高考数学精英备考专题讲座 立体几何

立体几何立体几何 一、高考预测一、高考预测 立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是 立体几何中的向量方法高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不 同的在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图 的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型 主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都 是中等难度或者较易的试题；在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法 进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第 一问；对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或 者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计 算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点” ；三类垂直的共同点是“成角 90”. 线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直. 3。直线与平面所成角的范围是 2 , 0 ；两异面直线所成角的范围是 2 , 0( .一般情况下， 求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况 即可. 4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与 平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去 求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余 弦值为a时，其所成角的大小应为 |arccos a . 特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直 线所成角的概念是不一样的.本题中的向量1 BD 与DE所成的角大小是两异面直线 DE 与 BD1 所成角的补角. 7。长方体、正方体是最基本的几何体，要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、 高分别为 cba, ，对角线长为l，则 2222 cbal .利用这一关系可以得到下面两个结论： （1）若长方体的对角线与三棱所成角分别为 , ，则 1coscoscos 222 ； （2）若长方体的对角线与三面所成角分别为 , ，则 2coscoscos 222 . 10.关注正棱锥中的几个直角三角形：（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形； （2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆 半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角 形.进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直 角三角形中. 11。特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥，关注四 个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容. 12。对平面图形的翻折问题要有所了解：翻折后，在同一半平面内的两点、点线及两线 的位置关系是不变的，若两点分别在两个半平面中，两点之间的距离一般会发生变化.要认 清从平面图形到空间图形之间的联系，能够从平面图形的关系过渡到空间图形的关系，根据 问题画出空间图形. 【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间 想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型 的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定 理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相 交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线） （注意该定理地应用如证明诸线共点的方法： 先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三 条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平 面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内 通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线 即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及 面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用 2.（1）正方体 ABCDA1 B1 C1 D1中，P、Q、R、分别是 AB、AD、B1 C1的中点。那么正 方体的过 P、Q、R 的截面图形是（） （A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 (答案：D) （2）在正三棱柱ABC- 111 A B C 中，P、Q、R 分别是BC、 1 CC 、 11 AC 的中点，作出过 三点 P、Q、R 截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。 答案：五边形。 