2016年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2， 3，集合 B=3， 4，则（ B=（ ） A 4 B 2， 3， 4 C 3， 4， 5 D 2， 3， 4， 5 2已知 为实数，则实数 t 的值为（ ） A 1 B 1 C D 3如图是一个程序框图，则输出 S 的值是（ ） A 84 B 35 C 26 D 10 4下列说法正确的是（ ） A命题 “若 ，则 x=1”的否命题为： “若 ，则 x 1” B已知 y=f（ x）是 R 上的可导函数，则 “f（ =0”是 “函数 y=f（ x）的极值点 ”的必要不充分条件 C命题 “存在 x R，使得 x2+x+1 0”的否定是： “对任意 x R，均有 x2+x+1 0” D命题 “角 的终边在第一象限角，则 是锐角 ”的逆否命题为真命题 5高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 6已知点 及抛物线 4（ x， y），则 |y|+|最小值是（ ） A B 1 C 2 D 3 7已知 A（ 2， 1）， O（ 0， 0），点 M（ x， y）满足 ，则 的最大值为（ ） A 5 B 1 C 0 D 1 8已知下列三个命题： 若两组数据 的平均数相等，则它们的标准差也相等； 在区间 1， 5上随机选取一个数 x，则 x 3 的概率为 ； 直线 x+y+1=0 与圆 相切； 其中真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 9已知函数 的图象向右平移 个单位后与原图象重合，则 的最小值是（ ） A 3 B C D 10奇函数 f（ x）的定义域为 R，若 f（ x+1）为偶函数，且 f（ 1） =2，则 f（ 4） +f（ 5）的值为（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，请把答案填写在答题卡相应位置 . 11已知 ，则 30 2）的值为 _ 12随机抽取 100 名年龄在 10， 20）， 20， 30） ， 50， 60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于 30 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 22 人，则在 50， 60）年龄段抽取的人数为 _ 13已知 等比数列，下列结论 第 3 页（共 19 页） a3+2 ； 若 a3= a1= 若 其中正确结 论的序号是 _ 14在平行四边形 ， 为 中点，若 则长为 _ 15若函数 f（ x） = 2 存在唯一的零点，则实数 t 的取值范围为 _ 三、解答题：本大题共 6 个小题，满分 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知函数 f（ x） =x+ ） +1 （ 1）求函数 f（ x）的单调递减区间； （ 2）在 ， a， b， c 分别是角 A、 B、 C 的对边 f（ C） = ， b=4， =12，求c 17有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为 1、 2、 3、 4 的 4 个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为 2、 4、 6 的 3 个完全相同的球 （ ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于 8 的概率； （ ）从甲袋中取 2 个球，从 乙袋中取一个球，求所取出的 3 个球中含有编号为 2 的球的概率 18已知等比数列 公比 q 1， ，且 4 成等差数列，数列 足：+ n 1） 3n+1， n N （ I）求数列 通项公式； （ ）若 8 恒成立，求实数 m 的最小值 19如图，在三棱锥 P ， 平面 0， E 是 中点， M 是 N 点在 ，且 4B （ ）证明：平面 平面 （ ）证明： 平面 20如图： A， B， C 是椭圆 的顶点，点 F（ c， 0）为椭圆的右焦点，离心率为 ，且椭圆过点 （ ）求椭圆的方程； 第 4 页（共 19 页） （ ）若 P 是椭圆上除顶点外的任意一点，直线 x 轴于点 E，直线 交于点 D，连结 直线 斜率为 k，直线 斜率为 明： 21已知函数 f（ x） = ）求函数 的最大值 （ ）证明： ； （ ）若不等式 x） a+x 对所有的 都成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本 大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2， 3，集合 B=3， 4，则（ B=（ ） A 4 B 2， 3， 4 C 3， 4， 5 D 2， 3， 4， 5 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据全集 U 求出 A 的补集，找出 A 补集与 B 的并集即可 【解答】 解： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2， 3， 4， 5， B=3， 4， 则（ B=3， 4， 5 故选： C 2已知 为实数，则实数 t 的值为（ ） A 1 B 1 C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为 0 求得 t 值 【解答】 