求圆的轨迹方程

1 作业：作业： （1 1）圆 C 与圆关于直线对称，则圆 C 的方程为_ 22 (1)1xyyx （答：） ； 22 (1)1xy （2 2）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_32 yx （答：或） ；9)3()3( 22 yx1) 1() 1( 22 yx （4 4）如果直线 将圆：x2+y2-2x-4y=0 平分，且不过第四象限，那么 的斜率的取值范围是_ll （答：0，2） ； （5 5）方程 x2+yx+y+k=0 表示一个圆，则实数 k 的取值范围为_（答：） ； 2 1 k （6 6）若直线与圆切于点，则的值_30axby 22 410 xyx ( 1,2)P ab （答：2） ； （7 7）直线被曲线所截得的弦长等于 20 xy 22 62xyxy150 （答：） ；4 5 （8 8）一束光线从点 A(1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是 （答：4） ； （9 9）已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线( , )(0)M a b ab 222 :O xyrMm ，则 2 : l axbyr A，且 与圆相交 B，且 与圆相交/mlllml C，且 与圆相离 D，且 与圆相离/mlllml （答：C） ； （1010）已知圆 C：，直线 L：。求证：对，直线 L 与圆 22 (1)5xy10mxym mR C 总有两个不同的交点；设 L 与圆 C 交于 A、B 两点，若，求 L 的倾斜角；求直线 L 中，17AB 截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：或 最长：，最短：）601201y 1x 例例 1 1 设方程，若该方程表示一个圆，求 m 的取值 2224 2(3)2(1 4)1690 xymxmym 范围及这时圆心的轨迹方程。 分析分析: :配成圆的标准方程再求解 解：配方得： 2 2 22 (3)(1 4)1 67xmymmm 该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为， 2 1 670mm 1 (,1) 7 m 2 3 41 xm ym 2 消去m，得，由得x=m+3 2 4(3)1yx 1 (,1) 7 m 20 ,4 7 所求的轨迹方程是， 2 4(3)1yx 20 ,4 7 x 注意：注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中 20 ,4 7 x 变式变式 1 1 方程表示圆，求实数 a 的取值范围，并求出其中半径最小的 22 4(1)40axayaxy 圆的方程。 解：解：原方程可化为 2 2 2 2 2(1)24(22) () aaa xy aaa 当 a时，原方程表示圆。 2 220,aa0 又 2 222 222 2222(44)4(22) 22 aaaaaa r aaa 当，所以半径最小的圆方程为 min 2,2ar 22 112xy 2 2、用待定系数法求圆的轨迹方程、用待定系数法求圆的轨迹方程 例例 2 2 求过两点)4,1 (A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关 系 分析：分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只 须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点 在圆上；若距离小于半径，则点在圆内 解法一：解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为 222 )()(rbyax 圆心在0y上，故0b 圆的方程为 222 )(ryax 又该圆过)4,1 (A、)2,3(B两点 22 22 4)3( 16)1 ( ra ra 解之得：1a，20 2 r 所以所求圆的方程为20) 1( 22 yx 解法二：解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1 (A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为 1 31 24 AB k，故l的斜率为 1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为： 3 23xy即01 yx 又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C 半径204) 11 ( 22 ACr 故所求圆的方程为20) 1( 22 yx 又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为 rPCd254) 12( 22 点P在圆外 说明：说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据 圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直 线与圆的位置关系呢？ 例例 3 3 求半径为 4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程0424 22 yxyx0y 分析：分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解 解：解：则题意，设所求圆的方程为圆 222 )()(rbyaxC： 圆与直线相切，且半径为 4，则圆心的坐标为或C0yC)4,( 1 aC)4,( 2 aC 又已知圆的圆心的坐标为，半径为 30424 22 yxyxA) 1,2( 若两圆相切，则或734CA134CA (1)当时，或(无解)，故可)4,( 1 aC 222 7) 14()2(a 222 1) 14()2(a 得1022a 所求圆方程为，或 222 4)4()1022(yx 222 4)4()1022(yx (2)当时，或(无解)，)4,( 2 aC 222 7) 14()2(a 222 1) 14()2(a 故622a 所求圆的方程为，或 222 4)4()622(yx 222 4)4()622(yx 说明：说明：对本题，易发生以下误解： 由题意，所求圆与直线相切且半径为 4，则圆心坐标为，且方程形如0y)4,(aC 222 4)4()(yax 又圆，即，其圆心为，半径为 30424 22 yxyx 222 3) 1()2(yx) 1,2(A 若两圆相切，则故，解之得34CA 222 7) 