【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，同时对 本题来说是解决与两异面直线所成的等角的直线条数，将两异面直线平移到空间一点时，一 方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在 空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内 的直线所成的角与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角的关系，由公 式cos coscos （其中是直线与平面所成的角）易知cos cos ， coscos （最小角定理）故一般地，若异面直线 a、b 所成的角为，L 与 a、b 所成的角均为，据上式有如下结论：当 0 2 时，这样的直线不存在；当 2 时，这样的直线只有一条；当22 时，这样的直线有两条；当 2 时这样的直线有 3 条；当22 时，这样的直线有四条 2.如果异面直线 a、b 所在的角为100 ,P 为空间一定点，则过点 P 与 a、b 所成的角都是 50的直线有几条？ A、一条 B 二条 C 三条 D 四条 (答案：C) 【易错点易错点 4】4】求异面直线所成的角，若所成角为求异面直线所成的角，若所成角为 0 90，容易忽视用证明垂直的方法来求 ，容易忽视用证明垂直的方法来求 夹角大小这一重要方法夹角大小这一重要方法 1、在三棱柱 111 ABCABC 中，若 1 2ABBB ，则 11 ABC B与 所成 角的大小为（ ）A、 0 60 B、 0 90 C、 0 105 D、 0 75 【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。 解析：如图 1, D D 分别为 11, BC BC 中点， 连结 1 ,AD DC ，设 1 1,2BBAB则 则 AD 为 1 AB 在平面 1 BC 上的射影。又 1 1 322 ,cos, 323 BC BEBDC BC BC 222 1 2cosDEBEBDBE BDC BC 113221 2 32326 3 而 2220 111 ,90 362 BEDEBDBED 11 ABC B与 垂直。 【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面 角时，对特殊的角，如 0 90时，可以采用证明垂直的方法来求之 【易错点易错点 5】5】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆 1、如图，在北纬 0 45的纬线圈上有 B 两点，它们分别在东经 0 70与东经 0 160的经度上，设地球的半径为 R，求 B 两点的球面距离。 解析：设北纬 0 45圈的圆心为 O ，地球中心为 O，则 000 1 1607090 ,AO B 0 1 45 ,OBOOBR 11 2 , 2 O BO AR ABR 连结 ,AO AB，则 0 ,60AOBOABRAOB 11 2 63 ABRR 。故 A、B 两点间 的球面距离为 1 3 R 。【知识点归类点拨】数学上，某点的经 度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与 本初子午线（ 0 0经 线）和地轴确定的半平 面所成的二面角的度数。某点的纬度是：经 过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。 如下图： 图（1）：经度P 点的经度，也是AB AOB或 的度数。图（2）：纬度P 点的 纬度，也是 POAPA或 的度数 （III）由 II 知，OF 平面PBC，F是O在平面PBC内的射影.D是PC的中点， 若点F是 PBCA 的重心，则B、F、D三点共线，直线OB在平面PBC内的射影为直 线BD. OBPC PCBD PBBC ，即1K .反之，当1K 时，三棱 锥O PBC 为正三棱锥， O 在平面PBC内的射影为 PBC 的重心. 方法二:OP 平面ABC, ,OAOC ABBC,.OAOB OAOP OBOP 以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O xyz (如图)，设 ,ABa 则 2 (,0,0) 2 Aa , 2 (0,0) 2 Ba , 2 (,0,0) 2 Ca .设OP h , 则 (0,0, )Ph (I) D 为 PC 的中点，OD 21 (,0,) 42 ah ，又 2 (,0,) 2 PAah ,OD - 1 2 PA OD /PA OD/平面PAB. 【知识点分类点拔】解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等 变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了 数与形互相转化和密切结合的思想.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、 夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公 式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.用空间向量解决立体几何问题 一般可按以下过程进行思考：要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？ 所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？所需要的 向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些 未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？怎样对已经表示出来的所需向量进行运算， 才能得到需要的结论 【易错点易错点 7】7】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系 数，导致出错数，导致出错 1 如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AB=8， AD=4 3，侧面 PAD 为 等边三角形，并且与底面成二面角为 0 60。 求四棱锥 PABCD 的体积。 解析：如图，去 AD 的中点 E，连结 PE，则PEAD。作 PO 平面 ABCD， 垂足为 O，连结 OE。 根据三垂线定理的逆定理得OE AD ，所以 PEO 为侧面 PAD 与底面所成二面角的平 面角。由已知条件可 0 60 ,6PEOPE ，所以 3 3PO ，四棱锥 PABCD 的体积 1 8 4 33 396 3 P ABCD V 。 