解： t+i， 2i， = ， 又 为实数， 4t+1=0，即 t= 故选： D 3如图是一个程序框图，则输出 S 的值是（ ） 第 6 页（共 19 页） A 84 B 35 C 26 D 10 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 k=1 时，不满足退出循环的条件，执行循环后， S=1， k=3； 当 k=3 时，不满足退出循环的条件，执行循环后， S=10， k=5； 当 k=5 时，不满足退出循环的条件，执行循环后， S=35， k=7； 当 k=7 时，满足退出循环的条件， 故输出的 S 值为 35， 故选： B 4下列说法正确的是（ ） A命题 “若 ，则 x=1”的否命题为： “若 ，则 x 1” B已知 y=f（ x）是 R 上的可导函数，则 “f（ =0”是 “函数 y=f（ x）的极值点 ”的必要不充分条件 C命题 “存在 x R，使得 x2+x+1 0”的否定是： “对任意 x R，均有 x2+x+1 0” D命题 “角 的终边在第一象限角，则 是锐角 ”的逆否命题为真命题 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 利用命题的定义判断 A 的正误；函数的极值的充要条件判断 B 的正误；命题的否定判断 C 的正误；四种命题的逆否关系判断 D 的正误； 【解答】 解：对于 A，命题 “若 ，则 x=1”的否命题为： “若 ，则 x 1”，不满足否命题的定义，所以 A 不正确； 对于 B，已知 y=f（ x）是 R 上的可导函数，则 “f（ =0”函数不一定有极值， “函数y=f（ x）的极值点 ”一定有导函数为 0，所以已知 y=f（ x）是 R 上的可导函数，则 “f（ 0”是 “函数 y=f（ x）的极值点 ”的必要不充分条件，正确； 对于 C，命题 “存在 x R，使得 x2+x+1 0”的否定是： “对任意 x R，均有 x2+x+1 0”，不满足命题的否定形式，所以不正确； 对于 D，命题 “角 的终边在第一象限角，则 是锐角 ”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以 D 不正确； 故选： B 5高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体 积是原直三棱柱的体积的（ ） 第 7 页（共 19 页） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积 【解答】 解：由俯视图可知三棱柱的底面积为 =2， 原直三棱柱的体积为 2 4=8 由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为 2， 四棱锥的体积为 =4 该几何体体积与原三棱柱的体积比为 故选 C 6已知点 及抛物线 4（ x， y），则 |y|+|最小值是（ ） A B 1 C 2 D 3 【考点】 抛物线的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系 【分析】 抛物线的准线是 y=1，焦点 F（ 0， 1）设 P 到准线的距离为 d，利用抛物线的定义得出： y+|d 1+| 1 | 1，利用当且仅当 F、 Q、 P 共线时取最小值，从而得出故 y+|最小值 【解答】 解：抛物线 y 的准线是 y=1，焦点 F（ 0， 1） 设 P 到准 线的距离为 d，则 y+|d 1+| 1 | 1=3 1=2（当且仅当 F、 Q、 P 共线时取等号） 故 y+|最小值是 2 故选： C 7已知 A（ 2， 1）， O（ 0， 0），点 M（ x， y）满足 ，则 的最大值为（ ） 第 8 页（共 19 页） A 5 B 1 C 0 D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 先画出平面区域 D，进行数量积的运算即得 z=2x+y 5，所以 y= 2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出 z 的最大值即可 【解答】 解： 表示的平面区域 D，如图中阴影部分所示， A（ 2， 1）， O（ 0， 0），点 M（ x， y） 的 =（ 2， 1） （ x 2， y 1） =2x+y 5； y= 2x+5+z； 5+z 表示直线 y= 2x+5+z 在 y 轴上的截距，所以截距最大时 z 最大； 如图所示，当该直线经过点 2， 2）时，截距最大，此时 z 最大； 所以点 2， 2）代入直线 y= 2x+5+z 即得 z=1 故选： D 8已知下列三个命题： 若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； 在区间 1， 5上随机选取一个数 x，则 x 3 的概率为 ； 直线 x+y+1=0 与圆 相切； 其中真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据标准差的含义，可判断 ；根据几何概 型概率计算公式，可判断 ；根据直线与圆的位置关系，可判断 【解答】 解： 若两组数据的平均数相等，不表示离散程度相等，则它们的标准差可能不相等，故为假命题； 在区间 1， 5上随机选取一个数 x，则 x 3 的概率为 = ，故为假命题； 第 9 页（共 19 页） （ 0， 0）点到直线 x+y+1=0 的距离 d= ，故直线 x+y+1=0 与圆 相切，故为真命题； 故选： B 9已知函数 的图象向右平移 个单位后与原图象重合，则 