高考数学知识点大串讲(1)

2013年高考数学知识点大串讲（1）必考点一、 函数主编：章晓峰（高考教学研究组教研员）副主编：林晓玲（中学优秀数学教师） 董洋洋（一线数学教师）编委会成员：（排名不分先后）刘思妍 林妙可 毛 檠 赵晓玲 龚 晨 孙萌萌 姜 芝胡晶晶 童 玲 麦 罄 韩 俊 杨程鹏 夏小玉 范晓峰知识点导航重难点一 函数的单调性问题函数的单调性是函数的一个极其重要的性质，在高三的复习中经常会碰到有关函数单调性求解的问题。下面通过例子来说明此类问题的求解思路。一. 掌握几种常见函数的单调性，会求复合函数的单调区间复习过程中要熟练掌握几种常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数、指、对数函数及三角函数）的单调性，并能利用复合函数单调性的性质求解复合函数的单调性问题。例1.已知，如果，那么（ ）A. 在区间（-1，0）上是减函数B. 在区间（0，1）上是减函数C. 在区间（-2，0）上是增函数D. 在区间（0，2）上是增函数解：函数是由和复合而成的。又在上递减，在上递增；上为减函数，在上为增函数。当时，得当时，得或由此可得，函数在或时为减函数函数在或时，为增函数故选（A）解题回顾：本题是有关二次函数的复合函数确定单调区间问题，要求会利用复合函数的单调性来研究简单复合函数的单调性的问题。复合函数单调性的判定法则是，若与同是增（减）函数，则在其定义域上是增函数；若是一增一减函数，则在其定义域上是减函数。上述法则可简述为：同增异减。二. 利用函数的图象求解例2. 指出函数的单调区间。解：作出函数的图象。根据图象可得，函数在以及上为增函数；在以及上为减函数图1三. 利用函数单调性的定义例3. 求函数在上的单调区间。解：任取，则因为所以若函数为增函数，则所以因为所以，故同理，若为减函数，则因此，当时，函数为增函数当时，函数为减函数解题回顾：从定义出发，利用定义解题是数学解题的一个基本出发点。本题从函数单调性的定义出发，把求字母a的取值范围的问题，转化为恒成立的问题来加以求解，同时得出了很重要的分式函数的单调区间。利用此结论，我们可以研究此类分式函数在某个区间上的最值问题。四. 利用导数求解例4. 已知函数在上为单调增函数，求a的取值范围。解：因为在上为单调增函数所以在上恒成立即恒成立即恒成立因为，所以说明：导数是高中数学和高等数学的连接点，是高中教材新增加的内容，许多高次函数、分式函数以及无理函数的单调区间和最值问题的研究都离不开导数，因此不可忽视导数在函数中的作用。例1若用导数解则更简便，由得函数的增区间为及；由得减区间为及。很快就能确定答案为（A）。由此可以看出，导数在单调区间的求解方面有着很大的优势。例5. 已知函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围。解法1：利用例3中的结论。函数在上为减函数，在上为增函数。由题知，该函数在上是减函数所以，得解法2：利用函数的单调性的定义。任取，则因为所以且因为在上为增函数所以恒成立所以恒成立因为，所以，得解法3：利用导数因为所以因为在上为减函数，所以对恒成立即对恒成立因为当时，所以说明：本题从三个不同角度对问题作出了解答，不同的方法各有巧妙，突出了不同知识在解题中的作用。通过此问题的求解可加强各知识间的联系，提高对所学知识的全面认识。例6. （2003年新课程高考理）设，求函数的单调区间。解：求导数得：当时（1）当时，对所有，有即此时在内单调递增（2）当，对，有即此时在（0，1）内单调递增，在内单调递增又知函数在处连续，因此，函数在内单调递增（3）当时，令即解得或因此，函数在区间内单调递增在区间内也单调递增令，即解得因此，函