【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个 面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求 2、 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱 AA1=2，D、E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的垂心 G.（）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ；(）求点 A1到平面 AED 的距离. 答案：（） ; 3 2 arcsin （）3 62 . 【易错点易错点 9】9】二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等 1. 如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AA1A1C1a，E 为 BB1的中点， 若截面 A1EC侧面 AC1求截面 A1EC 与底面 A1B1C1所成锐二面角 度数 解法 1 截面 A1EC侧面 AC1A1C连结 AC1，在正三棱 ABCA1B1C1中， 截面 A1EC侧面 AC1， 就是所求二面角的度数易得A1AC145，故所求二面 角的度数是 45 解法 2 如图 3 所示，延长 CE 与 C1B1交于点 F，连结 AF，则截面 A1EC面 A1B1CAFEB1面 A1B1C1，过 B1作 B1GA1F 交 A1F 于点 G，连接 EG，由三垂线定理知EGB1就是所 求二面角的平面角 即所求二面角的度数为 45【知识点归类点拨】二面角平面角的作法：（1）垂面法： 是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面 角。（2）垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两 条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；（3）三垂线法：是指利用 三垂线定理或逆定理作出平面角 易错点易错点 1010 三视图三视图 一个棱锥的三视图如图， 则该棱锥的全面积（单位： 2 cm）为( ) （A）48 12 2 （B）48 24 2 （C）36 12 2 （D） 3624 2 解析:棱锥的直观图如右，则有PO4，OD3， 由勾股定理，得 PD5，AB6 2，全 面积为： 2 1 6622 1 652 1 6 2448122，故选.A。 2、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，ADB90， AB2AD （）证明：PABD； （）若PDAD，求二面角A-PB-C的余弦值 【解析】 （）由ADB90，可得BDAD 因为PD底面ABCD，所以PDBD 又PDADD，所以BD平面PAD，因为PA平面PAD， 所以BDPA（4 分） （）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设ADa，则 A（a，0，0） ，B（0，a，0） ，C（a，a，0） ，P（0，0，a） ， （a，a，0） ，（a，0，0） ， （a，0，a） ，（a，a，a） 设平面PAB的法向量为n n（x，y，z） ， 所以可得 设y，则xz3，可得n n（3， ，3） 同理，可求得 平面PBC的一个法向量为m m（0，1，） 所以 cosm m，n n由图形知，二面角A-PB-C为钝角， 因此二面角A-PB-C的余弦值是（12 分） 3、如图，四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面ABCD是 平行四边形， ,E F分别在棱 11 ,BB DD 上，且 1 AFECA （1）求证： 1 AEFCA ；（2）若 1 AA 平面ABCD，四边形 1 AEC F 是边长为 6的正 方形，且1BE ，2DF ， 求线段 1 CC 的长, 并证明： 1. ACEC 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系， 考查线线、线面平行的性质和判定，线线垂直的性质和 判定，考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化 为平面问题的意识以及推理论证能力 第 18 题图 A1 A B C D C1 B1 D1 F E 1 BB 平面 ,ABCD AC 平面 ,ABCD 1 ACBB . 1 ,BC BB 平面 11 ,BBC C AC平面11 .BBC C 13 分 1 EC 平面 11 ,BBC C 1. ACEC 14 分 4、已知四棱柱 1111 ABCDABC D 中， 1 AAABCD底面 , 90ADC ，AB CD ， 1 22ADCDDDAB . 求证： 11 ADBC ； 求二面角 11 ABDC 的正弦值; （3）求四面体 11 ABDC 的体积. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及 到线面的垂直关系、二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用 以及几何体体积的求法. A1 C D1 D AB B1 C1 (3) 设所给四棱柱的体积为 V,则 6 1 AASV ABCD ，又三棱锥 ABDA 1 的体积 等于三棱锥 111 CDAB 的体积，记为 1 V ，而三棱锥 111 CDAD 的体积又等于三棱锥 CBDC 1 的体积，记为 2 V . 则由于 3 2 212 2 1 3 1 1 V ， 3 4 222 2 1 3 1 2 V ，所以所求四面体的体 积为 222 21 VVV . (12 分) 5、如图，在四面体ABCD中，二面角 BCDA 的平 面角为 60 ， ,CDAC ,CDBD 且 ,2BDCDAC 点E、F分别是AD、BC的中点. ()求作平面，使EF，且AC平面 , BD平面； （）求证： BCDEF平面 . E D A C G B P F 6、已知四棱锥 ABCDP 中，PA平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形， 90ADC ，ADBC， ACAB ， 2 ACAB ，G为 PAC 重心， E为PB的中点，F在BC上，且FBCF2. （）求证：FG平面PAB； （）求证：FGAC. 