上海八年级数学梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及应用

初二数学梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及应用上海科技版 教学内容：梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及应用二. 重点、难点重点：等腰梯形的性质与判定定理。难点：等腰梯形的性质与判定定理的应用。三. 具体过程（一）梯形的有关概念 1. 梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形注：（1）梯形是特殊的四边形 （2）有且只有一组对边平行。 2. 梯形中平行的两边叫做梯形的底，短边为上底，长边为下底，与位置无关，不平行的两边叫做梯形的腰，梯形两底之间的距离叫做梯形的高，它是一底上的一点向另一底作的垂线段的长度。 3. 梯形的分类梯形（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（二）梯形的性质 1. 一般梯形的性质在梯形ABCD中，ADBC，则A+B=，C+D= 2. 直角梯形具有的特征在直角梯形ABCD中，若ADBC，B=，则A=，C+D= 3. 等腰梯形具有的性质（1）等腰梯形同一底上的两个内角相等（2）等腰梯形的两条对角线相等（3）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。 4. 等腰梯形的判定（1）利用定义：（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形【典型例题】 例1. 如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，对角线AC平分BAD，B，CD=2cm，则梯形ABCD的面积为A. B. C. D. 分析：作CEAB于E，由B=，AC平分BAD易知1=2=又ABCD，1=3=，2=3AD=DC=BC=2cm，ACB=故AB=2BC=4cm又4=，则BE=1cmCE=故选A例2. 如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，点E是AD延长线上一点，DE=BC，（1）求证：E=DBC（2）判断ACE的形状分析：（1）由DEBC，得BCED是平行四边形故E=DBC（2）由ABCD是等腰梯形，可得ABCDBC，得DBC=ACB又EAC=ACB，故DBC=EAC，由（1）得E=EAC所以ACE是等腰三角形。（1）证明：ADBC，DE=BC四边形BCED是平行四边形DBC=E（2）解：四边形ABCD是等腰梯形BD=AC，AB=CD又BC=CBABCDBCDBC=ACB又ADBCEAC=ACBEAC=DBC由（1）知E=DBC，E=EACACE是等腰三角形 例3. 如图，梯形ABCD中，ADBC，AD=1，BC=4，AC=3，BD=4，求。分析：本题采用平移一条对角线的方法，把已知线段都归结到一个三角形中去延长BC至E点，使CE=AD，则ACED是平行四边形，AC=DE又ADBC，而BD=4，DE=AC=3，BE=BC+CE=5，DBE是Rt，解：延长BC至E点，使CE=AD，连DEADCE，四边形ACED是平行四边形，AC=DE=3过D作DFBC于F点，ADBC，又在BDE中，BD=4，DE=3，BE=BC+CE=5，BDE是直角三角形 例4. 如图，已知：AD是ABC边BC上的高线，E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形EDGF是等腰梯形。分析：在证明梯形时，不仅需要证明一组对边平行，而且需证明另一组对边不平行。证明：在ABC中，F、G、E分别是AB、AC、BC的中点FGBC，即FGED，EF=在RtADC中，G是斜边AC的中点，DG=，DG=EFEF是ABC的中位线，EFACDG与AC相交，故在同一平面内，EF与DG所在直线相交即EF与DG不平行，四边形EDGF是梯形又EF=DG（已证）四边形EDGF是等腰梯形 例5. 有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农民种植（即将梯形面积两等分），在图1和图2中，试设计两种方案，并说明理由。 图1图2分析：本题是充分利用梯形的面积公式和梯形的性质解：设梯形的上、下底的长分别为a、b，高为h，根据梯形的图形特征，现提供如下两种设计方案。方案1：如图3，连上、下底的中点E、F则 图3 图4方案2：如图4，分别量出梯形上，下底a，b的长，在下底BC上截取BE=，连AE，则，【模拟试题】1. 等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm，则等腰梯形的下底角为_. 2. 如图，在梯形ABCD中，DCB=90，ABCD，AB=25，BC=24. 将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为_. 3. 如图所示，图（1）中梯形符合_条件时，可以经过旋转和翻折形成图（2）. 4. 如图所示，梯形纸片ABCD，B=60，ADBC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE=_. 5. 如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，对角线AC，BD相交于点O，如下四个结论：梯形ABCD是轴对称图形；DAC=DCA；AOBDOC. 请把其中正确结论的序号填在横线上：_. 6. 若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形一内角是（ ） A. 90B. 60 C. 45 D. 307. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，CA平分BCD，CD=5，则AD的长是（ ） A. 6 B. 5C. 4 D. 38. 如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，ACBC，点E是AB的中点，ECAD，则ABC等于（ ） A. 75 B. 70 C. 60 D. 309. 如图，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B=60，AD=2，BC=8，则此等腰梯形的周长为（ ） A. 19 B. 20 C. 21D. 22 10. 如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90至ED，连AE、CE，则ADE的面积是（ ）A. 1B. 2 C. 3 D. 不能确定 11. 已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E是底边BC的中点，连接AE、DE. 求证：ADE是等腰三角形. 12. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD，ADC=120. 求证：（1）BDDC；（2）若AB=4，求梯形ABCD的面积. 13. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，B=60，DEAB. 求证：（1）DE=DC；（2）DEC是等边三角形. 【试题答案】1. 60 2. 30 3. 底角为60且腰长等于上底长 4. 4 5. ， 6. B 7. B 8. C 9. D 10. A11. ABEDCE（SAS），AEB=DEC，而DAE=AEB. ADE=DEC. DAE=ADE，ADE是等腰三角形 12.