高等数学上册PPT课件.ppt

.,1,高等数学电子教案中国石油大学（华东）理学院基础数学系金贵荣,.,2,前言,.,3,高等数学的基本内容和方法,.,4,.,5,几点要求,.,6,.,7,.,8,第一章函数与极限1.1函数的概念及其初等性质1.2数列极限1.3函数极限1.4无穷小与无穷大1.5函数连续性1.6闭区间上连续函数的性质,.,9,1.1函数的概念及其初等性质,1.1.1预备知识,1.一些常用的符号,.,10,2.实数集,.,11,有理数集的稠密性：,任意两个不同的有理数之间都有无穷多个有理数,（无理数集、实数集）,（无理数、实数）,（无理数、实数）。,实数集的连续性：,实数集与数轴上点的集合之间建立一一对应关系。,或完备的。,.,12,3.常用不等式:,绝对值:,.,13,三角不等式,(平均值不等式),(调和平均值),(几何平均值),(算术平均值),（证明略）,更一般地，,.,14,4.邻域:,.,15,1.1.2函数的概念,一.函数的定义,定义,函数传统的习惯符号：,.,16,注意：,一个函数也可以在其定义域的不同部分分别用不同的解析式子表示，则称之为分段定义的函数，简称分段函数.,.,17,有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则，并用约定的符号予以表示:,称为取整函数,例如：5.3=-4.9=,（求极限时有用）,阶梯曲线,.,18,称为非负小数部分函数,.,19,例3符号函数,.,20,.,21,三.函数的初等性质,1函数的有界性,定理,.,22,证,.,23,2函数的单调性,(),（减）,.,24,.,25,3函数的奇偶性,证,偶函数,奇函数,.,26,4函数的周期性,定义,.,27,.,28,.,29,.,30,1.1.3复合函数和反函数,1.复合函数,定义,.,31,注意:,.,32,2.反函数,定义,.,33,.,34,注意：,求反函数的方法：,.,35,解,.,36,定理,证明略,.,37,注意：,.,38,1.1.4初等函数,基本初等函数（6类）：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.,1.常值函数,2.幂函数,3.指数函数,4.对数函数,.,39,5.三角函数,6.反三角函数,.,40,都是初等函数,.,41,解,.,42,解,.,43,1.2数列极限,一.数列极限的定义,数列是整标函数:,注意：,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,.,44,.,45,问题:,意味着什么?如何用数学语言定量地刻划它.,.,46,.,47,定义1,定义2,.,48,.,49,注意:,用定义”验证数列极限，关键是如何由任意给定的寻找N？,.,50,例1,证,.,51,例2,证,.,52,注:,.,53,例3,证,.,54,证,.,55,综合之，故,.,56,二.收敛数列的性质和运算,定理1（唯一性）,证,由定义,证毕,.,57,定理2（有界性）,证,由定义,证毕,.,58,子数列的概念,定义,左向右任意选取无穷多项，并按它们在原数,列中的次序排成一个新的数列，表为：,简称子列.,.,59,.,60,定理3,证,证毕,推论1,.,61,推论2,证,证毕,.,62,定理4（四则运算）,注意:,四则运算只对有限个收敛数列而言，否则不能用.,.,63,无穷多个收敛数列,这是错误的.,.,64,例5求下列极限,解,.,65,.,66,三.数列收敛的判别,定理5（迫敛性或两边夹定理）,证,证毕,.,67,例6,解,由两边夹定理，,练习册习题7,.,68,例7,解,由两边夹定理，,.,69,单调数列,.,70,定理6（单调有界原理）,（证明略）,上界,下界,例8,证,.,71,.,72,例9,证,.,73,计算可得：,.,74,1.3函数的极限,一.