自动控制原理第五PPT课件

.,1,5-1.引言,1、应用Nyquist判据，可以根据开环频率特性研究闭环系统的稳定性，不必皆闭环特征方程；2、研究频率特性（尤其二阶系统），把系统参数和结构变化与过渡过程性能指标结合起来；3、频率特性有明确的物理意义，可以用实验测定；4、频率响应分析法不仅适用于线性系统，还可以用于一些非线性系统；5、在设计中可以明确地抑制高频噪声。,频率响应法是工程中常用于分析和设计自动控制系统的一种方法，它有如下特点：,.,2,5-2.频率特性,一、基本概念,.,3,RC网络的幅频特性,RC网络的相频特性,RC网络的幅频特性和相频特性数据表,.,4,幅频特性与相频特性图,.,5,设,也可以写作：,其中：,.,6,谐波作用于线性定常稳定系统，其输出的稳态值仍然是与输入同频率的谐波函数，但是输出的幅值与相位有变化。,可以证明：,因此，描述系统特性的方法有如下三种：,微分方程，传递函数，频率特性,其关系如p173图5-4,.,7,二、频率特性的几何表示法,1、幅频特性与相频特性幅频特性是输出谐波的幅值与输入谐波幅值之比随谐波频率变化的情况；相频特性是输出谐波对于输入的相位滞后。,2、幅相频率特性曲线,幅相频率特性曲线简称幅相图或极坐标图。,幅相频率特性曲线的特点是把看成参变量，将频率特性的幅频特性和相频特性同时表现在复平面上。,以复平面实轴正方向为相角的零度线，逆时针方向定义角度的正方向；,.,8,以复平面原点为幅频特性的参考点，对每一频率值，,由相频特性,确定其方向，以幅频特性,为离原点的距离，从而确定了复平面上的一点；随变,化，就组成了一条轨迹幅频特性曲线（幅相图）。,对于前面讨论过的RC网络如下图：,由于,.,9,3、对数频率特性曲线（Bode图）,对数频率特性曲线横坐标表示频率，按对数分度单位是弧度秒；,对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位是分贝，记作dB。,对数幅频特性函数的定义：,对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，均匀分度，单位是度。,采用对数坐标图的优点是：,1、可以将幅值的乘除化为图中的加减；,2、可以用简便的方法绘制近似对数幅频曲线；,3、将试验数据画成对数幅频曲线可获得系统表达式。,.,10,4、对数幅相曲线（Nichols图）,对数幅相曲线的横、纵坐标都是均匀分度，横坐标表示频率特性的相角，纵座标表示频率特性的幅值的分贝数，如上述RC网络的对数幅相曲线如p175图。,.,11,5-3.典型环节与开环系统频率特性,一、典型环节,如图，开环传递函数为：,事实上，可以将G(s)H(s)分解为一些因子的乘积。,1、比例环节,比例环节的频率特性是,频率特性的幅相曲线（极坐标）图上是实轴上K这一点。,.,12,比例环节的对数幅频特性和相频特性分别为：,和,2、积分环节,，,，,显然，幅频特性与成反比，相频特性恒为-900,.,13,对数幅频特性是直线，斜率为-20。,该线横坐标lg每增加单位长度，L()就减少20dB，记作-20dB/dec（-20dB/十倍频程），该线与零分贝交点为=1。,对数相频曲线是-900的水平线。,积分环节的幅相特性为：,积分环节的对数幅频特性和相频特性如下：,.,14,3、微分环节,，,，,微分环节的幅相特性为：,对数幅频特性和相频特性为：,对数幅频特性是直线，斜率为20。,对数幅频特性与相频特性如右图：,.,15,4、惯性环节,其微分方程的解为：,当x(t)=1(t)，由于其阶跃响应不是立即达到，响应具有惯性，因而惯性环节由此得名。,惯性环节的特性取决于时间常数。,，,幅相曲线如右：,.,16,惯性环节的对数幅频特性和相频特性：,若取，可得右图：,.,17,在工程上，往往采用如下的简便作图法：,将,分两段来近似：,(1)当1/T时，近似地不计及T2这一项：,(2)当1/T时，近似地则不计及1这项：,.,18,用上述近似法称渐进线作伯德图法，显然,在=1/T处，误差最大。,.,19,5、一阶微分环节,，,其幅相曲线为：,其Bode图为（设T=1)：,.,20,6、振荡环节,.,21,显然,，,可作出如p179图5-12：,其Bode图的近似表达如右：,.,22,7、时滞环节,.,23,二、开环幅相曲线的绘制,例：绘制系统开环频率幅相曲线，其中：,解：,.,24,例：,试分析开环幅相曲线特点并求曲线与负实轴交点。