《函数和极限》PPT课件

1,1.1函数1.2极限1.3极限运算法则1.4极限存在准则、两个重要极限1.5无穷小与无穷大、无穷小的比较1.6函数的连续性1.7闭区间上连续函数的性质,第一章函数和极限,2,第一章函数和极限,1.1函数,3,一、集合,1.集合的基本概念与运算,集合（简称为集）是数学的一个基本概念.集合通常理解为具有某种性质的事物的全体.集合中的每一个事物称为该集合的元素.,某事物a与集合E具有下列两种关系之一:(1)a是E的元素，记作aE;(2)a不是E的元素，记作aE.,由有限个元素组成的集合，可将它的元素一一列举出来.这种表示法称为枚举法.例如：由元素a1，a2，an组成的集合A，记作A=a1，a2，an.,4,性质描述法表示:设E是具有性质P的元素x的全体所组成的集合，就记作E=x|x具有性质P或E=x|P(x).,通常，以Z、Q、R和C分别表示整数集、有理数集、实数集和复数集.,如果集合A的元素都是集合B的元素，即若xA，则必有xB，就称A是B的子集，记作AB或BA.如果AB与AB同时成立，则称A与B相等，记作A=B.例如，设有集合A=-1，-2，B=x|x2+3x+2=0，则A=B.若AB且AB，则称A是B的真子集，记作AB.例如QR.,5,不含任何元素的集合称为空集，记作.如集合x|xR，x2+1=0=.规定空集是任何集A的子集,即A.,集合的基本运算有并、交、差：设A和B是两个集合,由A和B的所有元素构成的集合,称为A与B的并,记为AB,即AB=x|xA或xB.由A和B的所有公共元素构成的集合,称为A与B的交,记为AB,即AB=x|xA且xB.由属于A而不属于B的所有元素构成的集合,称为A与B的差,记为AB,即AB=x|xA且xB.,6,如果在某个过程中，我们所研究的对象同属于某一个集合S,那么这个集合称为全集或基础集.本书在一般情况下用实数集R当全集.一般地,设A是全集S的子集,那么S中不属于A的元素全体组成的集合称为A的余集,记为,即=SA.例如,对于全集R,子集A=x|0x1的余集就是=RA=x|x0或x1.,7,2.邻域、开集、闭集、区间,对于实数a及正数，数集x|x-a|称为a的(以点a为中心、以为半径的)邻域,记作U(a;),即U(a;)=x|x-a|.如图1-1-1所示.,图1-1-1,8,数集x|0|x-a|称为点a的去心邻域，记为(a;).当不强调的大小时，a的邻域和去心邻域分别简称为a的邻域和去心邻域，并分别记作U(a)和(a).,设a与b是两个不同的实数，且ab.数集x|axb称为开区间，记作(a,b)，即(a,b)=x|axb，其中a与b称为开区间(a,b)的端点.因此,邻域是一个以a为中心的开区间,即U(a;)=(a-,a+).,9,数集x|axb称为闭区间，记作a,b，即a,b=x|axb，其中a与b称为闭区间a,b的端点.数集a,b=x|axb和a,b=x|aa,-,b)=x|xb,-,+)=x|-0;幂函数:Q=kP-a,k0,a0;指数函数:Q=ae-bP,a0,b0;二次函数:Q=P(abP),a0,b0.,42,2.供给函数,供给是与需求相对的概念，需求是就购买者而言，供给是就生产者而言的.供给量是指生产者在某一时刻内，在各种可能的价格水平上，对某种商品愿意并能够出售的商品数量.供给量也是由多个因素决定的，如果认为在一定时间范围内除价格而外的其他因素变化很小，则供给量Q就是价格的函数，称为供给函数.记作Q=Q(P)或Q=f(P).,43,根据市场的统计数据构建数学模型时,常采用如下三种类型的函数:线性函数:Q=aP-b,a0,b0;幂函数:Q=kPa,k0,a0;指数函数:Q=aebP,a0,b0.,44,3.成本函数,某产品的总成本C是指一定数量的产品所需的全部资源投入的价格或费用的总额，它由固定成本C1和可变成本C2组成.其中C1为常数，C2即为产量Q的函数，常表示成C2=C2(Q).同时用C=C(Q)表示总成本函数，于是，总成本函数C=C(Q)=C1+C2(Q).经常还要研究由总成本函数派生的函数，如平均成本函数(Q):,45,4.收益函数,总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，因此总收益R是出售量Q的函数，称为收益函数，记作R=R(Q).例如，当某产品的价格为P，销售量为Q时，则销售该产品的总收益为R=PQ.,46,5.利润函数,利润L是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，若收益函数R=R(Q)，总成本函数C(Q)都是产量或出售量Q的函数，则利润L也是Q的函数，称之为利润函数.那么，L(Q)=R(Q)-C(Q).,47,第一章函数和极限,1.2极限,48,一、数列及数列的极限,1.数列极限的定义,数列是按次序排列的一列数x1，x2，xn，简记作xn.准确地说,数列是定义在正整数集N上的函数xn=f(n)，nN,其中每一个n表示项数,xn表示第n项;因为项数n是一个变量,故xn常称为数列的通项或一般项.,49,例2研究数列1，-1，1，-1，的变化趋势.