《动量传递过程选论》PPT课件

传递过程典型问题的解,动量传递过程选论,4.2应用流函数方法求解二维流动问题（1）,迄今为止，我们求解的流动问题都是一维问题，只包含一个非零速度分量。但大量实际流动问题涉及多维流动，需要运用特殊的数学方法和技巧求解。求解不可压缩流体二维流动问题的一种广泛应用的数学技巧是流函数方法。在此方法中，通过引进一个新的变量流函数，减少了控制方程组里的因变量数目，从而使数学模型比原有形式大大简化，更易于求解，尤其是更有利于用数值方法求解。,在直角坐标系下，常物性牛顿流体二维流动的变化方程组为：,4.2应用流函数方法求解二维流动问题(2),包含了三个自变量(t,x,y)和三个因变量(vx,vy,P)。,(b.1),(b.2),(b.3),在微分方程课程中，我们曾学习过一类称为全微分方程(exactdifferentialequation)的变系数常微分方程:,4.2应用流函数方法求解二维流动问题(3),则必然存在二元连续函数f(x,y)满足,其系数满足判别式,(b.4),(b.5),(b.6,7),函数f的全微分为,4.2应用流函数方法求解二维流动问题(4),回到常物性牛顿流体二维流动问题，令,由方程,定义的yx隐函数即是全微分方程的解。,则有,(b.8),(b.9),(b.10,11),(b.12,13),以及,4.2应用流函数方法求解二维流动问题(5),根据连续性方程，上式右侧的值等于零。于是必然存在二元连续函数(x,y)满足,如果我们得到了的表达式，通过求偏导数很容易得到vx和vy。函数被称为流函数。很显然，我们可以用求解来代替同时求解vx和vy。,(b.14),(b.15,16),把与vx和vy的关系代入变化方程组,有,4.2应用流函数方法求解二维流动问题(6),连续性方程自动满足，可以从方程组中删去。,(b.17),(b.18),(b.19),将式(b.18)对y求导和将式(b.19)对x求导，有,4.2应用流函数方法求解二维流动问题(7),(b.20),(b.21),从式(b.21)中减去式(b.20)，得到,(b.22),由上可见：控制方程已经从包含三个因变量(vx,vy,P)的三个方程(b.1b.3)减少为只含一个因变量()的单个方程(b.22)。这是一个巨大的简化！通过求解这个简化的数学模型得到流函数后，只需对流函数求导就能得到速度函数。教材第123页的表4.2-1列出了不同坐标系下应用流函数得到的控制方程形式，我们可根据具体案例按需选用。,4.2应用流函数方法求解二维流动问题(8),三个坐标系下的流函数方程,问题描述:一个球体在大空间中的牛顿流体中缓慢下落。求解当球体以恒定速度下落时流体和球体的运动状态。,例4.2-1环绕球体的爬流(1),1.物理模型:1)由于球体运动引起的流体物性变化很小，因而可以有效地假设流体的密度和粘度为常数。,例4.2-1环绕球体的爬流(2),2)当从固定在地球上的参考系观察时，这个过程是非稳态流动。但如果从固定在球体上的参考系观察，则表现为稳态流动。由于后者仍然是一个惯性参考系，因而前面所导出的运动方程在该参考系中依然成立。通过选择固定在球体上的参考系，我们将问题转化成为环绕一个固定球体的稳态流动。,例4.2-1环绕球体的爬流(3),3)因为过程在大空间中进行，在有限的时间里，球体引起的流体扰动并没有到达空间的外边界，我们不妨把外边界延拓到无限远处。4)因为流体流动的速度很小(即所谓爬流)，所以运动方程中的惯性项(与速度平方有关的项)均可省略。5)流动具有轴对称性。,例4.2-1环绕球体的爬流(4),2.数学模型:1)选用右图所示的球坐标系。2）根据物理模型中的第1)点和第5)点，可以从表4.2-1中的最后一,行得到此问题的控制方程：,例4.2-1环绕球体的爬流(5),根据物理模型中的第2)点，方程左侧的第一项等于零。根据物理模型中的第4)点，方程左侧色其它项均可省略，于是,(4.2-2),式中的微分算子E可以展开成表达式,(4.2-3),例4.2-1环绕球体的爬流(6),式(4.2-3)的边界条件应该从边界处的速度导出：,根据关系式,我们得到球表面的边界条件：,(4.2-4),(4.2-5),例4.2-1环绕球体的爬流(7),(4.2-6),对B.C.3积分得到,比较两式，我们有,式中C是一个任意常数，不妨取为零。