,解：,.,25,求负实轴交点可以用试探法，一般也可令G(j)虚部为0，解得，再求实部。,再代入实部：,.,26,5-4Nyquist稳定判据,1、应用开环频率特性判断闭环稳定性其中开环频率特性可部分实验求取；2、便于研究系统参数和结构的改变对稳定性的影响；3、可以研究包含延时环节的稳定性；4、可以推广到非线性研究。,Nyquist判据的特点：,Nyquist判据根据开环频率特性判断闭环系统稳定性。,.,27,一、辅助函数F(s),1、其零点和极点分别是闭环和开环的特征根；2、其零极点个数相同；3、F(s)和G(s)H(s)只差常数。,设：,则：,辅助函数F(s)有如下特点：,.,28,F(s)函数的特点：,.,29,二、映射定理,在s平面上任选一复数s，通过复变函数F(s)的映射关系在F(s)平面上可以找到s相应的象。若在F(s)的零极点分布图上，选择A点，使s从A点开始移动，绕F(s)的零点Zi顺时针依曲线s（s不通过任何零极点）转一周回到A，相应地，F(s)也可从B点出发回到B，也画出一条封闭曲线F。,.,30,若s依s变化时，F(s)相角的变化为,则有：,F(s)=-2表示s的象F从B点开始再回到B点绕着原点顺时针转了一圈。,.,31,幅角定理：若封闭曲线s内有z个F(s)零点，p个F(s)极点，则s依s顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点反时针转的圈数R为p与z之差，即R=p-z,同理，若s绕F(s)的极点顺时针转一圈时，在F(s)上s的象F绕原点反时针转一圈。,由此，可得映射的幅角定理：,.,32,三、Nyquist判据,若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线不包围（-1，j0）点；若系统开环不稳定（在s右半平面有p个开环极点），则系统闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线反时针方向包围（-1，j0）点p/2次。,Nyquist判据可分为两种情况：,证明：将s取为虚轴和右半平面半径为无穷的圆，幅角原理的p和z则表示了位于右半s平面的开环极点和零点的个数。,BACK,.,33,故s沿s顺时针环绕一圈时，在F(s)平面上F绕原点反时针圈数为R=pz,若系统稳定，则F(s)=1+G(s)H(s)在s平面的右半部（即s所围区域内）没有零点。即环绕F(s)原点数为R=p-z|z=0=p,.,34,因此，在G(s)H(s)图上，若希望系统稳定，G(s)H(s)的曲线环绕（-1，j0）点次数为R=p0，这里p为开环系统在右s平面的极点数。,.,35,试分析系统稳定性。,例：系统的开环传递函数为：,事实上，本题中，只要K，T1，T2均大于零，G(j)H(j)的幅角只会在0-1800内变化，不会与负实轴相交，因而不会包围（-1，j0）点，因此只要K，T1，T2均为正数，系统总是稳定的。,.,36,如前所述，当系统的开环传递函数包含积分环节时，,设：,即对型系统，有：,为避免s经过G(s)H(s)的极点，可采用一无限小的圆弧来绕过这些位于虚轴上的开环极点，从而可以应用Nyquist判据。,绕过原点处的极点会产生何种影响呢?,.,37,S平面上原点映射到G(s)H(s)平面上的无穷远处，而s从s上的a点移至c点时，,其中：,可见，1小圆弧在G(s)H(s)上的映射是半径无穷大的v/2的圆，其方向为顺时针。,.,38,再考虑到G(j)H(j)幅相曲线从=0至，1圆弧仅考虑bc，故在应用Nyquist判据时，遇到开环传递函数有原点处极点（即有积分环节）的情况，应对G(j)H(j)从频率0+对应的点开始，反时针方向补画v/4个无穷大半径的圆。,解：系统的开环幅相图如右，由于有二阶积分环节，补画半圆。可见，幅相曲线包围（-1，j0）点一次，而开环系统稳定，故闭环系统不稳定。,.,39,例：试判断下列系统K=2时闭环是否稳定，并确定临界放大系数。,解：,作K=2时的幅相图可见系统不稳定，,.,40,四、系统稳定裕量,工程上要求系统稳定，即要求最小相位系统的幅相图曲线不包括（-1，j0）点，若能保证不但不包括（-1，j0）点，而且离（-1，j0）点有一定距离，则系统在受到环境温度、元件参数变化所影响后，幅相曲线也不会包围（-1，j0）点，则称系统有一定的稳定裕量。稳定裕量分相角余量和幅值余量。