《小学教育概统》PPT课件

14.05.2020,-,1,第四章随机变量的数字特征,4.1数学期望,14.05.2020,-,2,4.1.1数学期望的定义,例：某自动化车床一天内加工的零件中，出现次品的数量X是一个随机变量。由多日统计，得X分布律如下:,问车床平均一天出几个次品？,解：设车床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值为,14.05.2020,-,3,数学期望的定义,若级数不绝对收敛，我们称X的数学期望不存在。,定义4.1设离散型随机变量X的概率分布为PX=xk=pk,k=1,2,如果级数,绝对收敛，则称此级数为X的数学期望（也称期望或均值），记为,14.05.2020,-,4,泊松分布的期望,例4.3设X，则E(X)=.,14.05.2020,-,5,连续型随机变量的数学期望,定义4.2设连续型随机变量X的密度函数为f(x),如果广义积分,则称此积分为随机变量X的数学期望,记为,绝对收敛，,14.05.2020,-,6,例4.4分布的数学期望,X的密度函数:,解:,14.05.2020,-,7,例：随机变量不存在的例子,设随机变量X服从Cauchy分布，其密度函数为：,这表明积分不绝对收敛,因而EX不存在.,14.05.2020,-,8,4.1.2随机变量函数的期望,定理4.1设X为随机变量，Y=g(X)是X的连续函数或单调函数，则,(1)若离散型随机变量XPX=xk=pk,k=1,2,，且级数,绝对收敛，则,14.05.2020,-,9,14.05.2020,-,10,(2)若连续型随机变量Xf(x)，如果广义积分,绝对收敛，则,4.1.2随机变量函数的期望,14.05.2020,-,11,例4.6,某车站开往甲地的班车每小时10分,40分发车,一乘客因不知车站发车的时间,在每小时的任意时刻都随机到达车站,求乘客的平均等待时间.,解：设乘客到达车站的时间为X,等车时间为Y,则XU0,60,且,14.05.2020,-,12,于是,乘客的平均等待时间E(Y)为:,例4.6,14.05.2020,-,13,定理4.2设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y)是(X,Y)的连续函数.,二维随机变量函数的期望,(1)设离散型随机变量(X,Y)的概率分布为PX=xiY=yj)=pij,i,j=1,2,14.05.2020,-,14,(2)若连续型随机变量(X,Y)f(x,y)，如果广义积分,绝对收敛，则,二维随机变量函数的期望,14.05.2020,-,15,例4.7,两元件并联构成系统，由元件寿命X与Y独立同分布于e(0.5),求系统的平均寿命.,解：写出(X,Y)的联合密度函数,令Z表示系统寿命,则,14.05.2020,-,16,例4.7,14.05.2020,-,17,4.1.3数学期望的性质,证:设X有密度f(x)，则,14.05.2020,-,18,证,4.1.3数学期望的性质,14.05.2020,-,19,(4)设Xi(i=1,2,n)是n个随机变量，Ci(i=1,2,n)是n个常数，则,-线性性质,(5)若X与Y独立，则E(XY)=E(X).E(Y),(独立时，乘积的期望等于期望的乘积),4.1.3数学期望的性质,14.05.2020,-,20,例4.8,设随机变量,（1）求E(X-Y),（2）求,（3）若X与Y独立，求E(XY).,14.05.2020,-,21,例4.9设XBn,p,则EX=np,解：设X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，,则,而,故,14.05.2020,-,22,4.2方差,4.2.1方差的定义及计算,定义4.3设X是随机变量，若E(X-EX)2存在，称为X的方差，记为D(X)=E(X-EX)2（或Var(X)），称为标准差。,(方差本质是随机变量函数的期望),度量随机变量与均值的偏离程度,14.05.2020,-,23,方差的计算式,(实数),14.05.2020,-,24,例4.11,例4.12,14.05.2020,-,25,4.2.2方差的性质,（2）a,b为常数，,（3）若X与Y独立，,14.05.2020,-,26,例4.13,14.05.2020,-,27,(4)设随机变量Xi(i=1,2,n)相互独立，ci(i=1,2,n)是n个常数，则,(5)D(X)=0存在常数C，使得PX=C=1，且C=EX.,4.2.2方差的性质,14.05.2020,-,28,4.2.3变异系数，矩,定义4.4若随机变量X的期望、方差均存在，且，则变异系数为,定义4.5若随机变量X对非负整数k有下列期望存在，,X的k阶原点矩,X的k阶中心矩,14.05.2020,-,29,例4.15随机变量求X的变异系数，k阶原点矩及3阶中心矩。,14.05.2020,-,30,随机变量的标准化,设随机变量X的数学期望E(X)，方差D(X)均存在，且D(X)0，定义一个新的随机变量,则EX*=0，DX*=1，称X*是随机变量X的标准化随机变量。,14.05.2020,-,31,定义4.6：对二维随机变量(X,Y)，Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)称为X与Y的协方差。,4.3.1协方差,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,协方差的计算式为：,特别地，Cov(X,X)=DX.,14.05.2020,-,32,协方差的性质,(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),(2)Cov(X,a)=0,(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z),(6)若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0.,14.05.2020,-,33,二维向量的数字特征,对二维随机变量(X,Y),称向量,为(X,Y)的协方差阵。（可推广到n维）,称矩阵,为(X,Y)的数学期望(均值向量).,14.05.2020,-,34,例4.16(X,Y)有二维分布律,XY,012,01,1/61/121/6,1/121/31/6,求(X,Y)的数学期望和协方差矩阵.,解：(1)先求X,Y的边缘分布律;,14.05.2020,-,35,例4.16,(2)计算X,Y的期望和方差,得：,(3)为计算Cov(X,Y)，须计算二维随机变量函数Z=XY的期望：,(4)余下的代入公式计算，见P123.,14.05.2020,-,36,例4.17,随机变量,且X,Y独立,求D(3X-2Y+Z).,解：本题主要利用协方差的性质,D(3X-2Y+Z)=D(3X-2Y)+DZ+2Cov(3X-2Y,Z),D(3X-2Y)=?,=D(3X)+D(2Y),2Cov(3X,Z)-2Cov(2Y,Z),Cov(3X-2Y,Z)=?,14.05.2020,-,37,标准化随机变量的协方差,常数,4.3.2相关系数,14.05.2020,-,38,定义4.4若随机变量X，Y的期望和方差均存在，且DX0,DY0，则,称为X与Y的相关系数。,14.05.2020,-,39,相关系数的性质,定理4.4(1)R(X,Y)=R(Y,X),(2)|R(X,Y)|1,(3)|R(X,Y)|=1的充要条件为：存在常数a,b,且a0,使得P(Y=aX+b)=1.,特别地，若a0,可得R(X,Y)=1,称为正线性相关；反之,称为负线性相关。,14.05.2020,-,40,关于t的一元二次方程f(t)对任意t都有,证明：(2)|R(X,Y)|1,14.05.2020,-,41,独立与不相关,X,Y独立时，可以推出Cov(X,Y)=0,因而可以推出R(X,Y)=0,即不相关；反之不一定成立，即：X,Y不相关不能说明X,Y独立。,例4.19设XU(-1,1),Y=X2,则X,Y不相关.,解:,14.05.2020,-,42,例4