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文档简介
莫兴德广西大学数信学院,Email:moxingde,微积分,链接目录,参考书,1赵树嫄.微积分.中国人民出版社2同济大学.高等数学.高等教育出版社,第三章导数与微分,引例导数概念导数的基本公式与运算法则高阶导数微分,3-3导数的基本公式(续)取对数求导法隐函数微分法参数函数微分法,隐函数的求导法则,隐函数的求导法则,F(x,f(x)0,对上式两边关于x求导(把看成是中间变量):,然后,从这个式子中解出y,就得到隐函数的导数.,方法:,则将y=f(x)代入方程中,得到,如果由方程F(x,y)=0确定隐函数y=f(x)可导,解,两边对x寻求导,求由方程,(x0),所确定的隐函数的导数y,并求,方程两边关于x求导:,故,由原方程可得:F(0,y)=0ye0+ey=0,从而,解,故,求椭圆,对方程两边关于x求导得:,故所求切线的方程为:,解,整理后,切线方程为:,参数方程求导法则,选择一个适当的参数t后,的形式,此式称为函数y=f(x)的参数方程.,y=f(x)可表示为,1.参数方程的概念,参数方程求导法则,参数方程求导法则:,设,利用反函数求导法则可证明该法则,椭圆上任意一点x处的切线的斜率为,故,从而,所求切线方程为:y=b.,解,又,星形线是一种圆内摆线,解,取对数求导法,然后,对方程两边关于x求导:,方法:,在条件允许的情况下,对y=f(x)两边,同时取对数:,注意:y是x的函数.,取对数求导法,取对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数.,运用取对数求导法,两边关于x求导:,故,解,运用取对数求导法,两边关于x求导:,解,整理得,对这类型的题用取对数求导法很方便哦!,运用取对数求导法,解,故,基本初等函数的导数,导数的四则运算法则,反函数的导数,复合函数求导法,隐函数的求导法,参数方程求导法,取对数求导法,求导方法小结,按定义求导,3.4高阶导数,3.4高阶导数,一.高阶导数的概念,高阶导数的运算法则,隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数,一.高阶导数的概念,推而广之:,按照一阶导数的极限形式,有,和,一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连续.如果函数f(x)在区间I上有直到n阶的导数f(n)(x),且f(n)(x)仍是连续的(此时低于n阶的导数均连续),则称f(x)在区间I上n阶连续可导,记为,如果f(x)在区间I上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数f(x)是无穷次连续可导的,记为,解,注意,当k=n时,综上所述:,解,多项式,的高阶导数.,解,对多项式而言,每求一次导数,多项式的次数降低一次;n次多项式的n阶导数为一常数;大于多项式次数的任何阶数的导数均为0.,求y=ex的各阶导数.,解,y=ex的任何阶导数仍为ex,求y=ax的各阶导数.,解,运用数学归纳法可得,求y=lnx的各阶导数.,解,设,类似地,有,则,故由数学归纳法得,解,注意这里的方法,即,类似地,有,解,看出结论没有?,运用数学归纳法可以证得,类似地,可求得,解,解,二阶导数经常遇到,一定要掌握.,解,由复合函数及反函数的求导法则,得,解,高阶导数的运算法则,设f(x),g(x)有直到n阶的导数,则,(1),(2)莱布尼兹公式,两个基本公式,由于,故,解,解,由莱布尼兹公式,证,看出一点什么没有?,你打算怎么处理此式?,对上式关于x求导n次:,故,即,隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数,原则是:按照高阶导数的定义,运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导.,对方程两边关于x求导:,解,想想如何求二阶导数?,
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