常见的不等式问题解题思路绝对值不等式的解法

常见的不等式问题解题思路绝对值不等式的解法 不等式是高考数学的热点之一.由于不等式的证明难度大，灵活性强，技巧要求很高，常常使它成为数学高考中的高档试题.而且，不论是几何、数论、函数等许多问题，都与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是证明）尤为重要.虽然不等式证明没有固定的模式，因题而异，灵活多变，技巧性强，但它也有一些基本的常用方法.要熟练掌握证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始，善于分析题目的特征，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口.以下谈谈常见的不等式题型的解法与技巧. 一、重要不等式 1.平均值不等式设a1，a2，an是n个正实数，记Hn=n1a1+1a2+1an ，Gn=na1a2an， An=a1+a2+ann,Qn=a21+a22+a2nn ，分别称Hn，Gn，An，Qn为这n个正数的调和平均、几何平均、算术平均数、平方平均 那么恒有不等式HnGnAnQn,等号成立当且仅当a1=a2=an. 2.柯西不等式对任意实数组ai,bi(i=1,2,n)恒有不等式“积和方不大于方和积”，即 (ni=1aibi)(ni=1a2i)(ni=1b2i) ，等式当且仅当a1b1=a2b2=anbn时成立. 本不等式称为柯西不等式. 3.排序不等式设有两组实数，a1,a2,an和b1，b2,bn满足 a1a2an,b1b2bn， 则a1bn+a2bn-1+anb1a1c1+a2c2+ancna1b1+a2b2+anbn，其中c1,c2,，cn是实数组b1,b2，bn的一个排列，等式当且仅当a1=a2=an或b1=b2=bn时成立， 即倒序和乱序和正序和. 4.三角不等式设Z1，Z2为任意复数，则|Z1|-|Z2|Z1+Z2|Z1|+|Z2|. 二、解题技巧 1.比较法（作差法或比差法）比较实数a和b的大小，作差变形判断（正号、负号、零）；变形时常用配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式法等.在a,b均为正数时，也可借助ab1或ab1来判断：作商变形判断（大于1或小于1）. 【例1】 设ab0，求证：aabbabba. 证明：因为ab0，所以ab1,a-b0.而aabbabba=(ab)a-b1，故aabbabba. 2.分析法（逆推法）从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆. 【例2】 求证：5+71+15. 证明：要证5+71+15，即证12+23516+215，即352+15，3519+415，41516，154，1516，由此逆推即得5+71+15. 3.综合法证明时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法. 【例3】 n2，且nN，求证：1+12+13+1nn(nn+1-1). 证明：因为1+12+13+1n+n=(1+1)+(12+1)+(13+1)+(1n+1) =2+32+43+n+1nn?n2?32?43?n+1n=n?nn+1. 所以1+12+13+1nn(nn+1-1). 4.放缩法在证题中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”要得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法. 【例4】 求证：12?34?56?9999100000.01. 证明：令p=12?34?56?999910000，则 p2=122?3242?5262?99992100002122-1?3242-1?99992100002-1=110001110000. 所以p0.01. 5.反证法 先假设结论不真，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性. 【例5】 在面积是1的ABC中,P是BC上任意一点,PEAB交AC于E，PFCA交AB于F， 证明:BPF、PCE和四边形PEAF中，至少有一个的面积不小于49. 证明：（反证法）若不然，令BPBC=x，x2490x23， (1-x)24913x1，1-x2-(1-x)249x23或x13， 无解，故命题真. 6.排序法利用排序不等式来证明. 【