函数在有限点处的极限,.,75,一般地有,.,76,定义1,.,77,几何解释:,.,78,单侧极限:,例如,.,79,左极限,右极限,.,80,定理,左右极限存在但不相等,例1,证,.,81,例2,解,左右极限存在且相等,.,82,用定义”验证函数极限:,关键是如何由寻找？,.,83,证,.,84,证,.,85,证,.,86,问题:,如何用数学语言刻划两个“无限趋近”.,二.函数在无穷远处的极限,.,87,定义2,.,88,定理,1,.,89,几何解释:,.,90,用定义”验证函数极限:,关键是如何由寻找？,具体方法：,.,91,证,.,92,证,.,93,证,.,94,三.函数极限的性质和运算,性质1（唯一性）,性质2（局部有界性）,证,证毕,.,95,性质3（局部保号性）,证,证毕,.,96,性质4（四则运算）,（证明略）,注：四则运算对有限个存在极限的函数而言.,.,97,性质5（极限不等式）,证,注意:,.,98,性质6（迫敛性或两边夹定理）,性质7（海涅(Heine,1821-1881,德)定理）,（证明略）,注：海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系.,（证明略）,.,99,推论:(判断不存在的方法),.,100,证,.,101,性质8（极限的变量代换）,（证明略）,.,102,.,103,.,104,.,105,四.两个重要极限,(1),.,106,证,(,证毕,.,107,(2),.,108,证,证毕,.,109,.,110,.,111,.,112,.,113,.,114,1.4无穷小与无穷大,定义1,一.无穷小及其性质,.,115,定理1（一般极限与无穷小的关系）,定理2,.,116,解,.,117,解,.,118,二.无穷小阶的比较,极限不同,反映了趋向于0的“快慢”程度不同.,观察各极限,.,119,定义2,.,120,.,121,.,122,.,123,.,124,.,125,定理3,证,证毕,.,126,定理4,(乘积因子等价无穷小代换定理),证,证毕,.,127,.,128,注意：,只能对函数的乘积因子作等价无穷小代,换.对于代数和中各无穷小不能作等价,无穷小代换.,否则，因丢失高阶无穷小，,而导致错误的结果.,错误结果！,.,129,导致错误的结果.,.,130,三.无穷大及其性质,定义3,.,131,.,132,性质（无穷大与无穷小的关系）,注意:,（证明略）,.,133,.,134,.,135,定义4,.,136,1.5连续函数,一.函数的连续,.,137,定义1,（增量式定义）,.,138,例1,证,.,139,定义2,定理,.,140,例2讨论下列函数在指定点的连续性：,右不连续,左连续,解,.,141,(函数在区间的连续性),连续函数的图形是一条连续不断的曲线.,定义3,.,142,例3,证,.,143,例4,证,.,144,.,145,二.间断点及其分类,.,146,第一类间断点,特点:,.,147,第二类间断点,.,148,.,149,例5,解,.,150,解,.,151,解,.,152,解,.,153,解,.,154,三.连续函数的运算,(四则运算),定理1,（证明从略）,在其定义域区间上都连续.,.,155,在其定义域区间上都连续.,(反函数的连续性),定理2,（证明略）,在其定义域区间上都连续.,.,156,在其定义域区间上都连续.,.,157,(复合函数的连续性),定理3,极限符号可以进入到连续函数的函数符号,内，它对求复合函数的极限是很有用的.,（证明略）,.,158,一般结论：,.,159,四.初等函数的连续性,注意：,1.初等函数仅在其定义域区间上连续,例如：,函数在这些孤立点的空心邻域内没有定义，,因此在这些孤立点无法讨论其连续性.,在其定义域内不一定连续.,.,160,又如：,函数在0点的空心邻域内没有定义，因此在,0点无法讨论其连续性；,.,161,例6,.,162,.,163,.,164,例7,解,.,165,(i),.,166,(ii),.,167,1.6闭区间上连续函数的性质,性质1（有界性）,注意:若区间是开区间,或闭区间内有间断点,则结论不一定成立.,（证明略）,.,168,