高中数学恒成立或有解问题的解决策略编辑

高中数学恒成立或有解问题的解决策略含有参数的方程(或不等式)中的“任意性”与“存在性”问题历来是高考考查的一个热点，也是高考复习中的一个难点破解的关键在于将它们等价转化为熟悉的基本初等函数的最值或值域问题，而正确区分“任意性”与“存在性”问题也是解题的关键.核心思想: 1.恒成立问题的转化: 恒成立; 2.能成立问题的转化: 能成立; 3.恰成立问题的转化:若在D上恰成立在D上的最小值;若在D上恰成立 在D上的最大值.4. 设函数,，对任意的，存在，使得，则;设函数,，对任意的，存在，使得，则;设函数,，存在，存在，使得，则;设函数,，存在，存在，使得，则;5.若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方; 若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方.6.常见二次函数.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）;.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解.1、 单变量问题（一）主参换位法例1对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围解：原不等式等价于x2ax4xa30，a(x1)x24x30，令f(a)a(x1)x24x3，则函数f(a)a(x1)x24x3表示直线，要使f(a)a(x1)x24x30，则有f(0)0，f(4)0，即x24x30且x210，解得x3或x0，且x1时，f(x)，求k的取值范围解：(1)f (x).由于直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)，故即解得(2)由题设可得，当x0，x1时，k0，x1)，则g(x)2，再令h(x)(x21)ln xx21(x0，x1)，则h(x)2xln xx，又h(x)2ln x1，易知h(x)2ln x1在(0，)上为增函数，且h(1)0，故当x(0,1)时，h(x)0，h(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数，故h(x)h(1)0，h(x)在(0，)上为增函数又h(1)0，当x(0,1)时，h(x)0，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数由洛必达法则知，lig(x)2li 12li 1210，k0，故k的取值范围为(，02.完全分离，最值点不可求，虚设零点（隐零点问题）（四）数形结合（部分分离，化为切线）在求解过程中，力求“脑中有形，心中有数”，借助数形结合。例1 已知函数.（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）若，则，当时， 导数的几何意义的应用所以所求切线方程为。（2）思路一：由条件可得，首先，得，当时，函数恒成立，等价于对任意恒成立，亦即函数的图象总在直线的上方（含边界）.部分分离，数形结合，化为图象的位置关系令，则，所以单调递增；令，则，所以单调递增，所以为凹函数，如图所示，又是过定点的直线系，当直线与曲线相切时，可设切点为，则，即，借助于导数的几何意义，寻找临界解得，此时切线的斜率为，只需即可，解得. 故的取值范围是.【审题点津】不等式恒成立也可以适当恒等变形，部分分离，化为函数过定点的直线与函数图象的位置关系；再利用导数的几何意义，应用运动的数学思想转化为直线的斜率与过定点的切线的斜率的大小关系求解参数的取值范围.（五）利用导数中的重要不等式放缩例1（2）问思路二：由于，因为，当且仅当时取等号，如图所示，（证明略 重要不等式是放缩的途径所以.借助于重要不等式灵活放缩1当时，函数恒成立，等价于对任意恒成立.令，则，当时，；当时， ，所以函数在上单调递增，在上单调递减； 所以. 只需. 故的取值范围是.【审题点津】不等式恒成立也可以借助于不等式进行灵活放缩，进而合理避开分类讨论，彻底应用变量分离法，化归为所构造函数的最值求解.解题方法完整示例1：已知函数（1）讨论函数零点的个数；（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围【解析】（1）思路一：函数的定义域为，由，当时，函数在上单调递增，因为，当时，所以函数有1个零点；利用零点存在性定理是解决此类问题的理论依据当时，当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，利用最值与0的大小关系加以判断若，所以函数没有零点；若，所以函数有1个零点；若，且，所以函数在有1个零点；又当时，所以函数在有1个零点；1综上可知，当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点【审题点津】函数零点的个数问题的依据是零点的存在性定理，其解决过程要注意“脑中有形，心中有数”，这也是数形结合思想的渗透.思路二：函数的定义域为，由，得，令，则函数是过定点，斜率为的直线，而函数的图象如图所示，部分分离，数形结合，化为图象的位置关系当直线与函数相切时，两者只有一个交点，此时设切点为，则，解得，借助于导数的几何意义，寻找临界所以当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点所以当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点【审题点津】函数零点的个数问题也可以转化为两个基本初等函数的交点个数问题，灵活借助于导数的几何意义加以解决.