电动力学数学基础ppt课件

.,电动力学中的数学基础,矢量、张量、积分变换、坐标系、数理方程,标量矢量张量,标量（数量）：温度T，密度特点1）：只有大小没有方向的物理量特点2）：用正实数或负实数来表示矢量（向量）3维矢量：,单位矢量大小（长短）为1的矢量。直角坐标系中三个坐标轴方向的单位矢量表示为任意方向的单位矢量一般表示为,4维矢量：（以下不作特殊说明，均指三维矢量）,矢量运算：,标量积（点积）：一个矢量在另一个矢量上的投影,结果为标量，平行模相乘；垂直积为0,矢量积（叉积）：结果为矢量；平行积为0，垂直模相乘.,C矢量的大小等于以矢量A、B为邻边的平行四边形面积.,练习：判断矢量C的方向,把三个矢量进行轮换，其积不变；只把两矢量对调，其积差一负号。三矢量共面充要条件：上式=0,平行六面体体积,两个重要公式：书P275混合积与双叉乘,矢量的导数和积分：,矢量的导数和积分的结果仍为矢量，但这些新矢量与原矢量的方向是否相同？,矢量的非法运算：,并矢：两个矢量并列，不做任何运算所构成的量,9个分量,注意：一般来说，并矢本身不对易,并矢的运算：并矢间一次点积不对易，结果仍为并矢并矢间二次点积对易，结果为标量矢量与并矢的点积不对易，结果为矢量,张量：张量在并矢基下的9个分量，有一个矩阵A与之对应，记作:称为3维2阶张量，可记作:,上述可推广到n维m阶张量，其分量为：分量个数为nm。以下不作特殊说明，均指3维2阶张量。,0阶张量即标量；n维1阶张量即n维矢量,对称张量：反对称张量：,任何张量均可分解为一个对称张量与一个反对称张量：A=As+Aa,张量和矢量的点乘书P280,单位张量：,张量和矢量点乘：结果仍为矢量,一般情况下可通过并矢来定义张量，但并非所有张量均可用并矢来表示。,并矢与张量的区别：给定一并矢必有一张量与之对应，即并矢是张量的一种特殊情形；而任一张量则需视其诸分量构成的特点，或等于一个并矢，或等于两个并矢之和，或等于3个并矢之和。,场的微分运算,物理场：空间区域D的每个点，都对应某个物理量的一个确定的值（可随时间变化），则称在D上确定了该物理量的一个场。若场中物理量在各点处的值不随时间变化，则称稳定场，反之为不稳定场。标量场：若物理场的物理量是标量，则为标量场。标量场中每一点的物理量，均可用标量来表示。,1）标量场的梯度(gradient)：标量函数的梯度是一个矢量，直角坐标系中,注：矢量微分（哈密顿）算符，同时具有矢量特性和微分特性，但不是真正意义的矢量，须对一个函数实施作用才有意义。,2）梯度运算公式：类似求导规则,在其它形式的坐标系，如柱坐标、球坐标，梯度的表达式不同。,3）梯度的几何意义：在P点处的梯度方向与通过P点的等量面（量值相等的点构成的面）在P点的法线n的方向相同，且指向增加的方向；梯度的模等于在此法线方向的方向导数。,是=C1的等量面上p点法线方向的单位矢量，指向增加的方向。,梯度是在P点的最大方向导数，也即在P点梯度给出，在P点沿哪个方向增长最快，及增长最快的速率。,矢量场的梯度是张量通量：矢量A沿有向曲面S的面积分称矢量A沿有向曲面S的通量。若S为闭合曲面，则可据通量的大小判断闭合面内源的性质:,矢量场：若物理场的物理量是矢量，则为矢量场。矢量场中每一点的物理量，均可用矢量来表示。,注：每个分量均是(x,y,z)的函数,正源,无源,负源,3）散度(divergence)：在矢量场中，围绕P点做一闭合面，所围体积为V，若垂直穿过闭合面的通量与体积之比的极限存在，则称该极限为矢量场A在P点的散度。,散度的物理意义：矢量的散度是通量的体密度，是标量。它是空间坐标点的函数，代表了矢量场内某点的源的分布特性。