14()2(a1022a 4 所以欲求圆的方程为，或 222 4)4()1022(yx 222 4)4()1022(yx 上述误解只考虑了圆心在直线上述误解只考虑了圆心在直线上方的情形，而疏漏了圆心在直线上方的情形，而疏漏了圆心在直线下方的情形另外，误解下方的情形另外，误解0y0y 中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的 点评：点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点： （1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程； （2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得、或、；abrDEF （3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数. 3 3、用几何方法求圆的轨迹方程、用几何方法求圆的轨迹方程 例例 4 4 设圆满足:截轴所得弦长为 2;被轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1,在满足条件yx 、的所有圆中,求圆心到直线的距离最小的圆的方程。02:yxl 分析:注意挖掘题目的条件,充分利用圆的几何性质解决问题. 解法一解法一: 设圆心为,半径为,则点到轴，轴的距离分别为，。),(baPrPxy|b| a 由题设圆截轴所得劣弧对的圆心角为，知圆截轴的弦长为，故Px 90Px2r 22 2br 又圆截轴所得的弦长为,所以有.从而得 Py21 22 ar12 22 ab 又点到直线的距离为 ),(baP02yx |2 | 5 ab d 所以当且仅当时上式等号成立,此时，从而取得最小值. ba 15 2 dd 解此方程组得 由于知于是,所求圆的方程是: 22 2br2r 或 2) 1() 1( 22 yx2) 1() 1( 22 yx 解法二解法二: :同解法一得 222 |2 | 25 5 44 55 ab dabd abbdd 得 将代入上式，整理得 12 22 ba24 5510 22 bdbd= 把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即 ，得 0) 15(8 2 d15 2 d 所以有最小值1，从而有最小值 2 5dd 5 5 将其代入式得2b24b+2=0.解得b=1. 5 将b=1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=1. 综上 a=1,b=1,r2=2. 由a-2b=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是 或 2) 1() 1( 22 yx2) 1() 1( 22 yx 点拨点拨: :求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系 进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程，二是代数法,即根据题意设出圆的方程,再利用条件得 到有关方程系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程. 4 4、直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 例例 5 5 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐xoy2 2Cyx 标原点，求圆的方程。OC 解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8 已知该圆与直线y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则 =2 即=4 2 nm 2nm 又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m2+n2=8 联立方程和组成方程组解得 2 2 n m 故 圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 点拨点拨: :解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题 代数化的思想运用. 第三部分第三部分 课堂练习课堂练习 1.关于 x,y 的方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆的充要条件是 B=0 且 A=C0,D2+E2-4AF0 2.过点 P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1) 3.若两直线 y=x+2k 与 y=2x+k+1 的交点 P 在圆 x2+y2=4 的内部，则 k 的范围是 1 1 5 k 4.已知圆心为点（2，-3） ，一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是 22 460 xyxy 5.直线 y=3x+1 与曲线 x2+y2=4 相交于 A、B 两点，则 AB 的中点坐标是 31 , 10 10 6.方程表示的曲线是_两个半圆 2 11 (1)xy 7.圆关于直线的对称圆的方程是2)4()3( 22 yx0 yx 22 (4)(3)2xy 8.如果实数 x、y 满足等式，那么的最大值是 3 2 2 23xy y x 9.已知点和圆，求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最短路) 1 , 1(A4)7()5( : 22 yxC 6 程为_8_ 10求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2xy3=0 上的圆的方程; 解：设圆心 P(x0,y0),则有, 2 0 2 0 2 0 2 0 00 )2()3()2()5( 032 yxyx yx 解得 x0=4, y0=5, 半径 r=, 所求圆的方程为(x4)2+(y5)2=10 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 10 11. 