【解析】()连接CG交AP于M点因为1 2 BF CF GM CG ， 所以 BMFG/ ,又BM平面PAB， FG 平面PAB所以 /FG 平面PAB 6 分 . 8、三棱锥 O-ABC 中，OA、OB、OC 两两垂直，P 为 OC 中点，PQ 垂直 BC 于 Q，OA=OB=OC=2，过 PQ 作一个截面，交 AB、AO 于 R、S，使 PQRS 为梯形。 （1）求SO AS 、RB AR 的值； （2）求五面体 ACPQRS 的体积。 【解析】 （1）因 PQRS 为梯形，只能是 PSQR，于是得到 PS AC QRAC 因 P 为 OC 中点，所以 1 SO AS 因 PQ 垂直 BC，所以2 2 CQPQ 而 22CB 所以3 1 BC CQ 即：3 1 RB AR （2）连 OA，OR，PR 3 4 222 2 1 3 1 ABCO V 4 3 2 3 2 3 2 2 1 3 1 OBRQ V 12 1 1 2 1 1 2 1 3 1 OSRP V 8 1 2 3 2 1 1 2 1 3 1 OPQR V 所以五面体 ACPQRS 的体积 8 3 ) 8 1 12 1 4 3 ( 3 4 9、如图，正方形 AA1D1D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点 E 为 AB 上一点 (I)当点E为AB 的中点时,求证；BD1/平面 A1DE (II )求点 A1到平面 BDD1的距离；ww w.xk (III)当时，求二面角 D1-EC-D 的大小. 解法二：（I）同解法一3 分 （II）由面ABCD面ADD1A，且四边形AA1D1D为正方形，四边形ABCD为矩形，可得 D1DAD，D1DDC，DCDA于是以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系 由AB=2AD=2 知：D(0，0，0)，D1(0，0，1)， A1(1，0，1)，B(1，2，0)， DB=(1，2，0)， 1 DD =(0，0，1)， BA1 =(0，2，-1)设面BDD1的一 A1 D1 A E B C y x z 个法向量为n1 )1( 11 zx， ，则 ， ， 0 0 11 1 DD DB n n 即 ， ， 0 02 1 1 z x )012( 1 ， n 点A1到面BDD1的距离 5 52 | | 1 11 n nBA d 8 分 （III）由（II）及题意知：E(1，3 2 ，0)，C(0，2，0)， ) 1 3 2 1 ( 1 ，ED ， )0 3 4 1(，EC 设面D1EC的一个法向量为 ) 1( 222 ， yx n ，则 ， ， 0 0 2 12 EC ED n n 即 ， ， 0 3 4 01 3 2 22 22 yx yx 可得 ) 1 2 1 3 2 ( 2 ，,n 又易知面DEC的一个法向量是 1 DD (0，0，1)，设 D1-EC-D的大小为，则 61 616 1 6 61 1 | cos 12 12 DD DD n n ，得 61 616 arccos 即D1- EC-D的大小为61 616 arccos 1 , 2 PNNC N点是点是PC的三等分点的三等分点 2222 =2(2 2)2 3PCPAAC， 2 3 . 3 PN 4 4 分分 3 , 3 PNPA APNCPA PAPC 0 ,90PANPCAANP ， ANPC6 6 分分 又又PC AM 且且AM ANA , ,PC 面面AMN. . 7 7 分分 （）设平面）设平面BAN的法向量为的法向量为 ( , , )nx y z ， 0, 0, n AB n AN (0,2, 1)n (2,2, 2)PC 是平面是平面AMN的法向量，的法向量， 1010 分分 15 cos,. 5 n PC n PC n PC 二面角二面角BANM的余弦值的余弦值 15 5 . . 1212 分分 11、如图所示四棱锥P ABCD 中,PA 底面ABCD,四边形ABCD中, ABAD,/BCAD,2PAABBC,4AD ,E为PD的中 点,F为PC中点.（）求证:CD 平面PAC； （）求证: /BF 平面ACE； （）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦 值； 【解析】（）因为PA 底面ABCD,CD 面ABCD, 所以PA CD ,又因为直角梯形面ABCD中, 2 2,2 2ACCD , 所以 222 ACCDAD,即ACCD,又PAACA,所以CD 平面PAC； 4 分 （）解法一解法一:如图,连接BD,交AC于O,取 PE中点G, 连接 ,BG FG EO,则在 PCE 中, /FGCE, 又EC 平面ACE,FG 平面ACE,所以 /FG 平面ACE, 因为 /BCAD,所以 BOGE ODED ,则 /OEBG, 又OE平面ACE,BG 平面ACE,所以 /BG 平面ACE, 又BG FGG ,所以平面 /BFG 平面ACE, 因为BF 平面BFG,所以 /BF 平面ACE. 10 分 解法二解法二:如图,连接BD,交AC于O,取PE中 点G, 连接FD交CE于H,连接OH,则 /FGCE, 在 DFG 中, /HEFG,则 1 2 GEFH EDHD , 在底面ABCD中, /BCAD,所以 1 2 BOBC ODAD , 所以 1 2 FHBO HDOD ,故 /BFOH,又OH 平面ACE,BF 平面ACE,所 以 /BF 平面ACE. （）由（）可知,CD 平面PAC,所以 DPC 为直线PD与平面PAC所 成的角, 在Rt PCD 中, 22 2 2,2 5CDPDPAAD , 所以 2 210 sin 52 5 CD DPC PD , 所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为 10 5.14 分 12、如右图所示，四棱锥 PABCD 中，侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形且与底面垂直， 底面 ABCD 是ADC=60的菱形，M 为 PB 的中点 （1）求 PA 与底面 ABCD 所成角的大小； （2）求证：PA平面 CDM； （3）求二面角 DMCB 的余弦值 （3）由（2）知MC 平面PAB，则 NMB 为二面角D MCB 的平面角， 在Rt PAB 中，易得 2222 6,6210PAPBPAPB（） ， 210 cos 510 AB PBA PB , 10 coscos() 5 NMBPBA 故，所求二面角的余弦值为 10 5 . 