,A=0表示点P是既不是源也不是洞，称矢量场A为无源场,A0表示点P是流出的源，其值表示源的强度或源密度A0表示点P是吸收的洞，其值表示洞的强度,高斯公式：矢量场通过封闭曲面S的流量，等于此封闭曲面包围的体积V上每一点的散度对V的体积分,3）环量：矢量场A沿一条有向闭合曲线L（取定正方向的闭合曲线）的线积分，称为A沿该曲线L的环量或流量。,面（积分）化体（积分）,通常规定：以闭合曲线L为边界的面积S的法线为n，而L的正向要与法线n的方向满足右手螺旋法则。,4）旋度(rotation)：设想将闭合曲线缩小到其内某点P附近，则以闭合曲线L为界的面积S逐渐缩小，环量也将逐渐减小，两者比值的极限记作,该极限与闭合曲线的形状无关，而依赖于以闭合曲线L为界的面积S的法线n的方向。,矢量的旋度仍为矢量。旋度的物理意义：点P的旋度大小是该点环流密度的最大值，旋度方向是该点最大环流密度的方向。,矢量场A在P点的旋度rotA通过下式定义：,A=0表示沿任意封闭曲线的环流量为0，即液体流动时不形成漩涡，称矢量场A为无旋场A0表示存在漩涡，|rotA|越大，旋转越快,斯托克斯公式：矢量场A沿封闭曲线L的环流量，等于在以L为边界的曲面S内每一点的旋度在S上的面积分线（积分）化面（积分）,散度和旋度的区别,直角坐标系中,记忆方法：轮换法、爱因斯坦约定*,小结：梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性。场中各点的梯度、散度或旋度可能不同，因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件，因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。应用高斯定理（斯托克斯定理），需注意单封闭、复封闭空间（曲线）的区别！,的二次运算：Laplace算子：常用公式：书P277,注意：的运算中，的位置一般不能随意轮换或交换！,张量或并矢的高斯公式：书P281,格林公式：P60,旋度的散度为0；梯度的旋度为0：,哈密顿算子作用于位矢（第一章习题3）：书P34,矢量场的几个定理,若矢量场f的散度处处为0，则f称为无散场或横场，此时存在一矢量场A，使得若矢量场f的旋度处处为0，则f称为无旋场或纵场，此时存在一标量场，使得任何一个矢量场f均可分解为无旋场（纵场）f1和无散场（横场）f2之和。,亥姆霍兹定理*：若矢量场在无界空间中处处单值，且其导数连续有限，源分布在有限区域内，则矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为,亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定（实际还要求在无限远处F的量值至少以1/r衰减）。,在有界单连通区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量（即边界条件）有关。,特殊坐标系,柱坐标系(,z,),柱坐标系的坐标轴单位矢量不是常矢量，随坐标位置不同而变化！与直角坐标系不同，直角坐标系坐标轴单位矢量是常矢量！,球坐标系(r,),周角,极角,球坐标系的坐标轴单位矢量也不是常矢量，随坐标位置不同而变化！,特殊方程,函数一维,函数f(x)在x=x连续,三维,函数f(x)在x=x连续,位于x有一点电荷q，则电荷密度：,勒让德多项式轴对称下的Laplace方程（球坐标）的通解：其中，勒让德多项式,r=0,处！,附：符号约定与矢量运算*,符号约定重复指标（上标或下标）称为哑指标或虚指标，表示对该指标求和，则书写时可省略求和号，例：,直角坐标系中，三维矢量A、相对论四维矢量X表示为,此时i可用其它任何字母替代,特殊运算符号或张量：克罗内克尔符号（Kronecker）,一般习惯，用英文字母表示三维矢量运算中的指标；而用希腊字母表示相对论四维矢量指标。