,相角余量是指在幅值等于1的频率上，使系统达到稳定边界所富余的相角迟后量：=1800+(c)cG(j)H(j)曲线与单位圆交点处的频率（穿越频率）,.,41,幅值余量指G(j)H(j)相角等于1800时（G(j)H(j)与负实轴交点处），幅值G(jg)H(jg)的倒数。,相角余量表示使系统到达稳定边界所允许增加的开环传递函数的相位滞后。,幅值余量表示使系统到达稳定边界所允许增大的开环传递函数的放大倍数。,如右图可见：,.,42,五、Nyquist判据在对数频率特性中的应用,在G(j)H(j)平面上的单位圆反映到对数坐标图上是0dB线。在G(j)H(j)平面上负实轴反映到坐标图上是1800线。因此，G(j)H(j)线不包围（-1，j0）点转换到对数坐标上是：在L()0dB的频段内，相频特性曲线不穿越1800线。因此，Nyquist判据用在对数频率特性上表达为：一个反馈控制系统，其闭环特征正实部根的个数z，可以根据开环传递函数右半s平面极点个数和开环对数幅频特性为正值的所有频段内，对数相频曲线与-1800线的正负穿越之差N=N+-N-确定，即z=p-2N，系统稳定的充要条件是N=p/2。,.,43,何为N+，N-？请看下例：,由幅相图上看，幅相曲线包围（-1，j0）点的圈数为0，此结论也可以根据增加时的幅相曲线穿越负实轴来确定，将由下往上穿越为负穿越（如C点），而将由上往下为正穿越（如B点），A点不必考虑，仅考虑负实轴上（-，-1）部分（即0dB以上部分）。,.,44,把增加时,相角()减少的称负穿越，把增加时,相角()增加的称正穿越。,同样地，当G(s)H(s)包含积分环节时，在对数相频曲线上为0+的地方，应补画一条从相角0度到G(j0+)H(j0+)的虚线，将虚线的穿越也算入穿越的统计内。,.,45,例：系统的开环传递函数为,试用对数频率判据判断闭环系统的稳定性。,解：系统伯德图如右，,由于p=0，故z=0-2(-1)=2所以系统不稳定，且可以进一步指明，系统闭环特征方程右半s平面根的个数z=2,G(s)H(s)有两个积分环节，相频特性从-1800开始，但需从00线补画一虚线在=0+处，故N=N+-N-=-1,.,46,六、对数幅相特性和系统品质的关系,通常把对数幅、相特性分为低频区、中频区和高频区,.,47,1、低频区,系统低频区的特性决定系统的静态性能的好坏；低频特性渐进线决定系统的稳态误差；低频特性渐进线是0dB/dec的系统是0型系统；低频特性渐进线是-20vdB/dec的系统是v型系统；,.,48,1型系统低频渐进线的斜率是-20dB/dec，作低频渐进线的延长线与0dB线相交，交点的频率数值就是系统的稳态速度误差系数，如下图：,2、设低频渐进线（或其延长线）于0dB交于k，由,，得,.,49,同理，对2型系统，有,，得,因此，0型系统的Kp可以通过低频特性渐进线之高度来确定；1型系统的Kv=k；2型系统的Ka=k2。,例：根据Bode图确定传递函数，并求穿越频率c：,解：该开环传递函数的形式为：,.,50,显然这是2型系统，K=102；,而依-20dB/dec线段，2距1为100倍（2dec），,所以：,.,51,2、中频区,中频区对系统的瞬态响应品质影响最大；中频区一段是指穿越频率c附近的频段。习惯上把零分贝线上+30dB至零分贝线下-15dB称为中频区；c反映系统的快速性，c附近的幅频特性的斜率决定系统的相对稳定性，斜率越大，超调量越小；最小相位系统的对数幅频特性与相频特性有对应关系，对数幅频特性斜率越大，其相角迟后越小，相位裕度也越大，超调量就较小；通常在c附近的斜率应取-20dB/dec，这个要求往往通过设计系统时加以适当的校正环节来达到；2与3离c越远，系统的超调量越小。,.,52,3、高频区,高频区对应于系统的小时间常数，系统存在一个或数个小时间常数的惯性环节，它们将使高频区幅频特性出现转折，使系统的相角余量变小。但若离c很远，它对相角余量的影响不大，因而对系统的品质影响不大，可以忽略。由上述分析可知，为使系统满足一定的稳态和动态指标，对开环对数幅频特性的形状有如下要求：低频率要有一定的宽度和斜率，中频率要有足够的宽度，斜率取-20dB/dec为宜，高频率采用迅速衰减的特性以抑制不必要的高频噪声。,.,53,工程上采用的典型开环对数幅频特性如上图，其中,通常取,.,54,对于该种典型系统，有如下经验公式：,粗略估计时，取,或,精确估算时，取,.,55,5-5闭环频率特性,开环频率特性与闭环频率特性之间有一定的联系，因而可以通过开环频率特性求取系统的闭环频率特性。,若单位负反馈,.,56,一、等M圆和等N圆,当M取定值时，上式所