12 分 解法二：(1)同解法一. 4 分 (2)由底面ABCD为菱形且 0 60ADC ， 2,1DCDO ， 有OA DC 建立空间直角坐标系如图，则 ( 3,0,0)A , (0,0, 3)P , (0, 1,0)D , ( 3,2,0)B , (0,1,0)C 由M为 PB中点， 33 (,1) 22 M， 33 (,2) 22 DM uuu u r ， , ( 3,03)PA uu r ， , (0,2,0)DC uuu r 33 32 0(3)0 22 PA DM uu r uuu u r g 032 00 (3)0PA DC uu r uuu r g PADM，PA DC PA平面DMC8 分 (3) 33 (,0) 22 CM uuu r ， , ( 3,10)CB uur ， .令平面BMC的法向量 ( ,)nx yz r ， ， 则 0n CM r uuu r g ，从而 0 xz ； , 0n CB r uur g ，从而 30 xy 由、，取 1x ，则 3,1yz 可取 ( 1, 31)n r ， 由(2)知平面CDM的法向量可取 ( 3,03)PA uu r ， ， 2 310 cos 556 | n PA n PA n PA r uu r r uu r g gu ruu r g 所求二面角的余弦值为 10 5 .12 分 【解析】 （） ,ADAE ADAF , 2 分 又 ,AEAFA AEAEF AFAEF面面 ，4 分 AD面 AEF 5 分 A O B C D 14、如图，已知AOB，AOB2 ，BAO6 ，AB4，D为线段AB的中点若AOC 是AOB绕直线AO旋转而成的记二面角BAOC的大小为 （1）当平面COD平面AOB时，求的值； （2）当2 ， 2 3 时，求二面角CODB的余弦值的取值范围 【解析】法一法一： （1）解：如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于 OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴 建立空间直角坐标系 Oxyz， 则A (0，0，2 3)，B (0，2，0)， D (0，1， 3)， C (2sin，2cos，0) 设 1 n (x，y，z)为平面 COD的一个法向量， 由 1 1 0, 0, n OD n OC 得 sincos0, 30, xy yz 取zsin，则 1 n ( 3cos，3sin，sin)因为平面AOB的一个法向量为 2 n (1，0，0)，由平面COD平面AOB得 1 n 2 n 0，所以 cos0，即2 7 分 （2）设二面角CODB的大小为，由（1）得当2 时， cos0； 当(2 , 2 3 时，tan 3，cos= 12 12 | nn nn 2 3cos 3sin 2 3 4tan3 ， 故 5 5cos0综上,二面角CODB的余弦值的取值范围为 5 5，015 分 法二：法二：（1）解：在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足 为E， 因为平面AOB平面COD， 平面AOB平面CODOD， 所以BE平面COD， 故BECO 又因为OCAO， 所以OC平面AOB，故OCOB又因为 OBOA，OCOA， 所以二面角BAOC的平面角为COB，即2 7 分 （2）解：当2 时，二面角CODB的余弦值为 0；当(2 , 2 3 时， 过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连结CG， 则CGF的补角为二面角CODB的平面角在 RtOCF中，CF2 sin，OF2cos， 在 RtCGF中，GFOF sin3 3cos，CG 22 4sin3cos ， 所以 cosCGF FG CG 22 3cos 4sin3cos 因为(2 , 2 3 ，tan 3， 故 0cosCGF 2 3 4tan3 5 5所以二面角CODB的余弦值的取值范围为 5 5，015 分 15、如图 5，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称 的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径， 且AB=2，BF=2AB. （1）求证：BE平面ACD； （2）当三棱锥DBCE的体积最大时，求二面角CDEA的平面角的余弦值. 16、如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中 90ADBCABC， ， PD 平面ABCD，AD 1， 3AB ， 4BC （） 求直线AB与平面PDC所成的角； （）设点E在棱PC上，PE PC ，若DE平面 PAB， 求的值 A P E C D B 【解析】本小题将直四棱锥的底面设计为梯形，考查平面几何的基础知识本小题将直四棱锥的底面设计为梯形，考查平面几何的基础知识. .同时题目指同时题目指 出一条侧棱与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构出一条侧棱与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构. .本题通过分层设计，考查了空本题通过分层设计，考查了空 间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解解 能力能力. . 满分满分 1414 分分. . 法二法二如图，在平面ABCD内过D作直线DF/AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的 直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.（）设PD a ，则 ( 1,3,0),( 3, 3,)BDPCa ， 330BD PC ，BD PC . BDPDC DBPDC 面就是平面的法向量， .由条件知A（1，0，0） ， B（1， 3，0） ， (0, 3,0),(1, 3,0)ABDB . 设AB PDC与面所成角大小为 ，则 |33 sin. 2| |2 3 DB AB DBAB 09060 ,， 即直线AB PDC与平面所成角 为60. 6 6 分分 （）C（3， 3，0） ，记P（0，0，a） ，则 03 0AB （，） ， (0, 0, )DPa ，PA a （1，0，- ）， 33PCa （，） ， 而PE PC