辅导课程五PPT课件

-,1,实变函数,主讲教师：吴行平,辅导课程五,-,2,第二章,本章主要介绍空间中的点集。首先介绍距离的概念，然后由此引出邻域的概念，又从邻域出发，引入内点、聚点、开集、闭集等概念。通过本章的学习，我们要掌握开集、闭集的概念及其性质，掌握直线上开集、闭集的构造，同时我们要特别注意康托尔集的性质。,-,3,第一节度量空间n维欧几里德空间,设X是一个非空集合，若对于X中任意两个元素x,y，都有唯一确定的实数与之对应，而且这一关系满足下列条件（1）的充要条件为x=y;（2）对任意z都成立。则称是x,y之间的距离，称为度量空间或距离空间。X中的元素称为点，条件（2）称为三点不等式。,-,4,例1n维（实）欧几里德空间。对于中任意两点定义它们的距离为,称为n维欧氏空间，其中d称为欧几里得距离,-,5,1、邻域,定义1中所有和定点之距离小于定数的点的全体，即集合称为点之邻域，并记为。称为邻域的中心，称为邻域的半径。不需特别指出半经时，也记作。显然，在中的就是以为中心为半径的开区间，开圆，开球。,-,6,容易证明邻域具有下面的性质：（1）；（2）对于和，存在（3）对于，存在；（4）对于，存在，使,-,7,2、一些基本概念,定义2设为中一点列，如果当时有，则称点列收敛于.记为=或。用邻域的术语来说，就是：对于的任一邻域，存在某个自然数N，使当时，。,定义3两个非空的点集A,B的距离定义为,-,8,定义4一个非空点集E的直径定义为,定义5设E为中一点集，如果称E为有界点集（空集也作为有界点集）,显然，E为有界点集的充要条件是：存在常数,使对于所有的都有,-,9,定义6点集称为开区间，如将其中不等式一律换成，或，则称之为一个闭区间或左开右闭区间。当上述各种区间无区别的必要时，统称为区间，记作I.称为I的第i个边长，称为I的“体积”，记为。,-,10,第二节聚点内点界点,本节以邻域为基础，给出了内点、聚点等概念，然后定义了集合的开核、导集、边界和闭包。通过本节的学习，我们要掌握内点、聚点的概念，掌握聚点的等价性结论，会计算集合的开核、导集、边界和闭包，要了解有界无穷点集至少有一个聚点,-,11,定义1如果存在的某一邻域使则称为E的内点；如果是CE的内点（这里余集是对全空间来作的），则称为E的外点；如果既不是E的内点又不是E的外点，则称为E的界点或边界点。,设E为n维空间中一点集，是中的一定点，下面研究与E的关系。,-,12,定义2设E为n维空间中一点集，是中的一定点，如果的任一邻域内都含有无穷多个属于E的点，则称为E的一个聚点。,注意：1内点一定是聚点，但聚点不一定是内点。2E的内点一定是属于E，但E的聚点可以属于E,也可以不属于E。,例E=(0,1,=0和=1均是E的聚点,-,13,定理1下面三个陈述是等价的；（1）是E的聚点；（2）的任何邻域内至少含有一个属于E而异于的点；（3）存在E中互异的点列，使其收敛于。证明由（1）推（2）及（3）推（1）是显然，现在证明由（2）推（3）。由假定在中至少有一点属于E而异于，令则在中至少有一点属于E而异于，令，则在中至少有一点属于E而异于，这样无限继续下去，便得到点列，它显然满足要求。,-,14,定义3设E为n维空间中一点集