数学推理与证明、数系与复数复习课件

第十二单元推理与证明、数系的扩充与复数的引入,第一节合情推理与演绎推理,基础梳理,1.合情推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.（3）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.,2.演绎推理（1）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理;小前提所研究的特殊情况;结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断.,典例分析,题型一归纳推理,【例1】如图所示：一个质点在第一象限运动,在第一秒钟内它由原点运动到（0，1），而后接着按图所示在与x轴,y轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么2000秒后，这个质点所处位置的坐标是()A.(44,25)B.(45,25)C.(25,45)D.(24,44),分析归纳走到（n,n）处时，移动的长度单位及方向.,解质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2,方向向右；质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4,方向向上；质点到达（3,3）处，走过的长度单位是12=2+4+6,方向向右；质点到达（4,4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上；猜想：质点到达(n,n)处，走过长度单位是2+4+6+2n=n(n+1),且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同.所以2000秒后是指质点到达（44,44）后，继续前进了20个单位，由图中规律可得向左前进了20个单位即质点位置是（24,44）.,学后反思归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.,举一反三,在数列an中，(nN*),试猜想这个数列的通项公式.,解析,题型二类比推理,【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.,分析实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比较.,解（1）两实数相加后，结果是一个实数;两向量相加后，结果仍是向量;（2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即：,a+b=b+a,a+b=b+a,（a+b）+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c);（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a+x=0与a+x=0都有唯一解，x=-a与x=-a；（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向,即a+0=a.,学后反思（1）类比推理是个别到个别的推理，或是由一般到一般的推理.（2）类比是对知识进行理线串点的好方法.在平时的学习与复习中，常常以一到两个对象为中心，把与它有类似关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆运用.,举一反三,2.类比圆的下列特征，找出球的相关特征.（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;（2）平面内不共线的三个点确定一个圆；（3）圆的周长和面积可求;（4）在平面直角坐标系中,以点为圆心，r为半径的圆的方程为,解析(1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球;(2)空间中不共面的四个点确定一个球;(3)球的表面积与体积可求;(4)在空间直角坐标系中，以点为球心，r为半径的球的方程为.,题型三演绎推理,【例3】(12分)已知函数,其中a0,b0,x(0,+)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.,分析利用演绎推理证明.,证明设,.1则.3当时，60,即,.7f(x)在(0,上是减函数；.8当时，,.100,即,.11f(x)在,+)上是增函数.12,学后反思这里用了两个三段论的简化形式，都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大前提是增函数的定义，小前提分别是f(x)在（0,上满足减函数的定义和f(x)在,+)上满足增函数的定义，这是证明该问题的关键.,举一反三,3.用三段论证明函数f(x)=-+2x在(-,1上是增函数.,证明设(-,1,(-,1,则,易错警示,【例】在RtABC中，三边长分别为a,b,c,则.类比在三棱锥中有何结论?,错解在三棱锥V-ABC中,有,错解分析错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形，在解题中没有把三棱锥的题设与其进行类比.,正解在三棱锥V-ABC中，VAVBVC,则,考点演练,10.(2009山东青岛)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:则第n个图案中有白色地面砖的块数是.,解析由图可知,每增加1个图形,就增加4块白色地面砖,是等差数列.设第1个有a1=6块白色地面砖,则第n个有=6+4(n-1)=4n+2块白色地面砖.,答案4n+2,11.观察下列等式:由上面两式的结构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想.,解析由可看出,两角差为30,则它们的相关形式的函数运算式的值均为.猜想:若-=30,则=30+,也可直接写成下面进行证明:故,12.