随机过程作业题及参考答案(第一章)随机过程论钱敏平答案VIP

随机过程作业题及参考答案(第一章)随机过程论钱敏平答案 第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程X 变量。试求X 解： (t )=X cos 0t ，- (t )的一维概率分布。 2 ，即t = 1 当cos 0t =0，0t =k + 1?1? k +?（k z ）时， 0?2? X (t )0，则P X (t )=0=1. 2 当cos 0t 0，0t k + 2 ，即t 1?1? k +?（k z ）时， 0 ?2? X N (0，1)，E (X )=0，D (X )=1. E ?X (t )?=E X cos 0t =E (X )cos 0t =0. 22 D ?X (t )?=D X cos 0t =D (X )cos 0t =cos 0t . X (t )N (0，cos 20t ). 则 f ( x ；t )- x 22cos 0t . 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ?cos t ，出现正面X (t )=? ?2t ，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 1?1?。试确定X (t )的一维分布函数F x ?2?2? 和F 1? 1)，以及二维分布函数F x 1，x 21?。 (x ； ? 2 ? ?0，x ?1?1?1? F x ?=P ?X ?x ?=?，0x ?2?2?2 ?1，x 1 随机矢量 X ?0，x F (x ；1)=P X (1)x =?，-1x ?2?1，x 2 ?1? -1)，(1，2). ，X 1()?的可能取值为(0，2? 而P ?X ?1?1?1?1 ，=0，X 1=-1=P X =1，X 1=2()?()?=. ? ? ?2?2?2?2 1?1? F x 1，x 21?=P ?X ?x 1，X (1)x 2? 2?2?0，x 1 ?1? =?，0x 1 3. 设随机过程 X (t )，- X (t ，1)=1，X (t ，2)=sin t ，X (t ，3)=cos t 1 。试求数学期望EX (t )和相关函数R X (t 1，t 2)。 3 且P (1)=P (2)=P (3)= 1111 EX (t )=1?+sin t ?+cos t ?=(1+sin t +cos t ). 3333R X (t 1，t 2)=E ?X (t 1)X (t 2)? 111 =?1?1+?sin t 1sin t 2+?cos t 1cos t 2 3331 =(1+sin t 1sin t 2+cos t 1cos t 2) 31=?1+cos (t 1-t 2)?. 3? 4. 设随机过程X （t 0），其中X 是具有分布密度f (x )的随机变量。试求(t )=e -Xt ， X (t )的一维分布密度。 解： X (t )的一维分布函数为： 1? F (x ；t )=P X (t )x =P e -Xt x =P -Xt ln x =P ?X -ln x ? t ? 1?1? =1-P ?X t ?t ? X 具有分布密度f (x )， X (t )的一维分布密度为： ?1?1?1?1f (x ；t )=?F x ；t =-? -t ?x ?f -t ln x ?=tx ?()? ? P40 5. 在题4中，假定随机变量X 具有在区间望EX ?1?f -ln x ?. ?t ? T )中的均匀分布。试求随机过程的数学期(0， t 2)。 (t )和自相关函数R X (t 1， 解：由题意得，随机变量X 的密度函数为 ?1 ?，0 f X (x )=?T ?0，其它 由定义， T -tx 11T -tx 1-tx -Xt ?EX (t )=E ?e =e ?dx =-e d -tx =-e ()?0 T Tt ?0Tt 11 =-(e -Tt -1)=(1-e -Tt ). （t 0） Tt Tt T -X (t 1+t 2)-Xt 1-Xt 2 ? ?R X (t 1，t 2)=E ?X t X t =E e ?e =E e ?()()12? T T -x (t +t )111 =?e -x (t 1+t 2)?dx =-e 12?d ?-x (t 1+t 2)? ?00T T t 1+t 2T =- 1 e -x (t 1+t 2) T t 1+t 2T 0 =- 1?e -T (t 1+t 2)-1? ?T t 1+t 2? = 1?1-e -T (t 1+t 2)?. ?T t 1+t 2? 9. 给定随机过程 X (t )，- ?1，X (t )x Y (t )=? ?0，X (t )x 试证：Y （两(t )的数学期望和相关函数分别为随机过程X (t )的一维分布和二维分布函数 个自变量都取x ）。 证明：设 t 1，t 2)分别为X (t )的一维和二维概率函数，则 f 1(x ，t )和f 2(x 1，x 2； + x - - m Y (t )=E ?t )dx =?f 1(x ，t )dx =F 1(x ，t ). ?Y (t )?=?y (t )f 1(x ，R Y (t 1，t 2)=E ?Y (t 1)Y (t 2)?=? =? x 1- +- ? + - y 1y 2f 2(x 1，x 2；t 1，t 2)dx 1dx 2 ? x 2 f 2(x 1，x 2；t 1，t 2)dx 1dx 2=F 2(x 1，x 2；t 1，t 2). 若考虑到对任意的t T ，Y (t )是离散型随机变量，则有 m Y (t )=E ?t ). ?Y (t )?=1?P Y (t )=1+0?P Y (t )=0=P X (t )x =F 1(x ，R Y (t 1，t 2)=E ?Y (t 1)Y (t 2)? =1?1?P Y (t 1)=1，Y (t 2)=1+1?0?P Y (t 1)=1，Y (t 2)=0 +0?1?P Y (t 1)=0，Y (t 2)=1+0?0?P Y (t 1)=0，Y (t 2)=0 =P X (t 1)x 1，X (t 2)x 2=F 2(x 1，x 2；t 1，t 2). 因此，Y P41 14. 设随机过程X Y )的协方差阵为 (t )=X +Yt ，- (t )的数学期望和相关函数分别为随机过程X (t )的一维分布和二维分布函数。 ?12? ，试求X (t )的协方差函数。 ?2?2? 解：依定义，利用数学期望的性质可得 C X (t 1，t 2) =E ?(X -m =E ?(X +Yt 1)-(m X +m Y t 1)?(X +Yt 2)-(m X +m Y t 2)? X )+(Yt 1-m Y t 1)?(X -m X )+(Yt 2 -m t )? Y 2 =E ?(X -m X )(X -m X )?+E ?(X -m X )t 2(Y -m Y )? +E ?t 1(Y -m Y )(X -m X )?+E ?t 1t 2(Y -m Y )(Y -m Y )? =C XX +t 2C XY +t 1C YX +t 1t 2C YY 2 . =12+(t 1+t 2)+t 1t 22 机变量，各自的数学期望为零，方差为1。试求X 解： (t )的协方差函数。 C X (t 1，t 2)=E ?X (t 1)-m X (t 1)?X (t 2)-m X (t 2)? 2222 ?(X +Yt 2+Zt 2=E ?X +Yt +Zt -m +m t +m t -m +m t +m t ()()()?11X Y 1Z 1X Y 2Z 2? ? X ，Y ，Z 的数学期望均为0，即m X =0，m Y =0，m Z =0，将其代入式，得： 22 C X (t 1，t 2)=E ?X +Yt +Zt X +Yt +Zt ()()?1122? 222=E (X 2+XYt 2+XZt 2+XYt 1+Y 2t 1t 2+YZt 1t 2+XZt 12+YZt 12t 2+Z 2t 12t 2) 222222222=E ?X +XY t +t +XZ t +t +Y t t +YZ t t +t t +Z t 1t 2?()()()1212121212? ? D (X )=E (X 2)-E 2(X )， E (X 2)=D (X )+E 2(X )=1+02=1. 同理，E (Y )=1，E (Z )=1. 2 2 X ，Y ，Z 相互独立， E (XY )=E (X )