河北定州地区高二数学欧拉定理讲解资料

预备知识,多面体和正多面体,多面体和正多面体介绍,棱柱、棱锥都是一些平面多边形围成的几何体。若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。许多矿物结晶体，都具有多面体的形状。例如：,食盐晶体,石膏晶体,明矾晶体,多面体的分类,第一种分类方法：把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体（图1）,图1,图2,想一想，图2是凸多面体吗？,多面体的分类,第二种分类方法：一个多面体至少有四个面。多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等。例如，三棱锥是四面体，三棱柱是五面体，正方体是六面体等,正多面体,食盐晶体,明矾晶体,我们观察食盐和明矾的晶体可以发现：,它们每个面都是有相同边数的正多边形，并且以每个顶点为其一端，都有相同数目的棱,一般地，每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。,正多面体,例如：正方体就是一种正多面体,问题：以下哪些是多面体？哪些是正多面体呢？,究竟世上有多少个正多面体？,5,四面体Tetrahedron,六面体Hexahedron/Cube,八面体Octahedron,十二面体Dodecahedron,二十面体Icosahedron,为什么世界上只有五种正多面体呢？,研究性学习课题,多面体欧拉定理的发现,多面体的欧拉公式,一、欧拉公式的发现,二、欧拉公式的证明,三、欧拉公式的应用,多面体的欧拉公式,一、欧拉公式的发现,我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数与边数相等；我们按边数可以把多边形进行分类：三角形、四边形、五边形、；同类的多边形具有一些相同的性质：例如我们知道的内角和相等；通过前面的学习，我们的几何观点，已经由平面扩展到了立体，了解和认识了一些简单的多面体。多面体是由它的面围成的立体图形，这些面的交线形成了棱，棱与棱相交形成顶点。下面我们来研究多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系。,我们用V表示多面体的顶点数F表示多面体的面数E表示多面体的棱数,探索与发现,下面我来观察：,正四面体,正六面体,正八面体,探索与发现,正十二面体,正二十面体,探索与发现,欧拉定理（公式）的探索与发现,4,4,6,V+FE=2,8,6,12,6,8,12,20,12,30,12,20,30,V+FE=2,V+FE=2,V+FE=2,V+FE=2,猜想公式:V+FE=2,欧拉定理（公式）的探索与发现,欧拉定理（公式）的探索与发现,随意取几个棱柱或棱锥，上述猜想V+FE=2对它们还成立吗？,欧拉定理（公式）的探索与发现,下面的几个多面体对上述猜想还成立吗？,欧拉定理（公式）的探索与发现,下面这个多面体对猜想还成立吗？,欧拉定理（公式）的探索与发现,由上面几组图形，我们可以看出，猜想公式V+F-E=2并不是对所有的多面体都成立。那么，它到底对于什么样的多面体成立呢？为此，我们有必要将前面的多面体进行回顾一下,欧拉定理（公式）的探索与发现,欧拉定理（公式）的探索与发现,经过连续变形，它会变成,欧拉定理（公式）的探索与发现,有了上面的定义，我们可以做进一步的猜想：一般的，简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间有关系,V+FE=2,我们称这个式子为欧拉公式,二、欧拉公式的证明,选读,首先看最简单的多面体四面体ABCD:,2、欧拉定理（公式）的证明,去掉面BCD,四面体的顶点数V、棱数E、剩下的面数F-1变形后都未变。因此，要研究V、E、F的关系，只需研究去掉一个面的平面图形即可。,（1）最外面的多边形去掉一条边（棱），就减少一个面，直至树枝图形。,2、欧拉定理（公式）的证明,在这过程中(F-1)-E和V的值都不改变，从而(F-1)+V-E=1不改变，即F+V-E=2成立；,（2）再从树枝形图中，去掉一条棱，就减少一个顶点，直至剩下一条棱。,2、欧拉定理（公式）的证明,在这过程中V-E和F-1的值都不变，(F-1)+V-E=0+2-1=1，从而F+V-E=2不变；,（3）因为对任意的简单多面体，运用这样的方法，最后都是剩下一条棱，所以都可以得到上述结论。从而欧拉公式对任意简单多面体都是正确的。,2、欧拉定理（公式）的证明,3、欧拉示性数,令F(p)=V+F-E，则F(p)叫做欧拉示性数。,显然，简单多面体的欧拉示性数为二；即F(p)=2。,不同种类的多面体的欧拉示性数是不同的,例1、求证（1）若一个简单多面体的面都是三角形，则F=2V-4；（2）若一个简单多面体的面都是四边形，则F=V-2；,3、欧拉定理（公式）的应用,（3）若一个简单多面体的面都是五边形，则F、V有何关系？,3F=2V-4,例2、C60是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体。这个多面体有60个顶点，每个顶点处都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能算出C60中有多少个五边形和六边形吗？,3、欧拉定理（公式）的应用,课堂小