解该数列的通项为xn=(-1)n+1.当n无限增大时，xn总在1和-1两个数值上跳跃，永远不会趋近于一个固定的数.,例1研究数列的变化趋势.解该数列的通项为.当n无限增大时，2n也无限增大，其倒数会随之越变越小，无限地趋近于0.,例3研究数列的变化趋势.解该数列的通项为.当n无限增大时，数列的通项xn将大于任意给定的正数.,50,上述三个数列，当n无限增大时的变化趋势各不相同，可归纳为两种情形.第一种情形:数列xn随着n的无限增大而（无限）趋于某一个固定的常数a；这时称xn为收敛数列，常数a为该数列的极限；第二种情形:数列xn随着n的无限增大而不趋于任何确定的常数.这时称xn为不收敛.,51,定义1设xn是一个数列,a是一个常数.如果对任给的0，总存在一个正整数N，使得当nN时总有|xn-a|N时总有因此.,53,2.收敛数列的性质,定理1(唯一性)若数列xn收敛，则它只有一个极限.,对于数列xn，如果存在一个正数，使对一切nN，都有|xn|M，就称xn为有界数列，否则就称xn为无界数列.,定理2(有界性)若数列xn收敛，则它必为有界数列.,定理3(保号性)若(或aN时，都有xn0(或xn0，作平行于x轴的两条直线y=A-与y=A+，总可找到点x0的一个邻域，使得当且时，对应的函数值满足:A-X的所有x，不等式成立.所以.,59,单侧极限,定义4设函数f(x)在点x0的左侧有定义,而A是常数.如果对任给的正数，总有某一正数，使得当时，f(x)都满足不等式成立，则称当x趋于x0时，f(x)有左极限且A为f(x)的左极限，记作,f(x)A（xx0-）或.,60,类似可给出当x趋于x0时，A为f(x)的右极限的定义，记作,f(x)A（xx0+）或.,定理4当xx0时，函数f(x)极限存在的充要条件是当xx0时，函数f(x)的左、右极限都存在且相等，即这里A是一个确定的数.,61,例8设函数，求和.,解根据函数的定义知,f(x)当x0时的左极限为；f(x)当x0时的右极限为.由此可知，f(x)当x0时的极限不存在.,62,定义5设函数f(x)当x大于某一正数（或小于某一负数）时有定义,而A是常数.如果对于任给的正数，总有某一个正数X，使得对于当xX（或相应地x0（或a0（或f(x)0.由于0，所以对正数，存在0，使得当0|x-x0|0使得|f(x)|M在成立；同时，对任意0,存在0使得当时都有|g(x)|K)时，都有|f(x)|M，则称f(x)是当xx0（或x)时的无穷大.,87,例2证明是时的无穷大.,证对任意给定的正数M，取正数，那么，当时有，所以，是时的无穷大.,88,定理2在同一变化过程中，(1)若f(x)为无穷大，则为无穷小;(2)若f(x)为无穷小且f(x)0，则为无穷大.,89,例3求.,解当x2时分母的极限为0，不能直接应用商的极限运算法则.但是，由于分子的极限不为0，因此,可以先求原式倒数的极限=0，再利用无穷小与无穷大的关系，得=.,90,三、无穷小的比较,定义设u，v是同一变化过程的两个无穷小，即（如果u，v是数列，lim应理解为，否则，u，v是同一自变量的函数，则lim应理解为、或其它单侧极限过程）.又设v0,并用表示这一变化过程的极限.,91,(1)若，则称u为比v高阶的无穷小，记为;(2)若，则称u为比v低阶的无穷小;(3)若，则称u与v是同阶无穷小;特别地,若，则称u与v是等价无穷小，记为uv.(4)如果存在正整数k和常数c0,使得，则称u是v的k阶无穷小.,92,例如，由，知，当x0时，;当x时，与是同阶无穷小;当x1时，x-1是比(x-1)2低阶的无穷小.,93,例4证明：当x0时，tanx-sinxx3.,证利用三角公式变形得:.由于,再由1.4例2知,.故由极限的四则运算法则得所以tanx-sinxx3.,94,定理1u与v是等价无穷小的充分必要条件是u=v+o(v).,定理2设uu,vv且存在,则存在且.,95,例5求.,解当x0时,tanxx,无穷小3x2+x与自身等价,所以.,96,注意：记住一些常用的等价无穷小,这对于求极限运算常带来许多方便.同时应该注意,等价无穷小只适用于代替分子或分母的因子,不可随意代替非因子的式子.比如,在例4求极限时,若把分子tanxsinx分别用tanx和sinx的等价无穷小代入,将出现如下错误:,97,第一章函数和极限,1.6函数的连续性,98,一、函数连续性的概念,假定函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量从x0变化到x时，对应的函数值从f(x0)变化到f(x)，称x=x-x0为自变量x（在点x0）的改变量或增量.