,性质：1)2)3)4)5),例：,置换符号（Levi-Civita三阶全反对称张量）,性质：,三阶全反对称张量及符号约定的应用举例：1)表示三阶行列式的值,2)表示叉乘,3)表示矢量微分运算,证明：,列维-齐维塔(Levi-CivitaTullio)，意大利数学家，科学兴趣广泛，研究领域涉及张量分析、分析力学、天体力学、流体动力学、弹性力学、电磁学和原子物理学。列维-齐维塔被认为是20世纪主要数学家之一，在纯粹数学和应用数学的每个领域上几乎都有贡献，论著近200篇，其中经典力学和相对论力学问题、绝对微分学讲义已成为标准著作，而理论力学讲义则被公认为经典著作。列维-齐维塔与其老师合写了“绝对微分法及其应用”，成为张量分析的经典著作。,张量分析研究从一个参考系变到另一个参考系后仍保持不变的关系，这一性质在相对论中有重要意义。在相对论中观测者的参考系各不相同，而客观的物理规律对每一观测者都成立，这一特征使绝对微分学成为爱因斯坦广义相对论的有效的数学工具。1916年爱因斯坦发表了“广义相对论的基础”一文，成功地运用这一理论表述他的广义相对论，论文几乎用一半篇幅解说这种绝对微分学。“张量分析”这一名称就是他首先开始使用的。,附：应力的概念*,外力：塑性加工时，由外部施加于物体或一个物体作用在另一个物体上的力叫作外力，可分为两类：面力或接触力和体积力。面力：作用于物体表面的力，也叫接触力，是互相接触的两个物体之间通过接触面传导的作用力，比如膨胀的空气对于活塞的推力，作用于物体表面的分布载荷。正压力和摩擦力都是面力。,体积力：作用在两个物体之间，物体内部的任何一个质点都同时受到影响的作用力，如重力、磁力和惯性力等。注：对于一般的塑性成形过程，体积力可忽略不计。但在高速成形时，惯性力不能忽略。,一个物体在没有受到外力作用的情况下，物体内部的各个质点之间具有一定的作用力而使物体保持稳定平衡状态。物体内部各个质点之间的这种作用力称为固有内力。如果作用在物体上的各种外力都被该物体吸收，而并未使物体移动，那么物体内部各质点间位置与相互作用力将会发生变化。物体内部质点间作用力的改变量称为附加内力。附加内力是物体内部质点对于所施加外力的反映，它将力图使物体内部质点恢复其固有的位置，阻止物体发生变形。习惯上，将这种附加内力简称为内力，并与外力对应。,应力定义在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作用的力，称为内力。单位面积上的内力称为应力，可采用截面法进行分析。,设Q点处一无限小的面积F上内力的合力为P，则定义：,为截面F上Q点的全应力，可以分解成两个分量：垂直于截面的正应力s和平行于截面的切应力，有：,注：过Q点可以作无限多的切面，在不同方向的切面上，Q点的应力不同。,直角坐标系中一点的应力坐标面上的应力：在三个互相垂直的微分面上有三个正应力分量和六个切应力分量；一般情况下，共有9个应力分量完整地描述一点的应力状态。,应力分量的符号带有两个下角标：前一个角标表示该应力分量所在的坐标面（用该面的法线命名）；第二个角标表示应力所指的坐标方向；正应力分量的两个下角标相同，两个下角标不同的是切应力分量。,切应力互等定理：,9个应力分量中只有6个是互相独立的，它们组成对称的应力张量。,应力分量有正、负之分：外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之为负面；在正面上指向坐标轴正向的应力分量取正号，指向相反方向的取负号；负面上的应力分量则相反。按此规定，拉应力为正，压应力为负。,任意斜面上的力已知变形体中一点的九个应力分量，由静力平衡条件，可求得过该点的任意斜面上的应力。已知Q点三个互相垂直坐标面上的应力分量sij；过Q点的任一斜面ABC（面积为dF）的法线N与三个坐标轴的方向余弦分别为l=cos(N,x)，m=cos(N,y)，n=cos(N,z