思路三：函数的定义域为，由，得， 将两个变量完全分离令，则，因为当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，由于，所以当时，当时，所以当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点借助于数形结合，确定分类的界点【审题点津】函数零点的个数问题也可以应用变量分离法转化为水平直线与函数图象的交点个数问题来处理，形象直观，本题是转化为直线与函数的图象的交点个数，只要借助于导数把函数的图象正确地画出来，自然一目了然.（2）思路一：由，所以对任意的，恒成立，等价于在上恒成立， 将两个变量完全分离令，则，再令，则，所以在上单调递增，因为，所以有唯一零点，且， 零点不可求，虚拟设根所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，即，善于结构分析，巧妙构造函数设，则，所以函数在上单调递增，因为，所以，即， 设而不求，整体代入，求解最值所以，则有，所以实数的取值范围 【审题点津】本题零点的探求也可以将变形为，进而构造函数来解决.思路二：设，对任意的，恒成立，等价于在上恒成立，直接“左减右”构造函数因为，令，则，所以在上单调递增， 高阶导数，层次要清晰因为当时，当时，所以在上存在唯一的零点，满足， 所以，且在上单调递减，在上单调递增，所以，设而不求，整体代入，求解最值所以，此时，所以，善于结构分析，巧妙构造函数设，则， 所以函数在上单调递增，因为，所以，即，所以，所以实数的取值范围 【审题点津】本题零点的探求也可以将变形为，进而构造函数来解决. 思路三：由，所以对任意的，恒成立，等价于在上恒成立，先证明，当且仅当时取等号，如图所示（证明略）.1所以当时，有，重要不等式是放缩的途径所以，即，当且仅当时取等号，所以实数的取值范围 【审题点津】很多导数的压轴题的命制都是基于两个重要不等式与，它们自然也是放缩的重要途径.1思路四：由，所以对任意的，恒成立，等价于在上恒成立，先证明，当且仅当时取等号，如图所示（证明略）.所以当时，有，重要不等式是放缩的途径所以，即，当且仅当时取等号，所以实数的取值范围 【点睛探究】两个重要不等式与实质是等价的，它们的变形很多，很值得深入探究.如以为例，把换为，即得；把换为，即得；把换为，即得，亦即；把换为，即得；把换为，即得；把换为，即得；解题方法完整示例2：已知函数在处的切线与轴平行.（1）求的单调区间；（2）若存在，当时，恒有成立，求的取值范围.【解析】（1）由已知可得的定义域为，所以，即， 应用导数的几何意义所以，令，得，令，得，借助于导数的正负加以判断所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）法一：不等式可化为，直接“左减右”构造函数令，则，令，其对称轴为，当，即时，在上单调递减，所以，若，则，所以在上单调递减，不适合题意； 正确理解题意是关键，就是在直线右侧附近是否为单调递增若，则，必定存在，使得时，即存在，当时，恒有成立；当，即时，欲使存在，当时，恒有成立，只需，即，此时，综上，的取值范围是.【审题点津】本题不等式恒成立问题直接构造函数，用多次求导，应用分类讨论思想探求该函数的增减性，达到求解问题的目标.法二：不等式可化为，若存在，当时，恒有成立，亦即存在，当时，函数的图象在直线的上方. 部分分离，数形结合，化为图象的位置关系令，则，1令，则，所以单调递减，为凸函数，如图所示，又是过定点的直线系，当直线与曲线相切时，所以的取值范围是.【审题点津】本题不等式恒成立问题采取适当恒等变形，部分分离，化为过定点的直线与函数图象的位置关系，进而应用运动的数学思想求解参数的取值范围.法三：不等式可化为，若存在，当时，恒有成立，亦即存在，当时，.完全分离，转化为函数的最值问题令，则，令，则，部分求导，简化运算所以在单调递减，即，所以在单调递减，因为，当且仅当时取等号（证明略），所以当时，所以的取值范围是.【审题点津】本题采取适当恒等变形，完全分离，转化为恒成立，只需使得即可，进而化归为求解函数的最小值的求解.本题要注意的是，端点效应的处理需借助于不等式恒成立，说明.法四：不等式可化为，因为，当且仅当时取等号（证明略），若存在，当时，恒有成立，亦即存在，当时， 重要不等式是放缩的途径所以. 因为，所以的取值范围是.【审题点津】本题不等式恒成立借助于不等式进行灵活放缩，转化为恒成立，这是知识整合能力的较好的体现.2、 双变量问题题型一：双变量化为函数的单调性2、 已知函数.若，对任意，不等式恒成立，求的最小值。题型二：双变函数“任意”“存在”问题已知函数，其中且。（1） 求函数的单调区间和极值；（2） 是否存在，对任意的，任意的，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。解:(1)且由,得且;由,得,函数的单调递增区间是,单调递减区间是,无极小值;(2)根据题意,只需,且,由,则函数的单调递减区间是,单调递增区间是,由,在单调递增,上单调递减,两边同乘以负数t得,即,所述,存在这样的负数满足题意.题型三：双变量化为单变量（含极值点偏移）1.设函数(I)讨论的单调性；（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解：（1）由题意得的定义域为，令，其判别式，.2分当时，恒成立，故在上单调递增；当时，的两根都小于，所以在上，故在上单调递增；当时，的两根为，当时，；当时，；当时，故分别在，上单调递增，在上单调递减。.6分（2）由（1）知，因为，所以斜率，又由（1）知，于是，.8分若存在，使得，则有，即，又因为，所以，即()，.10分再由（1）知，函数在上单调递增，而，所以，这与式矛盾，故不存在，使得。.12分2.已知，若函数有两个实数根，已知，若不等式恒成立，求的取值范围。解:(1),当时,即函数的单调增区间是,当时,