相应地，把y=f(x)-f(x0)即y=f(x0+x)-f(x0)称为函数y（在点x0）的改变量或增量应注意，自变量的增量x和函数的增量y可以是正数也可以是负数或0,99,定义1设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数y=f(x)在点x0连续,由于等价于，等价于，因此函数y=f(x)在点x0连续等价于所以，函数y=f(x)在点x0连续的定义又可叙述为：对任意的，总存在，使得当时，有,100,如果f(x)在区间I的每一个点都连续，则称y=f(x)在I上连续或y=f(x)是I上的连续函数，这里对于区间的端点(如果它属于I的话)只要求单侧(左或右)连续.,定义2若函数y=f(x)在点x0的某右（左）邻域内有定义，如果那么就称函数f(x)在点x0右（左）连续.,101,定理1函数f(x)在点x0连续的充要条件是：f(x)在x=x0既是右连续的，又是左连续的,例1证明正弦函数y=sinx在(-,+)上连续证对任意x0(-,+)，由和差化积公式得.因为所以故y=sinx在x0点连续，由x0(-,+)的任意性可知，y=sinx在(-,+)连续,102,二、函数的间断点及其分类,根据函数y=f(x)在x0点处连续的定义可知，函数f(x)在x0点处连续必须且只需同时满足下面三个条件：(1)f(x)在x0处有定义；(2)存在，即存在且相等；(3),103,如果这三个条件中有一个不满足，也就是说，如果f(x)在x0无定义；或者f(x)在x0虽有定义但在x0的极限不存在；或者f(x)在x0有定义，极限也存在，但极限值不等于f(x0)，则f(x)在x0处不连续使函数f(x)不连续的点x0称为f(x)的间断点通常将函数的间断点分为两类：一类是左右极限都存在的间断点，称为第一类间断点；不是第一类的间断点，都称为第二类间断点,104,例3考察函数由于它在x=1处无定义，所以x=1是间断点又因为所以x=1是第一类间断点.同时我们发现，只要补充定义f(1)=2，则所给函数在x=1处就连续了,一般地，若x0是函数f(x)的间断点且存在，则称x0为函数f(x)的可去间断点.对于f(x)的可去间断点x0，可用f(x)在x0的极限值来补充或修改f(x)在x0处的定义，得到在x0处连续的函数.,105,例4考察函数的间断点.,由于，即函数在x=0处的左右极限存在，但不相等，故极限不存在，所以点x=0是函数f(x)的第一类间断点,但不是可去的.这种左右极限都存在但不相等的间断点又称为跳跃间断点,106,例5考察函数的间断点.该函数在x=0没定义，点x=0是它的间断点由于当时，的左右极限都不存在,所以点x=0是函数的第二类间断点.实际上,当时函数值在1与1之间变动无限多次，因此,这种间断点也称为函数的振荡间断点,107,根据定义知,可去间断点和跳跃间断点都是第一类间断点，振荡间断点和无穷间断点都是第二类间断点.,例6考察正切函数在的间断点.因为，所以点是函数的第二类间断点;同时，根据它的极限状态，我们又称是函数的无穷间断点,108,三、连续函数的和、差、积、商的连续性,定理2有限个在同一个点连续的函数的和是一个在该点连续的函数,定理3有限个在同一个点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数,定理4两个在同一个点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零,109,例7考察函数tanx和cotx的连续性.解因，而sinx和cosx都在区间(-,+)内连续，故由定理4知tanx和cotx在它们的定义域内是连续的,110,四、反函数与复合函数的连续性,定理5如果函数y=f(x)在区间I上单调增加（或单调减少）且连续，那么f(x)的值域J=f(I)也是一个区间，且反函数x=f-1(y)在J上也单调增加（或单调减少）且连续,111,例8考查y=arcsinx在区间1，1上的单调性与连续性.解由于y=sinx在区间上单调增加且连续，值域为1，1，所以它的反函数y=arcsinx在区间1，1上也单调增加且连续同样，应用定理可证：反三角函数arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx在它们的定义域内都是连续的,112,定理7设函数在x=x0点连续且，而函数y=f(u)在点u=u0连续，那么复合函数在点x=x0也是连续的.,定理6设函数当时的极限存在且等于a，即而函数在点u=a连续，那么复合函数当时的极限也存在且等于f(a)，即,113,五、初等函数的连续性,定理8基本初等函数在它们的定义域内都是连续的,定理9所有初等函数在其定义区间上都是连续的,如果f(x)是初等函数，且x0是f(x)的定义区间内的点，则,当x0是f(x)的区间内的端点时，上式仅考虑左、右极限.,114,例9求(其中a是常数),解：,115,例10求,解：特别,116,第一章函数和极限,1.7闭区间上连续函数的性质,117,一、最大值和最小值定理,定义对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果存在x0I，使得对于任一xI都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（或最小值）,定理1（最大值、最小值定理）若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则