期序列的一个周期，也就算出了有限长序列，为此引入变换对这个在新的意义下的变换对，称作离散傅立叶变换DFT，DFT和DFS在形式上完全相同，但在意义上有差别。,DFS描述的是周期离散序列与其频谱的关系，它表明时域中周期序列的频谱也是周期离散的，其关系可以从连续周期信号经抽样后的傅立叶级数导出。DFT则描述有限长时间序列与其频谱的关系，它表明时域中有限长离散序列的频谱是离散的，和有限带宽的。,通常记，W为常数矩阵，DFT变换对为（9）（9）式还可以写成矩阵形式,（5）离散傅立叶变换与傅立叶变换之间的关系,DFT是傅立叶变换的发展，可用它通过计算机来做任何连续函数的傅立叶变换。下面讨论两者的关系。已有连续信号与其频谱，用冲击序列，对抽样，其频谱,DFT图形推演,若是非频限的，则将产生频谱混叠。时域截断可看作是与一矩形窗相乘的结果，矩形窗宽,用频域冲击谱序列：与相乘得到其频谱的脉冲采样：,所对应的时间函数为：无限长连续信号经抽样，截断，周期延拓后，忽略其幅频特性中有混叠与皱波引起的误差，有如下关系：,即：,在利用DFT计算无限长连续信号的傅立叶变换时，需将其结果倍乘，或=,（6）快速傅立叶变换FFT,离散傅立叶变换DFT是连续信号离散化处理的数学基础，但离散傅立叶变换的复数运算次数多，对于N点数据的DFT，需要次复数乘，与次复数加，N越大，计算量增加的越多，例如当N=2048时，计算其DFT的运算次数为:万次，这样的计算量，不可能作到对信号进行实时在线处理。,FFT是DFT的快速算法，其基本思想是利用DFT的W矩阵的周期性和对称性，将分解为若干短序列，并与W矩阵巧妙的结合在一起，计算DFT。一般FFT的点数（其中，为整数），称为以2为基底的FFT，其运算次数为：复数乘次，复数加次,当N=2048点时，运算次数为33792次，仅相当于DFT运算次数的0.4%，此外还有以4，8，16为基底的FFT算法，计算速度更快。FFT的出现，是数据分析史上的一次划时代的改变，它使得实时处理、控制成为可能。FFT的数学表述和推导略。,（7）用FFT对信号进行频谱分析时应注意的问题,下面作为小结分析用DFT进行连续信号谱分析中的一些问题，还有许多实际问题需要正确处理，由于必须经过对连续信号进行抽样和截断，因此造成谱混叠和泄漏，从而给分析带来影响，如果处理不当，将直接产生较大误差，甚至得出错误结论。,（I）混叠,对连续信号进行抽样时：频谱是带限的，为最高频率，根据采样定理,抽样频率必须有。*对于窄带信号可另行处理（未介绍）。一般工程上，对于瞬态过程要求更高，（要求准确波形时），否则将产生混叠。,如果频谱不是带限的（），则不论如何减少，或者说增加，都不可避免地发生混叠。一般进行工程测试时，可利用抗混滤波器，先把模拟量中次要的高频成分滤去，再进行抽样分析。,（II）泄漏,有限带宽信号通常具有无限时限，利用DFT计算，将时间信号截断，截断实际上是将该时间函数与一个窗函数相乘。相应地，在频域中，则是该时间函数与窗函数的傅立叶变换相卷积，由于窗函数的带宽是无限的，所以卷积后将使原带限频谱扩展开来，占据无限频带，这种由于截断而引起的谱峰下降，频谱扩展称为频谱泄漏。,当截断后的信号再被采样，由于泄漏，就会造成频谱混叠。为了减少泄漏，有3种途径：加大窗宽这种方法能使泄漏减弱，将使计算工作量加大，而且窗宽不可能无限增加，而且一般动态分析仪的数据点数固定的，增加窗宽，必然会导致采样间隔加大，降低分析频率。,选用其它窗函数矩形窗函数波形变化剧烈，频谱中高频成分衰减慢造成的频谱泄漏最严重，若改用汉宁窗等，则其高频成分衰减加快，泄漏明显改善。周期信号的整周期截断。,(a)对非整周期、矩形窗截断的信号(b)对应的幅值谱,(a)对非整周期、汉宁窗截断的信号(b)对应的幅值谱,（8）DFT的参数选择,进行DFT计算分析时，应根据混叠，泄漏，频率分辨率等要求，确定信号的采样频率，截断信号长度，计算时间点数N时限信号的傅立叶变换，具有无限带宽，抽样造成的混叠是不可避免的，故只能适当选择，使混叠所产生的误差在研究问题允许的范围内。,频率分辨率是频域中谱线的最小间隔，它等于信号的基波频率，越小，分辨率越高，与截断长度成反比。,（9）离散非周期序列傅立叶变换与z变换的关系,离散傅立叶正变换为（1）令，改变求和上下限（2）,当时，为无穷小角度记作，而作，上式简写成：（3）这是一个连续变量的函数，记作（4）上式称为离散非周期序列的傅立叶正变换。,由于，r为整数，即是的周期函数。对（4）式做如下运算变换积分和求和符