复变函数论第6章_第1页
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第六章留数理论及其应用,1留数以及留数定理2用留数定理计算实积分,6.1留数,1、留数定义,3、留数的求法,4、小结与思考,2、留数定理,1.留数的定义,或,注解1.我们定义的留数Res(f,z0)与圆C的半径r无关：事实上，在0|z-z0|R内，f(z)有洛朗展式：,而且这一展式在C上一致收敛。逐项积分，我们有,因此，,注解3.如果z0是f(z)的可去奇点，那么,定理：设D是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C。设f(z)在D内除去有孤立奇点,外，在每一点都解析，并且它在C上每一点都解析，那么我们有：,这里沿C的积分按关于区域D的正向取的。,2.留数定理,C0,D,注解1.留数定理在两个从定义上看，完全不同，也不相干的概念之间架起一个桥梁，是非常重要的。注解2.具体计算一定要注意前面的系数,证明：以D内每一个孤立奇点zk为心，作圆Ck，,使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从D中除去以这些Ck为边界的闭圆盘的一个区域G，其边界是C以及Ck，,在G及其边界所组成的闭区域上，f(z)解析。因此根据柯西定理，,留数定理的证明,3.留数的求法,一般规则,规则1：如果a为f(z)的可去奇点,成洛朗级数求,规则2：如果a为f(z)的本性奇点，,首先将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数，然后利用此公式求留数，特别是当a为本性奇点时，一般只能利用此法,例1,解,由于,例2,解,由于,例3求:,规则3：如果a为f(z)的极点,则有如下计算规则,其中(z)(由定理5.4)在点a解析,(z)0,则:,定理1.2:设a为f(z)的n级极点,i.e.,这里符号(0)(a)=(a),且有,证明：,推论1.3:设a为f(z)的一级极点,则,推论1.4:设a为f(z)的二级极点,则,例4,解,定理1.5,证明,例5函数,因此,有两个一阶极点，这时,例6函数,在z=0有三阶极点，则,因此,由上述公式也可得：,例7,解,例8函数,在z=i有二阶极点。这时,令z=i+t，那么在,的泰勒展式中，t的系数就是f(z)在i的留数。写出h(t)中每个因子的到t的一次项，我们有：,当|t|1时,因此当|t|0，计算积分,解：这里,共有四个一阶极点为ai,bi,其中只有ai,bi,在上半平面内,解,例3,引理3.1,定理3.2,则有,注:将上式分开实虚部,就可得到形如,的积分.,例1.计
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