一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0 上，且直线y=x截圆所得弦长为 2，求此圆的方程 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 7 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y=0 上， 故设圆方程为 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 222 (3 )()9xbybb 又因为直线y=x截圆得弦长为 2，7 则有+=9b2， 解得b=1 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 2 |3| () 2 bb 2 ( 7) 故所求圆方程为 或 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 22 (3)(1)9xy 22 (3)(1)9xy 点拨点拨: :（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何关 系求a、b、r或D、E、F. 12.在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切xOyO34xy （1）求圆的方程；O （2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取OxAB，PPAPOPB，PA PB A 值范围 解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，OrO34xy 即 得圆的方程为 4 2 1 3 r O 22 4xy （2）不妨设由即得 1212 (0)(0)A xB xxx， 2 4x ( 2 0)(2 0)AB ， 设，由成等比数列，得 ，()P xy，PAPOPB， 222222 (2)(2)xyxyxyA 即 22 2xy ( 2) (2)PA PBxyxy AA， 22 2 4 2(1). xy y 7 由于点在圆内，故PO 22 22 4 2. xy xy ， 由此得 2 1y 所以的取值范围为PA PB A 2 0) ， 第四部分第四部分 作业练习作业练习 1点P (a, b ), Q (b+1 , a1) 关于直线L对称，则L的方程是xy1=0 2过点P（2，1）且被圆x2+y22x+4y=0，截得的弦长最大的直线的方程是 3xy5=0 3如果点（4，a）到直线的距离不大于 3，那么a的取值范围是0，10 0134 yx 4直线当k变动时，所有直线都过定点（3，1） , 031kykx 5直线和直线平行的充要条件是012 ayx01) 13(ayxa 1 0 6 a 或 6.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(tR)表示圆方程，则t的取值范围是 1 1 7 -t 7.点 A 是圆 C: 上任意一点,A 关于直线的对称点也在圆 C 上,则 22 450 xyaxy210 xy 实数 a 的值为-10 8.过圆x2+y2=4 外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则ABP的外接圆方程是(x-2)2+(y- 1)2=5 9M(为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关), 00 yx)0( 222 aayx 2 00 ayyxx 系为相离（填相切、相交、相离） 10.设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则30axy 22 (1)(2)4xyABAB2 3 0 a 11.已知圆 C 过点 A（4,-1）,且与圆相切于点 B（1,2）,则圆 C 22 2650 xyxy 的方程为 2 2 51 3 y x 8 12. 25 22 ()34250 xyxyxy若点，在直线上移动，则的最小值为 13.过点的直线 将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 的斜(1,2)l 22 (2)4xyl 率=k 2 2 14.若圆上至少有三个不同点到直线 :的距离为,则直线 22 44100 xyxyl0axby2 2 的倾斜角的取值范围是 l 5 , 12 12 15.已知 A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0)求点 D 的坐标,使四边形 ABCD 为等腰梯形. 解:设，若，则，易得 D（）( , )D x yAB CDA, ABCD KKADBC 16 3 , 5 5 若，则由，可解得AD BCA ADBC kk ABCD (2,3)D 故点 D 的坐标为 16 3 (, )(2,3) 5 5 得 16.已知的顶点 A 为（3，1） ，AB 边上的中线所在直线方程为，的平ABC610590 xyB 分线所在直线方程为，求 BC 边所在直线的方程4100 xy 解:设，由 AB 中点在上， 11 (410,)Byy610590 xy 可得：，y1 = 5，所以059 2 1 10 2 74 6 11 yy (10,5)B 设 A 点关于的对称点为，4100 xy( ,)A x y 则有.故 )7 , 1 ( 1 4 1 3 1 010 2 4 4 2 3 A x y yx :29650BCxy 17.已知圆：和圆，直线与圆相切于点；圆的圆心在射线 1 C 22 2xy 2 Cl 1 C(1,1) 2 C 上，圆过原点，且被直线 截得的弦长为20 (0)xyx 2 Cl4 3 ()求直线的方程；l ()求圆的方程 2 C 解：解：()（法一）点在圆上，(1,1) 22 1: 2Cxy 直线的方程为，即l2xy20 xy （法二）当直线垂直轴时，不符合题意 lx 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即lxl1(1)yk x 10kxyk 9 则圆心到直线的距离，即：，解得， 1(0,0) Cl2dr 2 |1| 2 1 k k 1k 直线的方程为 l20 xy （）设圆：，圆过原点， 2 C 222 ()(2 )xayar(0)a 2 C 22 5ar 圆的方程为 2 C 222 ()(2 )5xayaa(0)a 圆被直线 截得的弦长为，圆心到直线 ：的距离： 2 Cl4 3 2( ,2 ) C aal20 xy 2 |22| 512 2 aa da 整理得：，解得或 2 12280aa2a 14a ， 0a 2a 圆： 2 C 22 (2)(4)20 xy 18.已知过A（0，1）和且与x轴相切的圆只有一个，求的值及圆的方程(4, )Baa 解:设所求圆的方程为因为点 A、B 在此圆上， 22 0 xyDxEyF 所以， ，10EF , 2 4160DaEFa 又知该圆与 x 轴（直线）相切，所以由，0y 2 040DF