的最小值是（ ） A 3 B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 函数 的图象向右平移 个单位后与原图象重合可判断出 是周期的整数倍，由此求出 的表达式，判断出它的最小值 【解答】 解： 函数 的图象向右平移 个单位后与原图象重合， =n ， n z， =3n， n z， 又 0，故其最小值是 3 故选： A 10奇函数 f（ x）的定义域为 R，若 f（ x+1）为偶函数，且 f（ 1） =2，则 f（ 4） +f（ 5）的值为（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【考点】 抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据函数的奇偶性的性质，得到 f（ x+4） =f（ x），即可得到结论 【解答】 解： f（ x+1）为偶函数， f（ x）是奇函数， 设 g（ x） =f（ x+1）， 则 g（ x） =g（ x）， 即 f（ x+1） =f（ x+1）， f（ x）是奇函数， f（ x+1） =f（ x+1） = f（ x 1）， 即 f（ x+2） = f（ x）， f（ x+4） =f（ x+2+2） = f（ x+2） =f（ x）， 则 f（ 4） =f（ 0） =0， f（ 5） =f（ 1） =2， f（ 4） +f（ 4） =0+2=2， 故选： A 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，请把答案填写在答题卡相应位置 . 11已知 ，则 30 2）的值为 【考点】 二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数 第 10 页（共 19 页） 【分析】 利用诱导公式求得 15 ） = ，再利用二倍角的余弦公式可得 30 2）=1 215 ），运算求得结果 【解答】 解： 已知 ， 15 ） = ， 则 30 2） =1 215 ） = ， 故答案为 12随机抽取 100 名年龄在 10， 20）， 20， 30） ， 50， 60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于 30 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 22 人，则在 50， 60）年龄段抽取的人数为 2 【考点】 频率分布直方图 【分析】 根据频率分布直方图，求出样本中不小 于 30 岁人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数 【解答】 解：根据频率分布直方图，得； 样本中不小于 30 岁的人的频率是 1 10+10= 不小于 30 岁的人的频数是 100 5； 从不小于 30 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 22 人， 在 50， 60）年龄段抽取的人数为 22 =22 =2 故答案为： 2 13已知 等比数列，下列结 论 a3+2 ； 若 a3= a1= 若 其中正确结论的序号是 【考点】 命题的真假判断与应用 第 11 页（共 19 页） 【分析】 根据等比数列的性质结合不等式的关系进行判断即可 【解答】 解： 1） n，则 a3+2成立，故 错误， 2|2 ；故 正确， 若 1） n，则 a3= 1，但 1， ， a1=成立，故 错误， 若 0， 立，故 正确， 故正确的是 ， 故答案为： 14在平行四边形 ， 为 中点，若 则长为 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 用 表示出 ，代入数量积公式解出 【解答】 解： ， = = + =（ ） （ ） = + + =1 = ， = =1，解得 故答案为： 1 15若函数 f（ x） = 2 存在唯一的零点，则实数 t 的取值范围为 t 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 求解导数 f（ x） = 6类讨论得出极值点， 根据单调性判断极值的大小，即可得出零点的个数 【解答】 解： 函数 f（ x） = 2， f（ x） = 6， x=0， x= （ 1）当 t=0 时， f（ x= 2 单调递减， f（ 0） =1 0， f（ 2） = 15 0 存在唯一的零点，是正数 （ 2）当 t 0 时， f（ x） = 60，即 0 f（ x） = 600，即 x 0， x 第 12 页（共 19 页） f（ x）在（ ， 0），（ ， +）单调递减 在（ 0， ）单调递增 极大值 f（ ） f（ 1），极小值 f（ 0） =1 0， 存在唯一的零点， （ 3）当 t 0 时， f（ x） = 60，即 x 0 f（ x） = 600，即 x ， x 0 f（ x）在（ ， ），（ 0， +）单调递减 在（ ， 0）单调递增 极小值 f（ ） f（ 1），极大值 f（ 0） =1 0， 只需极小值 f（ ） 0 即可， +1 0，且 t 0 t 0， 综上： t 0，或 t 0 故答案为： t 三、解答题：本大题共 6 个小题，满分 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知函数 f（ x） =x+ ） +1 （ 1）求函数 f（ x）的单调递减区间； （ 2）在 ， a， b， c 分别是角 A、 B、 C 的对边 f（ C） = ， b=4， =12，求c 【考点】 解三角形；两角和与差的余弦函数 【分析】 （ 1）使用和角公式展开再利用二倍角公式与和角的正弦公式化简 f（ x），利用正弦函数的单调性列出不等式解出； （ 2）根据 f（ C） = 求出 C，根据， =12 解出 a，使用余弦定理 解出 c 第 13 页（共 19 页） 【解答】 解：（ 1） f（ x） =+1= +1= 2x+ ）+ 令 2x+ ，解得 x 函数 f（ x）的单调递减区间是 ， ， k Z （ 2） f（ C） = 2C+ ） + = ， 2C+ ） =1， C= = a=12， a=2 由余弦定理得 c2=a2+22+16 24=4 c=2 17有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为 1、 2、 3、 4 的 4 个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为 2、 4、 6 的 3 个完全相同的球 （ ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于 8 的概率； （ ）从甲袋中取 2 个球，从乙袋中取一个球，求所取出的 3 个球中含有编号为 2 的球的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ ）利用列举法能求出两球编号之和小于 8 的概率 （ ）从甲袋中任取 2 球，从乙袋中任取一球，先求出所有基本事件个数，再求出含有编号2 的基本事件个数，由此能求出所取出的 3 个球中含有编号为 2 的球的概率 【解答】 解：（ ）将甲袋中编号分别为 1， 2， 3， 4 的 4 个分别记为 将乙袋中编号分别为 2， 4， 6 的三个球分别记为 从甲、乙两袋中各取一个小球的基本事件为： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 共 12 种， 其中两球面镜编号之和小于 8 的共有 8 种，所以两球编号之和小于 8 的概率为： = （ ）从甲袋中任取 2 球，从乙袋中任取一球，所有基本事件个数 n= =18， 其中不含有编号 2 的基本事件有 ， 含有 编号 2 的基本事件个数 m=18 6=12， 所取出的 3 个球中含有编号为 2 的球的概率 p= 18已知等比数列 公比 q 1， ，且 4 成等差数列，数列 足：+ n 1） 3n+1， n N （ I）求数列 通项公式； （ ）若 8 恒成立，求实数 m 的最小值 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 第 14 页（共 19 页） 【分析】 （ I）数列 首项为 1，公比为 q 的等比数 列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得 n 1，再将 n 换为 n 1，两式相减可得 n 1； （ 2）若 8 恒成立，即为 m 的最大值，由 ，作差，判断单调性，即可得到最大值，进而得到 m 的最小值 【解答】 解：（ I） 数列 首项为 1，公比为 q 的等比数列， an=1， 由 4 成等差数列，可得 2a3=a1+4， 即为 2+q+14，解得 q=3（负的舍去）， 即有 n 1， +2+3n 1 n 1） 3n+1， 2+3n 21=（ n 1 1） 3n 1+1（ n 2）， 两式相减得： 3n 1 n 1） 3n（ n 2） 3n 1=（ 2n 1） 3n 1， n 1， 当 n=1 时， ， 即 满足上式， 数列 通项公式是 n 1； （ 2）若 8 恒成立，即为 m 的最大值， 由 ， n 2 时， 1= ， 1= = ， 可得 n=2， 3， ， 6 时， 1； n=7， 时， 1 即有 n=5 或 6 时， 得最大 值，且为 ， 即为 m ，可得 m 的最小值为 19如图，在三棱锥 P ， 平面 0， E 是 中点， M 是 N 点在 ，且 4B （ ）证明：平面 平面 （ ）证明： 平面 第 15 页（共 19 页） 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与 平面平行的判定；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ I）由 平面 得 结合 出 平面 而平面 平面 （ 点 Q，连结 可证明平面 平面 而 平面 【解答】 证明：（ I） 平面 面 0， 又 面 面 B=A， 平面 面 平面 平面 （ 点 Q， 连结 M 是 点， 又 C=P， 平面 面 M=Q， 面 面 平面 平面 面 平面 20如图： A， B， C 是椭圆 的顶点，点 F（ c， 0）为椭圆的右焦点，离心率为 ，且椭圆过点 （ ）求椭圆的方程； （ ）若 P 是椭圆上除顶点外的任意一点，直线 x 轴于点 E，直线 交于点 D，连结 直线 斜率为 k，直线 斜率为 明： 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 第 16 页（共 19 页） 【分析】 （ I）由题意得 = ， + =1， a2=b2+立解得即可得出椭圆方程 （ ）由截距式可得直线 方程为： y= x+2直线 方程为： y=k（ x 4），与椭圆方程联立可得：（ 4） 32416=0，又点 P 在椭圆上，利用根与系数的关系可得 P 利用斜率计算公式可得 得直线 方程，可得E 把直线 方程联立可得 D 可得直线 简整理即可证明 【解答】 解：（ I）由题意得 = ，