若函数,分别计算g(4)-2f(2)g(2)和g(6)-2f(3)g(3)的值,由此归纳出函数f(x)和g(x)的对于所有实数x都成立的一个等式,并加以证明.,解析g(4)-2f(2)g(2)=0,g(6)-2f(3)g(3)=0,由此归纳出g(2x)-2f(x)g(x)=0.证明如下:,第二节直接证明与间接证明,基础梳理,1.证明（1）证明分为直接证明与间接证明.直接证明包括综合法、分析法等；间接证明主要是反证法.（2）综合法:一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.（3）分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）.这种证明的方法叫做分析法.（4）反证法：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.,2.直接证明（1）综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系：(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论),它的常见书面表达是“,”或“”.（2）分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知.3.间接证明用反证法证明问题的一般步骤:反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成立),典例分析,题型一综合法应用,【例1】已知ab0，求证：,分析从已知条件和已知不等式入手，推出所要证明的结论.,证明ab0,b,即2b2,进而-2-2b,a-2+ba+b-2b,即0a-b,.,学后反思综合法从正确地选择已知真实的命题出发，依次推出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐渐引出结论.,举一反三,1.设a0,b0,a+b=1,求证：,证明a+b=1,当且仅当a=b=时等号成立.,题型二分析法的应用,【例2】设a、b、c为任意三角形三边长，I=a+b+c,S=ab+bc+ca.试证：,分析将I平方得出a、b、c两两乘积及和的式子,比较已知条件和结论，宜采用分析法.,证明由,故要证4S,只需证+2S4S,即2S（这对于保证结论成立是充分必要的）.欲证上式，只需证-2ab-2bc-2ca0,即证（-ab-ac）+(-bc-ba)+(-ca-cb)0,只需证三括号中的式子均为负值即可,即证ab+ac,bc+ba,ca+cb,即ab+c,ba+c,ca+b,它们显然成立，因为三角形任一边小于其他两边之和.故.,学后反思(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.,举一反三,2.已知a,b,c,dR,用分析法证明:,证明当ac+bd0时显然成立.当ac+bd0时,要证原不等式成立,只需证,即证即证,即0a,b,c,dR,上式恒成立,故不等式成立.由知原命题成立.,题型三反证法的应用,【例3】若a,b,c均为实数，且.求证：a,b,c中至少有一个大于0.,分析命题中有“至少”“不都”“都不”“没有”“至多”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用反证法.,证明假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0,则a+b+c0,而a+b+c=-30,且,a+b+c0,这与a+b+c0矛盾.因此a,b,c中至少有一个大于0.,学后反思反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A.即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现.,举一反三,3.已知a0,b0,且a+b2,求证:中至少有一个小于2.,证明假设都不小于2,则.因为a0,b0,所以1+b2a,1+a2b,所以1+1+a+b2(a+b),即2a+b.这与已知a+b2矛盾,故假设不成立.即中至少有一个小于2.,题型四综合问题的求解与证明,【例4】(12分)已知二次函数f(x)=a+bx+c(a0)的图象与轴有两个不同的公共点,若f(c)=0且00.(1)试比较与c的大小;(2)证明:-20,与已知f()=0矛盾,c.6(2)由f(c)=0,得ac+b+1=0,.7b=-1-ac.a0,c0,c，80ac1.8-1-ac0,-2-1-ac-1,.10即-2b-1.,举一反三,4.(2010滨州模拟)已知函数f(x)在(-,+)上是增函数,a,bR.(1)求证:命题“若a+b0,则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”为真;(2)判断(1)中命题的逆命题的真假,并证明你的结论.,证明(1)因为a+b0,所以a-b.由于函数f(x)在(-,+)上是增函数,所以f(a)f(-b).同理f(b)f(-a).两式相加,得f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).(2)(1)中命题的逆命题“若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0”为真命题.用反证法证明:假设a+b0,那么a+b0a-bf(a)f(-b),a+b0b-af(b)f(-a),所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),这与f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)相矛盾.所以假设a+b0,a1,0,(1-c)a,三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c.又(1-a)a,同理(1-b)b,(1-c)c,三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c,这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c矛盾,故结论得证.,方法二:假设三式同时大于.00.,同理三式相加得这与矛盾,原命题成立.,12.