8.3完全平方公式与平方差公式

8.3完全平方公式,合肥四十六中数学组徐华祥,(ab)2=a22ab+b2,(a+b)2=a2+2ab+b2,学习目标1，理解并掌握完全平方公式2，会利用完全平方公式进行计算,多项式的乘法法则：,(a+b)(m+n)=,更特殊的形式：(a+b)(a+b)，(a-b)(a-b),am+an+bm+bn,特殊形式：(x+a)(x+b)=,x2+(a+b)x+ab,根据多项式的乘法法则计算：(a+b)2，(a-b)2,(a+b)2=(a+b)(a+b)-幂的意义=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2-多项式乘法法则所以：(a+b)2=a2+2.a.b+b2,平方,平方,根据多项式的乘法法则计算：(a+b)2，(a-b)2,(a-b)2=(a-b)(a-b)-幂的意义=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2-多项式乘法法则所以：(a-b)2=a2-2.a.b+b2,平方,平方,。上面两个公式，今后可以直接应用于运算，称为完全平方公式。在遇到形式相同的多项式相乘时，运用公式直接写出结果，从而省略了乘法运算的过程，达到简化运算的目的。,初识完全平方公式,(a+b)2-(a2+b2)=,a2+2ab+b2-a2-b2,=2ab,(a+b)2=a2+2ab+b2.(ab)2=a22ab+b2.,结构特征:,左边是,的平方;,二项式,右边是,a2+b2,a2+b2,(两数和),(差),a+b,ab,两数的平方和,+,加上,(减去),2ab,2ab,这两数乘积的两倍.,2,2,(ab)2=a22ab+b2,二次三项式，,语言表述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍。,所以：(ab)2=a22.a.bb2,平方,平方,想一想,也可以这样得到：,小试牛刀,1.回答下列问题:(1)(a+2y)2是哪两个数的和的平方?(a+2y)2=()2+2()()+()2(2)(2x5y)2是哪两个数的差的平方?(2x-5y)2=()2-2()()+()2,a,a,2y,2y,2x,2x,5y,5y,(2x5y)2可以看成2x与5y的和的平方.,(3)(2x5y)2可以看成哪两个数的和的平方?,2.利用完全平方公式计算:,(a+b)2=a2+2ab+b2.(ab)2=a22ab+b2.,例1利用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2；(2)(y-0.5x)2;(3)(-ab)2;(4)(b-a)(-a+b),解:(1)(4m+n)2=,4m,(4m)2,n,n2,2,4m,n,+,+,(2)(y-0.5x)2=,=16m2+8mn+n2,y2-2y0.5x+(0.5x)2,=y2-xy+0.25x2,(3)(-ab)2=,(-a)2-2(-a)b+b2,=a2+2ab+b2,(4)(b-a)2=,b2-2ba+a2,=b2-2ab+a2,(a+b)2=a2+2ab+b2.(ab)2=a22ab+b2.,这与(a+b)2=a2+2ab+b2(ab)2=a22ab+b2有何关系,(-ab)2=(a+b)2,(ba)2=(a-b)2,纠错练习,指出下列各式中的错误，并加以改正：(1)(2a1)22a22a+1;(2)(2a+1)24a2+1；(3)(a1)2a22a1.,解:(1),第一数被平方时,未添括号;,第一数与第二数乘积的2倍少乘了一个2;,应改为:(2a1)2(2a)222a1+1;,(2)少了第一数与第二数乘积的2倍(丢了一项);,应改为:(2a+1)2(2a)2+22a1+1;,(3)第一数平方未添括号,第一数与第二数乘积的2倍错了符号;,第二数的平方这一项错了符号;,应改为:(a1)2(a)22(a)1+12;,随堂练习,(1)(x+3)2；(2)(y-5)2;(3)(1-x)(-x+1);(4)(2x-y)2,1、计算：,=,+,+,+,(a+b)2=a2+2ab+b2,几何解释:,a2,ab,b(ab),=,a22ab+b2.,=,(ab)2,ab,ab,b(ab),(ab)2,(ab)2=a22ab+b2,a2,ab,ab,b2,本节课你的收获是什么？,小结,本节课你学到了什么?,形式上：,结果上：,完全平方公式的结果是三项，即(ab)2a22ab+b2;,有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.,在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边,做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意添括号,是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键,数学公式的美感,(a+b)2=a2+2ab+b2.(ab)2=a22ab+b2.,注意完全平方公式的特征：