,对B.C.4积分得到,例4.2-1环绕球体的爬流(8)分离变量法,3.数学模型求解,1)分离变量B.C.3提示我们流函数可能具有以下形式：,(*),其中,将其代入式(4.2-3)，我们有,(4.2-7),例4.2-1环绕球体的爬流(9)分离变量法,所以式(*)可以写作,(4.2-9),这是一个欧拉方程，其通解为,将其展开，我们有,(4.2-8),根据B.C.3,(4.2-10),及,然后,(4.2-11),(4.2-12),根据B.C.1和B.C.2,及,例4.2-1环绕球体的爬流(10)分离变量法,例4.2-1环绕球体的爬流(11)分离变量法,(4.2-13),于是我们得到了速度场的表达式如下：,(4.2-14),以及相应的流线方程,例4.2-1环绕球体的爬流(12),(4.2-16),4.过程参数,(4.2-15),1)压力场把速度表达式代入N-S方程，我们可以得到修正压力场的控制方程组,该方程组的解为,(4.2-17),即,例4.2-1环绕球体的爬流(13),(B.1-18),2)剪切应力场根据教材的附录B，作用在坐标面r=const.上的剪切应力（即沿r-方向的-动量通量）为,把速度场的表达式(4.2-13,14)代入上式，我们有,(*),例4.2-1环绕球体的爬流(14),(B.1-16),3)拉伸应力场根据教材的附录B，作用在坐标面r=const.上的拉伸应力（即沿r-方向的r-动量通量）为,把速度场的表达式(4.2-13,14)代入上式，我们有,(*),例4.2-1环绕球体的爬流(15),4)作用在球体上的曳力流体施加在球体上的总作用力必然在z-方向，并且应该等于法向应力和切向应力在整个球体表面上的积分值。,其中法向应力的贡献为,(*),例4.2-1环绕球体的爬流(16),总作用力包含浮力和动力学曳力两部分：,而切向应力的贡献为,动力学曳力的表达式被称为Stokes定律,由于在物理模型中省略了惯性项，上述结果仅对非常缓慢的流动有效。通过与实验数据进行比较，应用Stokes定律计算动力学曳力的适用场合局限于Re0.1的情况。,例4.2-1环绕球体的爬流(17),5.结果分析,边界层理论,在1819世纪的航海时代，谁能拥有海洋控制权谁就能拥有世界贸易权和殖民地控制权。因此个发达国家都竞相发展海军舰队和商船队。而提高舰船的航速是首屈一指的关键技术。当人们顺里成章地增大发动机功率来提高船速时，却失望地发现速度的增加远未达到预期的幅度。速度的增加完全不是正比于发动机功率的提升。为什么呢？直到Prandtl在1904年提出边界层概念后，才对此问题给出合理的解释。,边界层的概念(1),当流体流经固体物体的前端时(参见右图)，由于粘性效应，紧靠壁面区域的流体的速度将显著减小，形成一个速度梯度较大的区域，流体的动量经由这一区域,传递给固体表面。随着流体沿壁面向前流动，这个区域的厚度沿流动方向逐渐增大。这个区域被称为流动边界层或速度边界层。,边界层的概念(2),流动边界层具有以下特点：,1)边界层的外边界v=0.99v理论上讲，边界层的外边界应该是流体速度未减小的临界点，此处速度在垂直于壁面方向上的变化率为零。但实际上在边界层外缘区速度变化很缓慢，很难判断何处v=v。因此人为约定v=0.99v处为边界层的外边界，此处到壁面的垂直距离为边界层厚度。2)边界层很薄0。,动量、能量和质量同时传递的边界层(14),图20.2-3无因次分布剖形,动量、能量和质量同时传递的边界层(15),3)分子传递速率,参照的定义，流体到壁面的分子传递通量可表为,(20.2-45),(20.2-46),(20.2-47),动量、能量和质量同时传递的边界层(16),式中的无因次分布剖形在壁面处的导数为,(20.2-44),是无因次传递系数和无因次壁面传质通量的二元函数，其具体数值可以采用数值积分法计算(Table20.2-1)。,动量、能量和质量同时传递的边界层(17),式(20.2-45)(20.2-47)构成了平板边界层