(创新题)已知函数(1)求证:函数f(x)在(-1,+)上为增函数;(2)求证:方程f(x)=0没有负根.,证明(1)方法一:任取(-1,+),不妨设,则又+10,+10,于是,故函数f(x)在(-1,+)上为增函数.,方法二:求导数得a1,当x-1时,f(x)0在(-1,+)上恒成立,则f(x)在(-1,+)上为增函数.,(2)方法一:设存在0(-1)满足f()=0,则与假设0矛盾,故方程f(x)=0没有负根.,方法二:设存在1与f()=0矛盾.故方程f(x)=0没有负根.,第三节数系的扩充与复数的引入,基础梳理,1.复数的有关概念（1）形如a+bi的数叫做复数，其中a和b都是实数，a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.对于复数a+bi(a,bR),当且仅当b=0时，它是实数；当b0时，叫做虚数；当a=0且b0时，叫做纯虚数.（2）复数的相等如果a,b,c,d都是实数，那么a+bi=c+dia=c且b=d;a+bi=0a=0且b=0.,2.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的.,3.共轭复数概念当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用表示，即z=a+bi,则=a-bi(a,bR).,4.复数的加法与减法（1）复数的加减法运算法则（a+bi）(c+di)=(ac)+(bd)i.,（2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何C,有（3）复数加、减法的几何意义复数加法的几何意义若复数对应的向量不共线，则复数是以为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数.复数减法的几何意义复数是连接向量的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.,5.复数的乘法与除法设=a+bi,=c+di.（1）复数的乘法运算法则=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;交换律结合律分配律（2）复数的除法运算法则(a+bi)(c+di)=,典例分析,题型一复数的概念,【例1】已知复数z=(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?,分析复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.,解z=(-3m)+(-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i,(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m-2且m3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0;m(m-3)0,(5)由解得0m3,(m+2)(m-3)0,当m(0,3)时,z对应的点在第三象限.,学后反思利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，也是化归思想的重要体现.,举一反三,1.(教材改编题)求适合等式（2x-1）+i=y+(y-3)i的x、y的值，其中xR，y是纯虚数.,解析xR，y是纯虚数,可设x=a,y=bi(a,bR且b0)，代入等式得（2a-1）+i=bi+(bi-3)i,即2a-1+i=-b+(b-3)i,2a-1=-b,a=-,解得x=-,y=4i.1=b-3,b=4,题型二复数代数形式的运算,【例2】计算,分析熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算和等运算结果，能使运算更加简捷.,解原式,学后反思复数除法一般是将分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简.,举一反三,2.(2010滨州模拟)已知复数z=+1+3i.(1)求|z|;2)若+az+b=,求实数a,b的值.,解析(1)z=-2i+1+3i=1+i,|z|=(2)z=1+i,=1-i.由+a(1+i)+b=1-i,得a+b+(2+a)i=1-i,a+b=1,a=-3,解得2+a=-1,b=4.,题型三复数集上的代数方程,【例3】已知1+i是方程+bx+c=0（b,cR）的一个根.(1)求b,c的值;(2)试说明1-i也是方程的根.,分析把方程的根代入方程，用复数相等的充要条件求解.,解(1)因为1+i是方程+bx+c=0的根,+b(1+i)+c=0,即（b+c）+(2+b)i=0,b+c=0,b=-2,解得2+b=0,c=2.(2)由(1)得方程为-2x+2=0.把1-i代入方程左边,得-2x+2=-2(1-i)+2=0,即方程成立，所以1-i也是方程的根.,学后反思(1)对于实系数一元二次方程a+bx+c=0(a0),当-4ac0时，在复数集上有两个共轭虚根,根与系数的关系在复数集上仍成立.(2)对于虚系数一元二次方程一般利用复数相等来求解.,举一反三,3.已知关于x的方程-(2+i)x-a+3i=0有一实根，且a为实数.求a的值及方程的这个实根.,解析设实根为,则,整理得,解得,a=3故a=3，方程的这个实根为3,题型四复数的几何意义,【例4】(12分)(2010滨州模拟)设复数满足关系又有=1+i,=-2i(i为虚数单位).(1)求复数;(2)若复数对应的点分别是,求平行四边形的顶点所对应的复数.,分析利用复数的四则运算求出,结合图形求出.,解(1)由题设得,6(2)设=x+yi(x,yR),则=(1+i)-(-2i)=1+3i.又=(x+yi)-4=(x-4)+yi,1+3i=(x-4)+yi,9x-4=1,x=5,y=3,y=3，.11=5+3i.12,学后反思解决这类题是利用复数a+bi(a,bR)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系,相等的向量表示同一复数,然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解.,举一反三,4.若